- LG a
- LG b
- LG c
Cho ba điểm \[A[2;1], B[0;5], C[-5;-10]\].
LG a
Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức trọng tâm \[G\left[ {\dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right]\].
\[H\] là trực tâm tam giác \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right.\].
\[I\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nếu \[IA = IB = IC\].
Giải chi tiết:
\[G\] là trọng tâm tam giác nên \[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{2 + 0 - 5}}{3} = - 1\\{y_G} = \dfrac{{1 + 5 - 10}}{3} = - \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\]
Gọi \[H\left[ {x;y} \right]\] là trực tâm tam giác. Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right.\]
\[\overrightarrow {AH} = \left[ {x - 2;y - 1} \right]\], \[\overrightarrow {BC} = \left[ { - 5; - 15} \right]\], \[\overrightarrow {BH} = \left[ {x;y - 5} \right],\] \[\overrightarrow {AC} = \left[ { - 7; - 11} \right]\]
Do đó \[\left\{ \begin{array}{l} - 5\left[ {x - 2} \right] - 15\left[ {y - 1} \right] = 0\\ - 7x - 11\left[ {y - 5} \right] = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 5\\7x + 11y = 55\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 11\\y = - 2\end{array} \right.\]
Gọi \[I\left[ {x;y} \right]\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].
Khi đó \[IA = IB = IC\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{B^2} = I{C^2}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} = {x^2} + {\left[ {y - 5} \right]^2}\\{x^2} + {\left[ {y - 5} \right]^2} = {\left[ {x + 5} \right]^2} + {\left[ {y + 10} \right]^2}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4x + 4 - 2y + 1 = - 10y + 25\\ - 10y + 25 = 10x + 25 + 20y + 100\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4x + 8y = 20\\ - 10x - 30y = 100\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 7\\y = - 1\end{array} \right.\]
Vậy \[G\left[ { - 1; - \dfrac{4}{3}} \right],H\left[ {11; - 2} \right],I\left[ { - 7; - 1} \right]\]
LG b
Chứng minh I, G, H thẳng hàng.
Phương pháp giải:
Chứng minh \[\overrightarrow {IH} = k\overrightarrow {IG} \] suy ra ba điểm thẳng hàng.
Giải chi tiết:
Ta có: \[\overrightarrow {IH} = \left[ {18; - 1} \right]\] và \[\overrightarrow {IG} = \left[ {6; - \dfrac{1}{3}} \right]\] nên \[\overrightarrow {IH} = 3\overrightarrow {IG} \] suy ra I, G, H thẳng hàng.
LG c
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Phương pháp giải:
Tìm bán kính \[R = IA\] và suy ra phương tình đường tròn.
Giải chi tiết:
Đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] có tâm \[I\left[ { - 7; - 1} \right]\] và bán kính \[IA = \sqrt {85} \] nên có phương trình \[{\left[ {x + 7} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} = 85.\]