HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: //www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Các dạng toán liên quan đến hàm số lượng giác
DẠNG.
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác.
*Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Cho hàm số
yfx
xác định trên miền
DR
. 1.
Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
yfx
trên D nếu
00
fxM,xDxD,fxM
2.
Số thực N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số
yfx
trên D nếu
00
fxm,xDxD,fxm
Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này: 1.
Tính bị chặn của hàm số lượng giác . 2.
Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất giữa
sin
và
cos
. 3.
Bảng biến thiên của hàm số lượng giác. 4.
Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay.
Ví dụ 1.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
102017cos[8 ] 2016.2017
y x
A.
min1;maxy4033.
y
min1;maxy4033.
y
C.
min1;maxy4022.
y
min1;max4022.
y y
Phân tích
Ta có các bước để giải quyết bài toán như sau:
Bước 1:
Chỉ ra
fxM,xD.
Bước 2 :
Chỉ ra
0
xD
sao cho
0
fxM
. Kết luận :
D
maxfxM
Tương tự với tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Lời giải
Chọn B. Cách 1:
Hàm số xác định trên
R
. Ta có
101cos8x1,R.2017
1020172017cos8x20164033,R 2017
.
1012017cos8x20164033,R 2017
Ta có
y1
khi
10cos8x12017
;
y4033
khi
10cos8x12017
. Vậy
min1;maxy4033
y
.
Cách 2:
sử dụng máy tính cầm tay. Trong bốn phương án chỉ có hai giá trị
max
là
4022;4033
. Chỉ có hai giá trị min là 1;-1. Lúc này ta sử dụng chức năng SHIFT CALC
để thử giá trị:
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: //www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Ví dụ ta nhập vào màn hình
102017cos8x201640332017
ta thấy phương trình có nghiệm. Tương tự nhập
102017cos8x201612017
ta thấy phương trình có nghiệm. Từ đây ta chọn
B
.
STUDY TIP
Trong bài toán ta chọn thử hai giá trị trên vì
4033
là giá trị lớn hơn và
1
là giá trị nhỏ hơn nên ta thử trước. Nếu phương trình không có nghiệm thì sẽ là trường hợp còn lại.
Ví dụ 2.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2
2cos23sinxcos1
y x x
min0;maxy4
y
min13;maxy33.
y
min4;maxy0.
y
min13;maxy33
y
.
Lời giải
Chọn A.
Để sử dụng tính bị chặn của hàm số ở trong STUDY TIP ta đưa ra ở trên, ta sẽ đưa
2
2cos23sinxcos1
y x x
về theo
sin
u x
hoặc
cos
u x
. Ta có
2
2cos23sinxcos1
y x x
2
2cos13sin22
x x
cos23sin22*
x x
132cos2sin2222
x x
2cos223
x
Mặt khác 12cos224,3
x x R
04,x
y R
. Ta có bài toán tổng quát: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
sincos
y a u b u
trên
R
. Với
22
,bR;a0.
a b
Lời giải tổng quát
sinu+bcosu
y a
222222
sin cos
a b y u u a ba b a b
Vì
22222
a b1a b a b
R
sao cho
22
acosab
và
22
bsinab
2 2
yabsinu.coscosu.sin
2 2
yab.sinu
Vì
1sinu1
2222
abyab
Ngoài ra ta có thể mở rộng bài toán như sau:
y asin f x bcos f x c
. Ta có
2222
abcyabc
Từ bài toán tổng quát trên ta có thể giải quyết nhanh bài toán ví dụ 2 từ dòng [*] như sau: Ta có
132132
y
04
y
.
STUDY TIP
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: //www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Ngoài cách nhớ công thức ở bài toán tổng quát phía bên phải ta có thể nhớ theo điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất theo sin và cos như sau: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
sin cos
y a f x b f x c
sin cos 0
a f x b f x c y
điều kiện có nghiệm
222
a b c y
. Từ đây ta tìm được
min,max
của y.
Ví dụ 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
sinx 2cos 32 cos
x y x
2min ;maxy 23
y
. B.
2min ;maxy 23
y
1 3min ;maxy2 2
y
1 3min ;maxy2 2
y
Lời giải Chọn B. Cách 1:
Ta có
cos20,
x x R
.
sinx 2cos 32 cos
x y x
sinx2cos32cos
x y y x
sinx2cos320
y x y
Ta sử dụng điều kiện ở STUDY TIP trong bài tổng quát trên. Ta có
222
1 2 3 2
y y
22
41294410
y y y y
2
3840
y y
223
y
Cách 2
: sử dụng máy tính cầm tay Tương tự như ở ví dụ 1 thì ta có thể sử dụng SHIFT SOLVE:
sinx 2cosx 322 cosx
thì phương trình có nghiệm. Do 2 là số lớn nhất trong các phương án A;B;C;D nên ta không cần thử trường hợp
3max2
. Lúc này chỉ còn A và B. Thử với
2min y3
thì không có nghiệm. Từ đây chọn B.
STUDY TIP
Nếu hàm số có dạng
1 1 12 2 2
asinxbcosxcyasinxbcosxc
ta tìm miền xác định của hàm số rồi quy đồng mẫu số, đưa về dạng phương trình trong STUDY TIP ở phía trên và tiếp tực lời giải.
Ví dụ 4.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
4
ysinxcosx
.
min1;maxy1
y
.
min0;maxy1
y
min1;maxy0
y
.
min1;maxy
y
không tồn tại.
Lời giải Chọn B.