\[\sqrt{\dfrac{289}{225}}=\dfrac{\sqrt{289}}{\sqrt{225}}=\dfrac{\sqrt {17^2}}{\sqrt{15^2}}=\dfrac{17}{15}\].
- Ta có:
\[\sqrt{2\dfrac{14}{25}}=\sqrt{\dfrac{2.25+14}{25}}=\sqrt{\dfrac{50+14}{25}}\]
\[=\sqrt{\dfrac{64}{25}}=\dfrac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}}=\dfrac{\sqrt{8^2}}{\sqrt{5^2}}=\dfrac{8}{5}\].
- Ta có:
\[\sqrt{\dfrac{0,25}{9}}=\dfrac{\sqrt{0,25}}{\sqrt{9}}=\dfrac{\sqrt{0,5^2}}{\sqrt{3^2}}=\dfrac{0,5}{3}\]
\[=0,5.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\].
- Ta có:
\[\sqrt{\dfrac{8,1}{1,6}}=\sqrt{\dfrac{81.0,1}{16.0,1}}=\sqrt{\dfrac{81}{16}}=\dfrac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}}=\dfrac{\sqrt{9^2}}{\sqrt{4^2}}=\dfrac{9}{4}\].
Bài 29 trang 19 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
Tính:
- \[ \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}\]
- \[ \dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{735}}\]
- \[ \dfrac{\sqrt{12500}}{\sqrt{500}}\]
- \[ \dfrac{\sqrt{6^{5}}}{\sqrt{2^{3}.3^{5}}}\]
Phương pháp:
Sử dụng các công thức sau:
\[\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\], với \[ a \ge 0 ,\ b >0\].
\[[a.b]^m=a^m.b^m\], với \[m \in \mathbb{N}\].
Lời giải:
- \[\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}=\sqrt{\dfrac{2}{18}}=\sqrt{\dfrac{2.1}{2.9}}\]\[=\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\sqrt {{{\left[ {\dfrac{1}{3}} \right]}^2}} =\dfrac{1}{3}\].
\[\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{735}}=\sqrt{\dfrac{15}{735}}=\sqrt{\dfrac{15.1}{15.49}}\]\[=\sqrt{\dfrac{1}{49}}=\sqrt {{{\left[ {\dfrac{1}{7}} \right]}^2}}\]
\[=\dfrac{1}{7}\].
\[\dfrac{\sqrt{12500}}{\sqrt{500}}=\sqrt{\dfrac{12500}{500}}=\sqrt{\dfrac{500.25}{500}}\]
\[=\sqrt{25}=\sqrt{5^2}=5\].
\[\dfrac{\sqrt{6^{5}}}{\sqrt{2^{3}.3^{5}}}=\sqrt{\dfrac{6^5}{2^3.3^5}}\]\[=\sqrt{\dfrac{[2.3]^5}{2^3.3^5}}=\sqrt{\dfrac{2^5.3^5}{2^3.3^5}}\]
\[=\sqrt{\dfrac{2^5}{2^3}}\]\[=\sqrt{\dfrac{2^3.2^2}{2^3}}=\sqrt{2^2}=2\]
Bài 30 trang 19 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
- \[ \dfrac{y}{x}.\sqrt{\dfrac{x^{2}}{y^{4}}}\] với \[x > 0,\ y ≠ 0\];
- 2\[ y^{2}\].\[ \sqrt{\dfrac{x^{4}}{4y^{2}}}\] với \[y < 0\]
- \[5xy. \sqrt{\dfrac{25x^{2}}{y^{6}}}\] với \[x < 0,\ y > 0\]
- \[ 0,2x^{3}y^{3}.\sqrt{\dfrac{16}{x^{4}y^{8}}}\] với \[x ≠ 0,\ y ≠ 0\]
Lời giải:
Ta có:
\[\dfrac{y}{x}.\sqrt{\dfrac{x^{2}}{y^{4}}}=\dfrac{y}{x}.\dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{y^{4}}}\]
\[=\dfrac{y}{x}.\dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{[y^2]^2}}=\dfrac{y}{x}.\dfrac{|x|}{|y^2|}\]
Vì \[x> 0\] nên \[|x|=x\].
Vì \[y \ne 0\] nên \[y^2 > 0 \Rightarrow |y^2|=y^2\].
\[\Rightarrow \dfrac{y}{x}.\dfrac{|x|}{|y^2|} =\dfrac{y}{x}.\dfrac{x}{y^2}=\dfrac{y}{x}.\dfrac{x}{y.y}=\dfrac{1}{y}\].
Vậy \[\dfrac{y}{x}.\sqrt{\dfrac{x^{2}}{y^{4}}}=\dfrac{1}{y}\].
Ta có:
\[2y^2.\sqrt{\dfrac{x^{4}}{4y^{2}}}=2y^2.\dfrac{\sqrt{x^4}}{\sqrt{4y^2}}=2y^2.\dfrac{\sqrt{[x^2]^2}}{\sqrt{2^2.y^2}}\]
\[=2y^2.\dfrac{\sqrt{[x^2]^2}}{\sqrt{[2y]^2}}=2y^2.\dfrac{|x^2|}{|2y|}\]
Vì \[x^2 \ge 0 \Rightarrow |x^2|=x^2\].
Vì \[y0 \Rightarrow |y^3|=y^3\].
\[ \Rightarrow 5xy.\dfrac{|5x|}{|y^3|}=5xy.\dfrac{-5x}{y^3}=\dfrac{5xy.[-5x]}{y^3}\]
\[=\dfrac{[5.[-5]].[x.x].y}{y^2.y}=\dfrac{-25x^2}{y^2}\]
Vậy \[5xy.\sqrt{\dfrac{25x^{2}}{y^{6}}}=\dfrac{-25x^2}{y^2}\].
Ta có:
\[0,2x^{3}y^{3}.\sqrt{\dfrac{16}{x^{4}y^{8}}}=0,2x^3y^3.\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{x^4y^8}}\]
\[=0,2x^3y^3\dfrac{\sqrt{4^2}}{\sqrt{[x^2]^2.[y^4]^2}}\]
\[=0,2x^3y^3.\dfrac{\sqrt{4^2}}{\sqrt{[x^2]^2}.\sqrt{[y^4]^2}}=0,2x^3y^3.\dfrac{4}{|x^2|.|y^4|}\].
Vì \[x \ne 0,\ y \ne 0\] nên \[ x^2 > 0\] và \[y^4 > 0\]
\[\Rightarrow |x^2| =x^2\] và \[|y^4|=y^4\].
\[ \Rightarrow 0,2x^3y^3.\dfrac{4}{|x^2|.|y^4|}=0,2x^3y^3.\dfrac{4}{x^2y^4}\]
\[=\dfrac{0,2x^3y^3.4}{x^2y^4}\]
\[=\dfrac{0,8x}{y}.\]
Vậy \[0,2x^{3}y^{3}.\sqrt{\dfrac{16}{x^{4}y^{8}}}=\dfrac{0,8x}{y}\].
Bài 31 trang 19 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
- So sánh \[ \sqrt{25 - 16}\] và \[\sqrt {25} - \sqrt {16}\]
- Chứng minh rằng: với \[a > b >0\] thì \[\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \]
Phương pháp:
+] Định lí so sánh hai căn bậc hai số học của hai số không âm:
\[ a< b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b\].
+] \[ \sqrt{ a^2} = a\], với \[ a \ge 0\].
+] Sử dụng kết quả bài 26 trang 16 SGK toán 9 tập 1: Với hai số dương \[a,b\] ta có: \[\sqrt {a + b} < \sqrt a + \sqrt b \]
Lời giải:
Ta có:
+] \[ \sqrt {25 - 16} = \sqrt 9 =\sqrt{3^2}= 3.\] +] \[ \sqrt {25} - \sqrt {16} \]\[= \sqrt{5^2}-\sqrt{4^2}\]\[=5 - 4 = 1 \].
Vì \[3>1 \Leftrightarrow \sqrt {25 - 16}>\sqrt {25} - \sqrt {16} \].
Vậy \[\sqrt {25 - 16} > \sqrt {25} - \sqrt {16} \]
Bài ra cho \[a > b > 0\] nên \[\sqrt a ,\sqrt b \] và \[\sqrt {a - b} \] đều xác định và dương.
Ta sẽ so sánh \[\sqrt a \] với \[\sqrt {a - b} + \sqrt b \]
Theo kết quả bài 26 trang 16 SGK toán 9 tập 1, với hai số dương \[a-b\] và \[b,\] ta sẽ có:
\[\sqrt {a - b} + \sqrt b > \sqrt {a - b + b} \]
Suy ra:
\[\sqrt {a - b} + \sqrt b > \sqrt a \Leftrightarrow \sqrt {a - b} > \sqrt a - \sqrt b \]
Vậy \[\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \] với \[a > b > 0.\]
Cách khác 1:
Với \[a > b > 0\] ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\sqrt a > \sqrt b \\a - b > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt a - \sqrt b > 0\\\sqrt {a - b} > 0\end{array} \right.\]
Xét \[\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \] , bình phương hai vế ta được \[{\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]^2} < {\left[ {\sqrt {a - b} } \right]^2} \]\[\Leftrightarrow {\left[ {\sqrt a } \right]^2} - 2.\sqrt a .\sqrt b + {\left[ {\sqrt b } \right]^2} < a - b\]
\[ \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b < a - b \]\[\Leftrightarrow 2b - 2\sqrt {ab} < 0\]
\[ \Leftrightarrow 2\sqrt b \left[ {\sqrt b - \sqrt a } \right] < 0\] luôn đúng vì \[\left\{ \begin{array}{l}\sqrt b > 0\\\sqrt b - \sqrt a < 0\,\left[ {do\,0 < b < a} \right]\end{array} \right.\]
Vậy \[\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \] với \[a > b > 0.\]
Cách khác 2:
Bài ra cho \[a > b > 0\] nên \[\sqrt a ,\sqrt b \] và \[\sqrt {a - b} \] đều xác định và dương.
Ta sẽ so sánh \[\sqrt a \] với \[\sqrt {a - b} + \sqrt b \]
Ta có \[\sqrt {a - b} + \sqrt b \] là số dương và
\[{\left[ {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right]^2} \]\[= a - b + 2\sqrt {b\left[ {a - b} \right]} + b \]\[= a + 2\sqrt {b\left[ {a - b} \right]} \]
Rõ ràng \[2\sqrt {b[a - b]} > 0\] nên \[{\left[ {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right]^2} > a\] [1]
Ta có \[\sqrt a \] là số không âm và \[{\left[ {\sqrt a } \right]^2} = a\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra
\[{\left[ {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right]^2} > {\left[ {\sqrt a } \right]^2}\] [3]
Từ [3] theo định lí so sánh các căn bậc hai số học, ta suy ra
\[\sqrt {{{\left[ {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right]}^2}} > \sqrt {{{\left[ {\sqrt a } \right]}^2}} \]