- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Cho hàm số: \[y = {x^3} - [m + 4]{x^2} - 4x + m\] [1]
LG a
Tìm các điểm mà đồ thị của hàm số [1] đi qua với mọi giá trị của \[m\].
Phương pháp giải:
- Biến đổi hàm số về phương trình ẩn \[m\] với tham số là \[x,y\].
- Cho các hệ số của \[m\] và hệ số tự do bằng \[0\] rồi tìm \[x,y\] và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[y = {x^3} - [m + 4]{x^2} - 4x + m\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow y = {x^3} - m{x^2} - 4{x^2} - 4x + m\\
\Leftrightarrow y - {x^3} + m{x^2} + 4{x^2} + 4x - m = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {m{x^2} - m} \right] + y - {x^3} + 4{x^2} + 4x = 0
\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {{x^2} - 1} \right]m + y - {x^3} + 4{x^2} + 4x = 0\]
Đồ thị của hàm số [1] luôn luôn đi qua điểm \[A\left[ {x;y} \right]\] với mọi \[m\] khi \[\left[ {x;y} \right]\] là nghiệm của hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\y - {x^3} + 4{x^2} + 4x = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm 1\\y = {x^3} - 4{x^2} - 4x\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1,y = - 7\\x = - 1;y = - 1\end{array} \right.\]
Vậy đồ thị của hàm số luôn luôn đi qua hai điểm \[\left[ {1; - 7} \right]\] và \[\left[ { - 1; - 1} \right].\]
LG b
Chứng minh rằng với mọi giá trị của \[m\], đồ thị của hàm số [1] luôn luôn có cực trị.
Phương pháp giải:
Hàm số đa thức bậc ba luôn có cực trị nếu \[y' = 0\] luôn có hai nghiệm phân biệt với \[\forall m\].
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[y' = 3{x^2} - 2[m + 4]x - 4\]; \[\Delta ' = {[m + 4]^2} + 12 > 0,\forall m\]
Do dó phương trình \[y' = 0\] luôn luôn có hai nghiệm phân biệt [và đổi dấu khi qua hai nghiệm đó].
Từ đó suy ra đồ thị của [1] luôn luôn có cực trị.
LG c
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của [1] khi \[m = 0\]
Phương pháp giải:
Khảo sát tóm tắt:
+ Thay \[m = 0\] vào hàm số đã cho.
+ Tính \[y'\].
+ Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
Với \[m = 0\] ta được hàm số \[y = {x^3} - 4{x^2} - 4x\].
TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]
Chiều biến thiên:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \]
Có \[y' = 3{x^2} - 8x - 4\], \[y' = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{4 \pm 2\sqrt 7 }}{3}\]
Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left[ { - \infty ;\frac{{4 - 2\sqrt 7 }}{3}} \right]\] và \[\left[ {\frac{{4 + 2\sqrt 7 }}{3}; + \infty } \right]\]
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left[ {\frac{{4 - 2\sqrt 7 }}{3};\frac{{4 + 2\sqrt 7 }}{3}} \right]\]
Hàm số đạt cực đại tại \[x = \frac{{4 - 2\sqrt 7 }}{3}\], đạt cực tiểu tại \[x = \frac{{4 + 2\sqrt 7 }}{3}\]
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
LG d
Xác định \[k\] để [C] cắt đường thẳng \[y = kx\] tại ba điểm phân biệt.
Phương pháp giải:
- Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm nghiệm đặc biệt.
- Từ đó suy ra điều kiện của \[k\].
Lời giải chi tiết:
Với \[m = 0\] ta có:\[y = {x^3}-4{x^2}-4x\].
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \[{x^3}-4{x^2}-4x = kx\] [2]
Đường thẳng \[y = kx\] cắt [C] tại ba điểm phân biệt nếu phương trình [2] có ba nghiệm phân biệt.
Có
\[\begin{array}{l}
\left[ 2 \right] \Leftrightarrow {x^3} - 4{x^2} - 4x - kx = 0\\
\Leftrightarrow {x^3} - 4{x^2} - \left[ {k + 4} \right]x = 0
\end{array}\] \[ \Leftrightarrow x\left[ {{x^2} - 4x - \left[ {k + 4} \right]} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 4x - \left[ {k + 4} \right] = 0\,\,\left[ 3 \right]\end{array} \right.\]
\[\left[ 2 \right]\] có ba nghiệm phân biệt \[ \Leftrightarrow \left[ 3 \right]\] có hai nghiệm phân biệt khác \[0\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' = 4 + k + 4 > 0\\
{0^2} - 4.0 - \left[ {k + 4} \right] \ne 0
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k + 8 > 0\\-k -4\ne 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k > - 8\\k \ne - 4\end{array} \right.\].
Vậy với \[k > - 8\] và \[k \ne - 4\] thì \[\left[ C \right]\] cắt đường thẳng \[y = kx\] tại ba điểm phân biệt.