2 mũ không bằng bao nhiêu?
|
a) $0^0= \dfrac{0^2}{0^2}$không thể bằng 1 vì mẫu số = 0 ----> phân số ko có nghĩa, nên 0^0 ko có nghĩa( hay vô định ( tức ko xác đinh )) b)Ngoài ra có thể lý giải như sau: Theo SGK11, người ta định nghĩa $a^n=a.a....a$ (n số a), do đó khi a=0 thì theo tc:0 nhân với mấy cũng =0(huống chi ở đây nhân với chính nó(=0)) nên $0^n=0$. Hay nói cách khác kết quả của phép lũy thừa này CHỊU VÀ CHỈ CHỊU SỰ CHI PHỐI CỦA CƠ SỐ 0(dù n bằng mấy)VÀ KẾT QUẢ LUN = 0. Tiếp theo, SGK lại định nghĩa(hay quy ước cũng được) $a^0=1$. Hay nói cách khác kết quả của phép lũy thừa này CHỊU VÀ CHỈ CHỊU SỰ CHI PHỐI CỦA SỐ MŨ 0(DÙ a= MẤY ĐI NỮA) VÀ KẾT QUẢ LUN BẰNG 1 . Ta thấy KQ của một phép lũy thừa nào đó chỉ chịu hai sự chi phối là : CƠ SỐ và SỐ MŨ, khi mỗi cái chạy trên các chữ số khác 0 thì ko sao, chứ khi nó bằng 0 thì MÂU THUẪN CHẮC CHẮN XẢY RA. Vì khi hai cái đó CÙNG =0 và tham gia vào lũy thừa thì kết quả bít THEO CÁI NÀO ĐÂY, bởi theo trên(khi hai cái =o) kết quả vừa bị chi phối bời cơ số, vừa bị chi phối bởi số mũ, mà hai KQ này hoàn toàn khác nhau-----> mâu thuẫn. Để giải quyết >< đó, các nhà toán học mới QUY ƯỚC $0^0$ là VÔ ĐỊNH. Ở trên là những suy nghĩ rất cá nhân( nhưng có cơ sở) của mình thui, do đó lời lẽ còn dài dòng, lủng củng ....Hi vọng mấy chú, bác chỉ giáo thêm!!!..... Tôi trích lại 1 ý kiến trong Mudd Math Fun Facts Theo ý kiến này thì http://dientuvietnam...mimetex.cgi?0^0 là không xác định, nhưng sẽ có nhiều nguyên nhân để chúng ta quy ước là 1. Zero to the Zero Power It is commonly taught that any number to the zero power is 1, and zero to any power is 0. But if that is the case, what is zero to the zero power? Well, it is undefined (since http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x^y as a function of 2 variables is not continuous at the origin). But if it could be defined, what "should" it be? 0 or 1? Presentation Suggestions:Take a poll to see what people think before you show them any of the reasons below. The Math Behind the Fact:We'll give several arguments to show that the answer "should" be 1. + The alternating sum of binomial coefficients from the n-th row of Pascal's triangle is what you obtain by expanding http://dientuvietnam...imetex.cgi?(1-1)^n using the binomial theorem, i.e., http://dientuvietnam...imetex.cgi?0^n. But the alternating sum of the entries of every row except the top row is 0, since http://dientuvietnam...metex.cgi?0^k=0 for all k greater than 1. But the top row of Pascal's triangle contains a single 1, so its alternating sum is 1, which supports the notion that (1-1)^0=0^0 if it were defined, should be 1. + The limit of http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x^x as x tends to zero (from the right) is 1. In other words, if we want the xx function to be right continuous at 0, we should define it to be 1. + The expression http://dientuvietnam...mimetex.cgi?m^n is the product of m with itself n times. Thus http://dientuvietnam...mimetex.cgi?m^0, the "empty product", should be 1 (no matter what m is). + Another way to view the expression http://dientuvietnam...mimetex.cgi?m^n is as the number of ways to map an n-element set to an m-element set. For instance, there are 9 ways to map a 2-element set to a 3-element set. There are NO ways to map a 2-element set to the empty set (hence http://dientuvietnam...metex.cgi?0^2=0). However, there is exactly one way to map the empty set to itself: use the identity map! Hence http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?0^0=1. + Here's an aesthetic reason. A power series is often compactly expressed as http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_0 when x=c, but the n=0 term in the above expression is problematic at x=c. This can be fixed by separating the http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_0 term (not as nice) or by defining http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?0^0=1. Nếu bạn được ai đó hỏi rằng: “00 bằng mấy?” thì bạn sẽ trả lời ra sao? Theo quán tính, nhiều bạn sẽ không ngần ngại trả lời 00 = 1! Cũng có bạn cho rằng 00 = 0 (do 0n = 0). Có hẳn vậy không? Vậy tại sao một số giáo trình lại liệt kê ${0^0}$ là 1 dạng vô định. Vậy kết quả nào là chính xác? Để khẳng định chắc chắn 00 = 1 , nhiều người đã sử dụng kết quả sau: $\dfrac{x^{a}}{x^{b}}=x^{a-b}$ Nên: $$1=\dfrac{x^{a}}{x^{a}}=x^{a-a}=x^{0}\Rightarrow 0^{0}=\dfrac{0^{a}}{0^{a}}=1$$ Tuy vậy, lý luận này chưa được chặt chẽ và logic lắm vì: $\dfrac{0^{a}}{0^{a}}=\dfrac{0}{0}$ là dạng vô định. Một số người thì cho rằng đây là quy ước, giống như quy ước: 0! = 1. Một số khác thì chứng minh cụ thể bằng cách khảo sát hàm số: $y=x^{x}\; \; và\; \; y=\left ( sinx \right )^{x},\; \; \left ( x>0 \right )$. Dựa vào đồ thị của 2 hàm số trên thì rõ ràng: $x^{x}\rightarrow 1\; \; khi\; \; x\rightarrow 0;\; \; \left ( sinx \right )^{x}\rightarrow 1\; \; khi\; \; x\rightarrow 0$. Ngoài ra, theo định lý khai triển nhị thức ta có: $\left ( 1+x \right )^{n}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{n}$ Rõ ràng, định lý này không thể đúng trong trường hợp $x = 0$, ngoại trừ việc chấp nhận $0^{0}=1$. Vì khi đó: $$1^{n}=C_{n}^{0}0^{0}+C_{n}^{1}0^{1}+C_{n}^{2}0^{2}+...+C_{n}^{n}0^{n}$$ Hơn nữa, bằng công cụ chuỗi hàm lũy thừa ta có: $$\dfrac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^{\infty }x^{n}\; ;\; \; e^{x}=\sum_{k=0}^{+\infty }\dfrac{x^{n}}{n!}$$ Hai chuỗi này đều là chuỗi hội tụ nhưng sẽ không còn đúng trong trường hợp $x = 0$, nếu không công nhận $0^{0}=1$. (vì trong trường hợp $x = 0$ thì 2 chuỗi số ở vế phải có tổng riêng phần $S_{n}=0^{0}$, trong khi tổng của chuỗi đều bằng 1). Do đó, việc đề nghị $0^{0}=1$ là điều hợp lý. Nhưng theo hướng ngược lại, ta cũng có nhiều dẫn chứng để chứng tỏ $0^{0}$ phải là dạng vô định. Thật vậy, nếu $0^{0}=1$ thì: $$ln\left ( 0^{0} \right )=ln1=0\Rightarrow 0ln0=0\Rightarrow 0\left ( -\infty \right )=0$$ Như vậy, nếu $0^{0}=1$ thì phải chấp nhận $0.\infty =0$. Đây là điều không thể vì $0.\infty =0$ là dạng vô định. Ngoài ra, bằng công cụ L’Hospital – Bernoulli, ta có thể khảo sát các giới hạn sau có dạng $0^{0}$ nhưng có các giá trị khác nhau: $$\lim_{t\rightarrow 0+}t^{t}=1\; ;\; \; \lim_{x\rightarrow 0+}\left ( e^{-\dfrac{1}{t^{2}}} \right )^{t}=0\; ;\; \; \lim_{x\rightarrow 0+}\left ( e^{-\dfrac{1}{t^{2}}} \right )^{-t}=+\infty \; ;\; \; \lim_{x\rightarrow 0+}\left ( e^{-t} \right )^{at}=e^{-a}$$ Ngoài ra, nếu sử dụng kiến thức về hàm số nhiều biến cho hàm số $f\left ( x,y \right )=x^{y}$ thì hàm số này không tồn tại giới hạn khi $\left ( x,y \right )\rightarrow 0$ (do giới hạn tiến đến 0 dọc theo đường $x = 0$ nhưng giới hạn tiến đến 1 dọc theo đường $y = 0$). Điều đó chứng tỏ $0^{0}$ là điểm gián đoạn của hàm số $x^{y}$. Do đó, trên quan điểm của giới hạn thì $0^{0}$ là một dạng vô định. Vậy $0^{0}$ là dạng vô định cũng là điều hợp lý. Điều này giải thích cho việc vì sao có một số giáo trình Toán học xem $0^{0}$ là dạng vô định nhưng giáo trình khác lại định nghĩa $0^{0}=1$. Đó là do tùy trường hợp, tùy hoàn cảnh mà ta có sự điều chỉnh cho thích hợp. Cũng chính vì những lý do trên, bạn sẽ thấy có những khác biệt giữa các phần mềm Toán học. Nếu như Maple và Mathlab định nghĩa $0^{0}=1$ thì Mathematica xem đây là dạng vô định , còn Maxima sẽ báo lỗi. Như vậy, bài toán $0^{0}$ giúp ta hiểu rằng Toán học không phải lúc nào cũng tuyệt đối mà nhiều lúc ta phải chấp nhận tính tương đối của nó. |
