Viết phương trình đường thẳng đi qua a, vuông góc với d1 và cắt d2

A. Phương pháp giải

Cách 1:

- Viết PT mặt phẳng [P] đi qua A và vuông góc với đường thẳng d1

- Tìm giao điểm B = [P] [d2]

- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B

Cách 2:

- Viết PT mặt phẳng [P] đi qua A và vuông góc với đường thẳng d1

- Viết PT mặt phẳng [Q] đi qua A và chứa đường thẳng d2

- Đường thẳng d cần tìm là d = [P] [Q]

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A[ 1; - 1; 3] và hai đường thẳng

. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A vuông góc với đường thẳng d1và cắt đường thẳng d2.

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Gọi [ P] là mặt phẳng qua A vuông góc với đương thẳng d1.

Đường thẳng d1có vecto chỉ phương là [ 1; 4; -2] nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là:

=> Phương trình mặt phẳng [P] là: 1[ x-1] + 4[ y+1] 2[ z- 3] =0 .Hay x+ 4y 2z + 9= 0

+Gọi giao điểm của đường thẳng d2và mặt phẳng [ P] là điểm B

Do B thuộc d2nên tọa độ B[ 2+ t; - 1- t; 1+ t] . Thay tọa độ điểm B vào phương trình mặt phẳng [P] ta được : 2+ t + 4[ - 1- t] 2[ 1+ t] + 9= 0 2+ t- 4 4t- 2- 2t + 9= 0 - 5t+ 5= 0 t= 1 => B[ 3; -2; 2]

+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng AB: Đi qua A[1; -1;3] nhận vecto

=> Phương trình chính tắc của đường thẳng AB:

Chọn C.

Ví dụ 2:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng

. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A[ 1;2; -2] vuông góc với d1và cắt d2là:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Gọi giao điểm của của d và d2là B.

Do B thuộc d2nên tọa độ B[ t; 1+ 2t; t] =>

.

+ Đường thẳng d1có vectơ chỉ phương

+ Do đường thẳng d vuông góc với d1nên=>= 0 2[ t-1] + 2[ 2t- 1] + 1[t+ 2] = 0 2t 2 + 4t 2+ t+ 2= 0 7t- 2= 0 nên t= 2/7

+ Đường thẳng d đi qua điểm A [ 1; 2; - 2] và có vectơ chỉ phương

chọn vecto chỉ phương [ 5; 3; - 16]

Vậy phương trình của d là:

Chọn A.

Ví dụ 3:Cho hai đường thẳng:

và điểm A [1; 2; 3]. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A,vuông góc với d1và cắt d2.

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

- Gọi mặt phẳng [P] đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d1có vectơ pháp tuyến là

Phương trình mặt phẳng [P] là: 2.[x 1] 1 . [y 2] + 1. [z 3] = 0 hay 2x y + z 3 = 0

-Gọi giao điểm của mặt phẳng [P] và đường thẳng d2là B

B thuộc d2nên tọa độ B[ 1- t; 1+ 2t; - 1+ t]

Thay tọa độ [ B] vào phương trình mặt phẳng [P] ta được: 2[ 1- t] [ 1+ 2t] + [ - 1+ t] 3= 0 2- 2t- 1- 2t- 1+ t- 3= 0 -3t 3= 0 nên t= -1

Suy ra: B [2; -1; -2]

- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B

Vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Chọn C.

Ví dụ 4:Cho hai đường thẳng:

Viết phương trình đường thẳng d đi qua A [0; 1; 1], vuông góc với d1và cắt d2.

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

- Goi mặt phẳng [P] đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d1có vectơ pháp tuyến là

- Một điểm thuộc d2là : M [0; 0; 2] ;

Mặt phẳng [Q] đi qua A và chứa đường thẳng d2có vectơ pháp tuyến là:

=>

- Đường thẳng cần tìm d = [P][Q]

Vectơ chỉ phương của d là

=>

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Chọn B.

Ví dụ 5:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm N[1; 1; -2] vuông góc với đường thẳng

và cắt trục hoành có phương trình là

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Gọi

.

Ta có, Khi đó:

Do

2m+ 5= 0

Suy ra một vecto chỉ phương của đường thẳng là:

Phương trình của d đương thẳng d:

Chọn C .

Ví dụ 6.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A[1; 2; 3] và B[ 3; 0; 1]. Gọi M là trung điểm của AB. Đường thẳng d đi qua M vuông góc với trục tung và cắt đường thẳng

. Viết phương trình đường thẳng d?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ M[2; 1; 2]

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là: H[ 2; 1+ t; 2t]=>

Ta có vecto chỉ phương của trục tung là:

, Khi đó:

Do

t= 1 nên tọa độ H[ 2; 2; 2]

+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng MH: đi qua M[ 2; 1; 2] và vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn A.

Ví dụ 7:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng

. Gọi d là đường thẳng qua M[ 2; 3; 1]; cắt d1và vuông góc với d2. Trong các vecto sau; vecto nào là vecto chỉ phương của đường thẳng d?

A. [ 1; 2; 1]

B. [ 1; -2; -2]

C. [1; -1; -2]

D.[ 1; 1;-2]

Hướng dẫn giải

+ Gọi mặt phẳng [P] đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d1có vectơ pháp tuyến là

- Một điểm thuộc d2là : N [1; 1; 2];

Mặt phẳng [Q] đi qua M và chứa đường thẳng d2có vectơ pháp tuyến là:

- Đường thẳng cần tìm d = [P][Q]

Vectơ chỉ phương của d là

Chọn D

Ví dụ 8:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng

. Gọi d là đường thẳng qua A[ -1; -1;2] ; cắt d1 và vuông góc với trục hoành. Biết phương trình tham số của đường thẳng d có dạng :. Tính a+ b+ c?

A. 3

B. 5

C. 7

D. - 1

Hướng dẫn giải

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và d1 là: H[ 2+ 3t; 1- t; 2t]=>

Ta có vecto chỉ phương của trục hoành là:, Khi đó:

Do

3+ 3t= 0 nên t= - 1 => tọa độ H[ -1; 2; - 2]

+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng AH: đi qua A[-1; -1;2] và vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

Suy ra: a= -1; b=2 và c= 4 nên a+ b+ c= 5

Chọn B.

Ví dụ 9.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng

. Phương trình đường thẳng d vuông góc với [P]: 7x+ y- 4z= 0 và cắt hai đường thẳng d1; d2là:

A:

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Gọi giao điểm của đường thẳng d với hai đường thẳng d1; d2lần lượt là A và B.

+ Điểm A d1nên tọa độ A[ 2a; 1- a; - 2+ a]

Điểm B d2nên tọa độ B[ - 1+ 2b; 1+ b; 3]

=>

+ Mặt phẳng [P] có vectơ pháp tuyến

+ Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [ P] nên hai vectoAB vànpcùng phương có một số k thỏa mãn

+ Đường thẳng d đi qua điểm A[ 2; 0; -1] và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình của d là:

Chọn A.