Bài tập nhân, chia số hữu tỉ nâng cao

Các em thân mến,

Để học tốt chuyên đề này, các em hãy làm theo các bước sau đây:

Bước 1: Đọc và hiểu rõ từng ý trong phần “A. Kiến thức cơ bản”. Hãy đặt câu hỏi và nhờ thầy giải thích mọi khúc mắc trong phần này.

Bước 2: Xem các bài tập ví dụ trong phần “B. Ví dụ minh họa”. Hiểu rõ cách ứng dụng kiến thức đã nêu ở phần A vào cách giải các bài tập này.

Bước 3: Ứng dụng các kiến thức và kinh nghiệm trên vào việc tự giải các bài trong phần “C. Bài tập tự luyện”.

A. Kiến thức cơ bản

1. Cộng, trừ, nhân, chia hai số hữu tỉ

a. Cộng, trừ hai số hữu tỉ

Viết hai số hữu tỉ \(x, y\) dưới dạng: \(x = \frac{a}{m}; y = \frac{b}{m} \left(a, b, m \in Z, m > o\right)\)

Khi đó ta có: \(x + y = \frac{a}{m} + \frac{b}{m} = \frac{a + b}{m}\)

\(x - y = \frac{a}{m} - \frac{b}{m} = \frac{a - b}{m}\)

b. Nhân chia hai số hữu tỉ

Với hai số hữu tỉ \(x = \frac{a}{b}, y = \frac{c}{d}\) ta có:

\(x.y = \frac{a}{b}.\frac{c}{d} = \frac{a.c}{b.d}\)

\(x : y = \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b}.\frac{d}{c} = \frac{a.d}{b.c} \left(y \neq 0\right)\)

c. Quy tắc chuyển vế

Khi chuyển một số hạng tử từ vế này sang vế kia của một đẳng thức ta phải đổi dấu hạng tử đó:

Với mọi \(x, y, z \in Q: x + y = z \Rightarrow x = z - y.\)

d. Chú ý

- Trong \(Q\) với những tổng đại số ta có thể đổi chỗ các số hạng, đặt dấu ngoặc để nhóm số hạng một cách tùy ý.

- Phép nhân trong \(Q\) có đầy đủ các tính chất cơ bản như phép nhân trong \(Z\): giao hoán, kết hợp, nhân với 1, tính chất phân phối.

- Mọi số hữu tỉ khác 0 đều có số nghịch đảo.

- Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các số hữu tỉ luôn cho ta kết quả là một số hữu tỉ

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm \(x \in Q\) biết : \(\frac{ -2}{5} + \frac{ 5}{6}x = \frac{ -4}{15}\).

Giải:

\(\frac{ -2}{5} + \frac{ 5}{6}x = \frac{ -4}{15} \Leftrightarrow \frac{ 5}{6}x = \frac{ -4}{15} - \frac{ -2}{5}\) \(\Leftrightarrow \frac{ 5}{6}x = \frac{ 2}{15} \Leftrightarrow x = \frac{ 2}{15} : \frac{ 5}{6} \Leftrightarrow x = \frac{ 4}{25}\).

Ví dụ 2: Thực hiện các phép tính sau:

a) \(\left(\frac{-3}{5} + \frac{5}{11}\right) : \left(\frac{-3}{7}\right) + \left(\frac{-2}{5} + \frac{6}{11}\right) : \left(\frac{-3}{7}\right)\)

b) \(\left(\frac{-2}{5} + \frac{1}{4} : \frac{-7}{101}\right).\left(\frac{55}{17} - \frac{4}{7} . \frac{2}{3}\right).\left(1 - \frac{5}{13} : \frac{5}{13}\right).\)

Giải:

a) \(\left(\frac{-3}{5} + \frac{5}{11}\right) : \left(\frac{-3}{7}\right) + \left(\frac{-2}{5} + \frac{6}{11}\right) : \left(\frac{-3}{7}\right)\)

\(= \left(\frac{-3}{5} + \frac{5}{11} + \frac{-2}{5} + \frac{6}{11}\right) : \left(\frac{-3}{7}\right)\)

\(= \left(\frac{-3 - 2}{5} + \frac{5 + 6}{11}\right) : \left(\frac{-3}{7}\right)\) \(= 0 : \left(\frac{-3}{7}\right) = 0.\)

b) \(\left(\frac{-2}{5} + \frac{1}{4} : \frac{-7}{101}\right).\left(\frac{55}{17} - \frac{4}{7}.\frac{2}{3}\right).\left(1 - \frac{5}{13}:\frac{5}{13}\right)\)

\(= \left(\frac{-2}{5} + \frac{1}{4} : \frac{-7}{101}\right).\left(\frac{55}{17} - \frac{4}{7}.\frac{2}{3}\right).\left(1 - 1\right)\)

\(= \left(\frac{-2}{5} + \frac{1}{4} : \frac{-7}{101}\right).\left(\frac{55}{17} - \frac{4}{7}.\frac{2}{3}\right).0 = 0.\)

Ví dụ 3: Tìm \( x\) biết: \( \frac{x+2014}{2} +\frac{2x+4028}{7}= \frac{x+2014}{5}+\frac{x+2014}{6}\).

Giải:

Phương trình đã cho tương đương:

\((x+2014)\left ( \frac{1}{2}+\frac{2}{7} \right ) = (x+2014)\left (\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right ) \)

\(\Leftrightarrow (x+2014)\left ( \frac{1}{2}+\frac{2}{7}- \frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right ) =0 \)

Dễ thấy: \(\left (\frac{1}{2}+\frac{2}{7}- \frac{1}{5}-\frac{1}{6} \right ) \neq 0\) nên suy ra: \( x+ 2014=0\) hay \( x=-2014\).

Ví dụ 4: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) \(A = 1 - \frac{1}{1 + \frac{2}{1 - \frac{3}{1 - 4}}};\)

b) \(B = -\frac{1}{10} - \frac{1}{100} - \frac{1}{1000} - \frac{1}{10000} - \frac{1}{100000} - \frac{1}{1000000}.\)

Giải:

a) Ta có: \(A = 1 - \frac{1}{1 + \frac{2}{1 - \frac{3}{1 - 4}}} = 1 - \frac{1}{1 + \frac{2}{1 + 1}} = 1 - \frac{1}{1 + 1} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.\)

b) \(B = -\frac{1}{10} - \frac{1}{100} - \frac{1}{1000} - \frac{1}{10000} - \frac{1}{100000} - \frac{1}{1000000}\)

\(= -\left(0,1 + 0,01 + 0,001 +0,0001 + 0,00001 + 0,000001\right) = -0,111111.\)

Ví dụ 5: Tìm \(x, y, z\) biết rằng: \(\left(x - \frac{1}{5}\right)\left(y + \frac{1}{2}\right)\left(z - 3\right) = 0\) Và \(x + 1 = y + 2 = z + 3.\)

Giải:

Ta có: \(\left(x - \frac{1}{5}\right)\left(y + \frac{1}{2}\right)\left(z - 3\right) = 0\)

\(\Leftrightarrow x - \frac{1}{5} = 0\) hoặc \(y + \frac{1}{2} = 0\) hoặc \(z - 3 = 0\)

\(\Leftrightarrow x = \frac{1}{5}\) hoặc \(y = -\frac{1}{2}\) hoặc \(z = 3\)

\(\bullet\) Nếu \(x = \frac{1}{5},\) kết hợp với\(x + 1 = y + 2 = z + 3\) ta suy ra \(y = -\frac{4}{5}; z = -\frac{9}{5}\)

\(\bullet\) Nếu \(y = -\frac{1}{2},\) kết hợp với\(x + 1 = y + 2 = z + 3\) ta suy ra \(x = \frac{1}{2}; z = -\frac{3}{2}\)

\(\bullet\) Nếu \(z = 3\), tương tự ta suy ra \(x = 5; y = 4\)

Vậy ta có ba bộ số thỏa mãn đó là:

\(\frac{1}{5}; -\frac{4}{5}; -\frac{9}{5}\) hoặc \(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}; -\frac{3}{2}\) hoặc \(5; 4; 3.\)

Ví dụ 6: Tìm \(x \in Q\) biết: \(\left(\frac{2}{3}x - \frac{1}{5}\right)\left(\frac{3}{5}x + \frac{2}{3}\right) < 0.\)

Giải:

Ta có: \(\left(\frac{2}{3}x - \frac{1}{5}\right)\left(\frac{3}{5}x + \frac{2}{3}\right) < 0\)

\(\Leftrightarrow \left[\frac{2}{3}\left(x - \frac{3}{10}\right)\right]\left[\frac{3}{5}\left(x + \frac{10}{9}\right)\right] < 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{2}{3}.\frac{3}{5}\left(x - \frac{3}{10}\right)\left(x + \frac{9}{10}\right) < 0\)

\(\Leftrightarrow \left(x - \frac{3}{10}\right)\left(x + \frac{10}{9}\right) < 0\)

Từ đó suy ra: \(x - \frac{3}{10}\) và \(x + \frac{10}{9}\) trái dấu, mặt khác ta lại có \(x - \frac{3}{10} < x + \frac{10}{9}\)

Nên suy ra: \(x - \frac{3}{10} < 0\) và \(x + \frac{10}{9} > 0 \Leftrightarrow -\frac{10}{9} < x < \frac{3}{10}.\)

Vậy các số hữu tỉ \(x\) thỏa mãn bài toán là \(-\frac{10}{9} < x <\frac{3}{10}.\)


Ví dụ 7: Tính: \( A=\frac{-1}{2003.2002} - \frac{1}{2002.2001} - \frac{1}{2001.2000}-...- \frac{1}{3.2} -\frac{1}{2.1}\).

Giải:

Dễ thấy: \( \frac{1}{(n+1)n}= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\).

\(\Rightarrow A= -\left ( \frac{1}{2003.2002} + \frac{1}{2002.2001} + \frac{1}{2001.2000}+...+ \frac{1}{3.2} +\frac{1}{2.1} \right ) \)

\( = -\left ( \frac{1}{2002}-\frac{1}{2003}+\frac{1}{2001}-\frac{1}{2002}+ \frac{1}{2000}- \frac{1}{2001}+....+ 1-\frac{1}{2} \right ) \)

\( =-\left ( 1-\frac{1}{2003} \right ) \) \( = \frac{-2002}{2003}\).


Ví dụ 8: Tìm \(x\) biết \(x \notin \left\{1 ; 3 ; 8 ; 20\right\}\) và:

\(\frac{2}{(x - 1)(x - 3)} + \frac{5}{(x - 3)(x - 8)} + \frac{12}{(x - 8)(x - 20)} - \frac{1}{x - 20} = -\frac{3}{4}\).

Giải:

Ta có: \(\frac{2}{(x - 1)(x - 3)} + \frac{5}{(x - 3)(x - 8)} + \frac{12}{(x - 8)(x - 20)} - \frac{1}{x - 20}\)

\(= \frac{(x - 1) - (x - 3)}{(x - 3).(x - 1)} + \frac{(x - 3) - (x - 8)}{(x - 8).(x - 3)} + \frac{(x - 8) - (x - 20)}{(x - 20).(x - 8)} - \frac{1}{x - 20}\).

\(= \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 8} - \frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x - 20} - \frac{1}{x - 8} -- \frac{1}{x - 20} = -\frac{1}{x - 1}\).

\(\Rightarrow -\frac{1}{x - 1} = -\frac{3}{4} \Rightarrow x = \frac{7}{3}\).


Ví dụ 9*: Viết 5 số hữu tỉ trên một vòng tròn sao cho trong đó tích hai số cạnh nhau luôn bằng \( \frac{1}{36}\). Tìm cách viết đó.

Giải:

Gọi 5 số hữu tỉ đó là \( a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\), dễ thấy các số này đều khác 0.

Ta có: \(a_{1}a_{2}= a_{2}a_{3} \Rightarrow a_{1}=a_{3}\)

Tương tự có: \(a_{2}=a_{4}, a_{3}= a_{5}\)

Mà: \(a_{1}a_{2}= a_{5}a_{1} \Rightarrow a_{2}=a_{5}\).

\( \Rightarrow a_{1}=a_{2}= a_{3}= a_{4}= a_{5}= \pm \frac{1}{6} \).


Ví dụ 10**: a) Cho 13 số hữu tỉ, trong đó tổng của bốn số bất kì nào cũng là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 13 số đó là một số dương.

b) Cho 13 số hữu tỉ, trong đó tích của 3 số bất kì nào cũng là một số âm. Chứng minh rằng 13 số đã cho đều là số âm.

Giải:

Giải sử 13 số đã cho lần lượt là: \(a_1 ; a_2 ; a_3 ; ... ; a_{12} ; a_{13}\).

a) Ta xét 13 tổng sau: \(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 > 0\)

\(a_2 + a_3 + a_4 + a_5 > 0\)

\(a_3 + a_4 + a_5 + a_6 > 0\)

.....

\(a_{13} + a_1 + a_2 + a_3 > 0\).

Cộng các bất đằng thức trên vế theo vế ta được: \(4(a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{13}) > 0\).

\(\Rightarrow a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{13} > 0\)

Vậy tổng của 13 số đã cho là một số dương.

b) Xét 13 tích sau: \(a_1.a_2.a_3 < 0, a_2.a_3.a_4 < 0, ..., a_{13}.a_1.a_2 < 0\).

Suy ra: \((a_1.a_2.a_3...a_{13})^3 < 0 \Rightarrow a_1.a_2.a_3...a_{13} < 0\).

Tách riêng một số từ tích 13 số nói trên, 12 số còn lại chia thành 4 nhóm ba số ta có:

\((a_1.a_2.a_3).(a_4.a_5.a_6).(a_7.a_8.a_9).(a_{10}.a_{11}.a_{12}).a_{13} < 0\).

Ta thấy tích mỗi nhóm ba số là một số âm nên tích của 4 nhóm như vậy là số dương suy ra số được tách riêng ra là một số âm.

Tương tự cho 13 số và ta được 13 số đã cho đều là số âm.


C. Bài tập tự luyện

Bài tập 1: Tính giá trị biểu thức :

a) \(A = \left(-\frac{ 5}{9}\right).\frac{ 3}{11} + \left(-\frac{ 13}{18}\right).\frac{ 3}{11}\) b) \(B = \frac{ \frac{ 3}{4} - \frac{ 3}{5} + \frac{ 3}{7} + \frac{ 3}{11}}{\frac{ 13}{4} - \frac{ 13}{5} + \frac{ 13}{7} + \frac{ 13}{11}}\)

Bài tập 2: Tính nhanh:

\(M = \frac{75 - \frac{6}{13} + \frac{3}{17} - \frac{3}{19}}{275 - \frac{22}{13} + \frac{11}{7} - \frac{11}{19}}\).

\(N = \frac{1}{13} + \frac{3}{13.23} + \frac{3}{23.33} + ... + \frac{3}{2303.2306}\).

Bài tập 3: Tính giá trị biểu thức:

\(D = \frac{2.2306}{1 + \frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3} + \frac{1}{1 + 2 + 3 + 4} + ... + \frac{1}{1 + 2 + ... + 2306}}\).

Bài tập 4: Tìm \( x \) biết:

a) \( 7(x-1)+2x(1-x)=0\).
b) \( \frac{3}{4}+\frac{1}{4}:x=\frac{2}{5}\).

Bài tập 5: Tính:

\(T = \left(\frac{1}{2} - 1\right)\left(\frac{1}{3} - 1\right) ... \left(\frac{1}{2014} - 1\right)\left(\frac{1}{2015} - 1\right)\).

Bài tập 6: Tồn tại hay không hai số dương \(a\) và \(b\) khác nhau sao cho \(\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{a - b}\).

Bài tập 7: Tìm \(x\) biết:

\(\frac{x + 1}{2014} + \frac{x + 2}{2013} + \frac{x + 3}{2012} = \frac{x + 10}{2005} + \frac{x + 11}{2004} + \frac{x + 12}{2003}\).

Bài tập 8: Tìm \(x\) biết \(x \notin \left\{-2; -5; -10; -17\right\}\) và:

\(\frac{3}{(x + 2)(x + 5)} + \frac{5}{(x + 5)(x + 10)} + \frac{7}{(x + 10)(x + 17)} = \frac{x}{(x + 2)(x + 17)}\).

Bài tập 9*: Cho 1000 số, trong đó tích 3 số bất kì là một số dương. Chứng minh rằng 1000 số ấy đều dương.

Bài tập 10*: Viết 120 số 1 hoặc \(-1\) theo một vòng tròn. Biết rằng tích của ba số bất kì cạnh nhau trong vòng tròn đó bằng \(-1\). Tính tổng của 120 số đó.

Bài tập 11*: Viết \(2n+1\) số hữu tỉ trên một vòng tròn trong đó tích hai số cạnh nhau luôn bằng \( \frac{1}{100}\) (với \(n\) là số nguyên dương). Tìm các số đó.

Bài tập 12*: Tính \( P= \frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2014}}{\frac{2014}{1}+ \frac{2013}{2}+\frac{2012}{3}+...+\frac{1}{2014}} \).

Hy vọng rằng, các nội dung hướng dẫn trên đã giúp các em hiểu và thành thục hơn chuyên đề toán này. Mong các em tiếp tục tự luyện tập bằng cách tham khảo thêm các bài toán cùng chuyên đề trên mạng Pitago.Vn

Chúc các em tiến bộ và thành công!

Ban Biên Tập

Mạng Giáo Dục Pitago.Vn