Bài toán thực tế lớp 9 hệ phương trình năm 2024
|
Tài liệu gồm 84 trang, được biên soạn bởi tác giả Toán Học Sơ Đồ, tổng hợp kiến thức trọng tâm, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng bài tập tự luận & trắc nghiệm chuyên đề giải toán bằng cách lập hệ phương trình, hỗ trợ học sinh trong quá trình học tập chương trình Đại số 9 chương 3 bài số 5 – 6.
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected] Với cách giải Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình môn Toán lớp 9 Đại số gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình. Mời các bạn đón xem: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay, chi tiết - Toán lớp 9
Để giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta thực hiện qua ba bước sau: Bước 1: Lập hệ phương trình: - Chọn các ẩn số và đặt điều kiện, đơn vị thích hợp cho các ẩn số; - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các đại lượng đã biết; - Lập hệ phương trình biểu diễn sự tương quan của các đại lượng. Bước 2: Giải các hệ phương trình vừa tìm được. Bước 3: Kiểm tra điều kiện ban đầu và kết luận bài toán. II. Các dạng toán Dạng 1: Bài toán chuyển động Phương pháp giải: Vận dụng một số kiến thức về chuyển động sau: - Với ba đại lượng tham gia là quãng đường (S); vận tốc (v); thời gian (t), ta có công thức liên hệ giữa ba đại lượng như sau: S = vt Với: S là quang đường có đơn vị là km; m… v là vận tốc có đơn vị là km/h; m/s… t là thời gian có đơn vị là h; s… - Khi vật chuyển động trên dòng nước ta có: vxuoi=vthuc+vnuoc vnguoc=vthuc−vnuoc Ví dụ 1: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một khoảng thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến sớm hơn dự định 3h. Nếu mỗi giờ xe chạy chậm hơn dự định 10km thì đến nơi chậm mất 5h. Tính vận tốc xe lúc đầu và thời gian dự định đi trên quãng đường AB. Lời giải: Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h) (x > 10) Gọi thời gian dự định của ô tô là y (h) (y > 3) Quãng đường AB là: S = xy (km) (1) Nếu mỗi giờ ô tô tăng vận tốc 10 km/h thì vận tốc lúc đó là x + 10 (km/h) Vì ô tô đến sớm hơn 3h nên thời gian đi hết quãng đường AB là y – 3 (h) Quãng đường AB là: S = (x + 1)(y – 3) (km) (2) Từ (1) và (2) ta có phương trình: xy = (x + 10)(y – 3) ⇔xy = xy – 3x + 10y – 30 ⇔3x – 10y = -30 (*) Nếu mỗi giờ ô tô giảm vận tốc đi 10 km/h thì vận tốc lúc đó là x – 10 (km/h) Vì ô tô đến muộn hơn 5h nên thời gian đi hết quãng đường AB là y + 5 (h) Quang đường AB là: (x – 10)(y + 5) (km) (3) Từ (1) và (3) ta có phương trình: xy = (x – 10)(y + 5) ⇔xy = xy + 5x – 10y – 50 ⇔5x – 10y = 50 (**) Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình 3x−10y=−30 (4)5x−10y=50 (5) Lấy (5) – (4) ta được: ⇔5x−10y−3x−10y=50+303x−10y=−30 ⇔5x−10y−3x+10y=803x−10y=−30 ⇔2x=803x−10y=−30 ⇔x=80:23x−10y=−30 ⇔x=403.40−10y=−30 ⇔x=4010y=120+30 ⇔x=4010y=150 ⇔x=40y=15 (thỏa mãn) Vậy vận tốc dự định của ô tô là 40 km/h và thời gian dự định của ô tô đi hết quãng đường AB là 15h. Ví dụ 2: Một ca nô chạy trên một dòng sông trong 7h, biết chạy xuôi dòng là 108km và ngược dòng là 63km. Một lần khác ca nô cũng chạy trong 7h nhưng chạy xuôi dòng là 81km và chạy ngược dòng là 84km. Tính vận tốc nước chảy và vận tốc thực của ca nô. Lời giải: Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h); vận tốc của nước là y (km/h) (x > y > 0) Vận tốc xuôi dòng của ca nô là x + y (km/h) Vận tốc ngược dòng của ca nô là x – y (km/h). Thời gian xuôi dòng 108km của ca nô là 108x+y(h) Thời gian ngược dòng 63km của ca nô là 63x−y(h) Vì tổng thời gian xuôi dòng và ngược dòng lần thứ nhất là 7h nên ta có phương trình: 108x+y + 63x−y = 7 (1) Thời gian xuôi dòng 81km của ca nô là 81x+y(h) Thời gian ngược dòng 84km của ca nô là 84x−y(h) Vì tổng thời gian xuôi dòng và ngược dòng lần thứ 2 là 7h nên ta có phương trình: 81x+y + 84x−y = 7 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 108x+y+63x−y=781x+y+84x−y=7 Đặt 1x+y=a1x−y=b Khi đó hệ phương trình trở thành 108a+63b=7 (3)81a+84b=7 (4) Nhân cả hai vế phương trình (3) với 3 và phương trình (4) với 4 ta được: 324a+189b=21 (5)324a+336b=28 (6) Lấy (6) – (5) ta được: 324a+336b−324a+189b=28−21324a+189b=21 ⇔324a+336b−324a−189b=7324a+189b=21 ⇔147b=7324a+189b=21 ⇔a=21−189b324b=121 ⇔a=21−189.121324b=19 ⇔a=127b=121⇒1x+y=1271x−y=121 ⇔x+y=27x−y=21⇔2x=27+21y=27−x ⇔2x=48y=27−x⇔x=24y=27−24⇔x=24y=3 (thỏa mãn) Vậy vận tốc thực của ca nô là 24 km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h. Dạng 2: Bài toán công việc làm chung làm riêng Phương pháp giải: Khi giải một bài toán làm chung làm riêng công việc ta cần chú ý đến một số đại lượng sau: - Có ba đại lượng tham gia bài toán là: + Toàn bộ công việc. + Phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian. + Thời gian hoàn thành một phần công việc hoặc toàn bộ công việc. - Nếu một đội (một người,…) làm xong công việc trong x ngày thì mỗi ngày đội đó làm được 1x(công việc), làm a ngày thì được ax(công việc). - Ta thường coi toàn bộ công việc là 1. Ví dụ 1: Hai bạn An và Khoa cùng làm chung một công việc sau 6 giờ thì xong. Biết nếu làm một mình xong công việc thì Khoa làm lâu hơn An 9 giờ. Tính thời gian làm một mình xong công việc của An, Khoa. Lời giải: Gọi thời gian An làm một mình xong công việc là x (h); thời gian Khoa làm một mình xong công việc là y (h) (y > x > 9) Vì Khoa làm một mình xong công việc lâu hơn An là 9h nên ta có phương trình y – x = 9 (1) 1h An làm được 1x (công việc) 1h Khoa làm được 1y (công việc) Vì cả hai bạn cùng làm thì sau 6 giờ xong công việc nên ta có phương trình: 6.1x+1y=1 ⇔6x+6y=1(2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 6x+6y=1y−x=9 ⇔6x+6y=1y=x+9 ⇔6x+6x+9=1y=x+9 ⇔6(x+9)+6xxx+9=1y=x+9 ⇔6x+54+6xxx+9=1y=x+9 ⇔12x+54=x2+9xy=x+9 ⇔x2+9x−12x−54=0y=x+9 ⇔x2−3x−54=0y=x+9 ⇔x2−9x+6x−54=0y=x+9 ⇔xx−9+6x−9=0y=x+9 ⇔x−9x+6=0y=x+9 ⇔x−9=0x+6=0y=x+9 ⇔x=9 (tm)x=−6 (ktm)y=x+9⇔x=9y=18 Vậy An làm một mình thì 9h xong công việc; Khoa làm một mình thì 18h xong công việc. Ví dụ 2: Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 4 giờ vòi hai chảy trong 3 giờ thì được 75% bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể. Lời giải: Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x (h); vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là y (h) (x; y > 0). Một giờ vòi thứ nhất sẽ chảy được 1x(bể) Một giờ vòi thứ hai sẽ chảy được 1y(bể) Đổi 4h 48’ = 4,8h 75% = 34h Vì hai vòi chảy trong 4,8h thì đầy bể nên ta có phương trình: 4,8.1x+1y=1 ⇔4,8x+4,8y=1 (1) Vì vòi thứ nhất chảy trong 4h; vòi thứ hai chảy trong 3h thì được 34(bể) nên ta có phương trình: 4x+3y=34 (2) Thừ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 4,8x+4,8y=14x+3y=34 Đặt 1x=a1y=b khi đó hệ trở thành 4,8a+4,8b=14a+3b=0,75 ⇔4,8a+4,8b=14a=0,75−3b ⇔4,8a+4,8b=1a=0,75−3b4 ⇔a=0,75−3b44,8.0,75−3b4+4,8b=1 ⇔a=0,75−3b41,2.0,75−3b+4,8b=1 ⇔a=0,75−3b40,9−3,6b+4,8b=1 ⇔a=0,75−3b41,2b=1−0,9 ⇔a=0,75−3b41,2b=0,1 ⇔a=0,75−3b4b=0,1:1,2 ⇔a=0,75−3b4b=112 ⇔a=0,75−3.1124b=112 ⇔a=18b=112 ⇒1x=181y=112⇔x=8y=12(thỏa mãn) Vậy vòi thứ nhất chảy một mình thì sau 8h sẽ đầy bể; vòi thứ hai chảy một mình thì sau 12h sẽ đầy bể. Dạng 3: Bài toán về quan hệ các số Phương pháp giải: Ta sử dụng một số kiến thức sau đây: - Biểu diễn số có hai chữ số ab¯=10a+b trong đó a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng đơn vị và 0 - Biểu diễn số có ba chữ số abc¯=100a+10b+c, trong đó a là chữ số hàng trăm b là chữ số hàng trục; c là chữ số hàng đơn vị và 0 Ví dụ 1: Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số đó thì được số mới lớn hơn số đã cho 63 đơn vị. Biết tổng của số ban đầu và số mới tạo thành là 99. Tìm số ban đầu. Lời giải: Gọi số cần tìm là ab¯=10a+b với 0 Nếu đổi chỗ hai chữ số của số ban đầu cho nhau ta được số mới là ba¯=10b+a. Vì số mới lớn hơn số ban đầu 63 đơn vị nên ta có phương trình: ba¯−ab¯=63 ⇔10b+a−10a+b=63 ⇔10b+a−10a−b=63 ⇔−9a+9b=63 ⇔−a+b=7 (1) Vì tổng hai số ban đầu và số mới tạo thành là 99 nên ta có phương trình: ba¯+ab¯=99 ⇔10b+a+10a+b=99 ⇔10b+a+10a+b=99 ⇔11a+11b=99 ⇔a+b=9 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: −a+b=7a+b=9 ⇔−a+b=7(−a+b)+(a+b)=9+7 ⇔−a+b=7−a+b+a+b=16 ⇔−a+b=72b=16⇔−a+b=7b=16:2 ⇔−a+b=7b=8⇔−a+8=7b=8 ⇔a=1b=8 Vậy số ban đầu là 18. Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng trục hơn chữ số hàng đơn vị hai đơn vị là 2, nếu viết xen giữa chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số đó tăng thêm 630 đơn vị. Lời giải: Gọi số cần tìm là ab¯ 2≤a≤9;0≤b≤9;a,b∈ℕ Ta có: ab¯=10a+b Vì chữ số hàng chục hơn chữ số hàng đơn vị hai đơn vị nên ta có phương trình a−b=2. Nếu viết xen giữa chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì ta được số mới là a0b¯ Ta có: a0b¯=100a+b Vì số mới lớn hơn số cũ 630 đơn vị nên ta có: a0b¯−ab¯=100a+b−10a+b=630 ⇔100a+b−10a−b=630 ⇔90a=630 ⇔a=630:90 ⇔a=7 mà a – b = 2 ⇒b=5 Vậy số có hai chữ số cần tìm là 75. Dạng 4: Bài toán về hình học Phương pháp giải: Sử dụng đến công thức tính chu vi, diện tích các hình như hình vuông; hình chữ nhật; hình thang;… Ví dụ 1: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 60m. Nếu tăng chiều dài lên 4 lần và chiều rộng lên 3 lần thì chu vi khu vườn sẽ tăng 162m. Tìm diện tích khi vườn. Lời giải: Gọi chiều dài của khu vườn là x (m); chiều rộng của khu vườn là y (m) x>y>0 Vì chu vi khu vườn là 60m nên ta có phương trình: 2.(x + y) = 60 ⇔x + y = 60:2 ⇔x + y = 30 (1) Nếu tăng chiều dài lên 4 lần thì chiều dài mới là 4x (m); nếu tăng chiều rộng lên 3 lần thì chiều rộng mới là 3y (m). Chu vi khu vườn mới là: 2(4x + 3y) = 8x + 6y (m) Vì chu vi khu vườn mới hơn chu vi khu vườn cũ 162m nên ta có phương trình: (8x + 6y) – 2(x + y) = 162 ⇔8x + 6y – 2x – 2y = 162 ⇔6x + 4y = 162 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: x+y=306x+4y=162 ⇔x=30−y630−y+4y=162 ⇔x=30−y180−6y+4y=162 ⇔x=30−y−2y=162−180 ⇔x=30−y−2y=−18 ⇔x=30−yy=(−18):(−2) ⇔x=30−yy=9 ⇔x=30−9y=9 ⇔x=21y=9 (thỏa mãn) Diện tích khu vườn ban đầu là: S = 21.9 = 189m2 Ví dụ 2: Một tam giác có chiều cao bằng 34cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3dm và cạnh đáy giảm đi 3dm thì diện tích của nó tăng thêm 12dm2. Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác. Lời giải: Gọi chiều cao của tam giác là x (dm); cạnh đáy của tam giác là y (dm) 0 Vì chiều cao của tam giác bằng 34cạnh đáy nên ta có: x = 34y (1) Diện tích tam giác đó là S = 12.x.ydm2 Nếu chiều cao tam giác tăng thêm 3dm thì chiều cao mới của tam giác là x + 3 (dm) Nếu cạnh đáy tam giác giảm đi 3dm thì cạnh đáy mới của tam giác là y – 3 (dm). Diện tích tam giác mới là S = 12.x+3.y−3=12xy−32x+32y−92dm2 Vì diện tích mới hơn diện tích cũ 12dm2nên ta có phương trình 12xy−32x+32y−92 - 12xy = 12 ⇔12xy−32x+32y−92−12xy=12 ⇔−32x+32y−92=12 ⇔−3x+3y−9=12.2 ⇔−3x+3y=24+9 ⇔−3x+3y=33 ⇔−x+y=11 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình −x+y=11x=34y⇔x=34y−34y+y=11 ⇔x=34y14y=11⇔x=34yy=11.4⇔x=34yy=44 ⇔x=34.44y=44⇔x=33y=44(thỏa mãn) Vậy chiều cao của tam giác lầ 33dm; cạnh đáy của tam giác là 44dm. Dạng 5: Bài toán thực tế Phương pháp giải: - Với bài toán về năng suất lao động ta chú ý đến ba đại lượng: Tổng sản phẩm; số sản phẩm làm trong một đơn vị thời gian; thời gian làm sản phẩm, khi đó ta có công thức liên hệ ba đại lượng trên như sau: Tổng sản phẩm = thời gian . số sản phẩm làm được trong một đơn vị thời gian. - Với bài toán liên quan đến tỉ số phần trăm ta chú ý đến các đại lượng sau. Tổng sản phẩm, phần trăm vượt mức khi đó ta có công thức liên hệ giữa hai đại lượng trên là: Tổng sản phẩm = (100 + a)%.x với x là số sản phẩm dự định ban đầu, a là phần trăm vượt mức. Ví dụ 1: Một công ty dự định sản xuất một 1000 hộp khẩu trang so với quy định. Tuy nhiên do dịch bệnh Covid – 19 bùng phát nên công ty đã đẩy nhanh tiến độ mỗi ngày 10 hộp khẩu trang để kịp phục vụ thị trường do vậy công ty đã hoàn thành sớm hơn kế hoạch 5 ngày. Hỏi theo kế hoạch ban đầu công ty dự kiến sản xuất trong bao nhiêu ngày. Lời giải: Gọi thời gian công ty dự định sản xuất khẩu trang là x (ngày) (x > 5) Gọi năng suất làm vệc ban đầu của công ty là y (sản phẩm / ngàyy) y>0;y∈ℕ* Vì ban đầu công ty dự định sản xuất 1000 hộp khẩu trang nên ta có phương trình: xy = 1000 (1) Vì hoàn thành sớm hơn 5 ngày nên thời gian thực tế công ty sản xuất là x – 5 (ngày) Vì mỗi ngày công ty làm thêm 10 hộp khẩu trang nên năng suất thực tế của công ty là y + 10 (sản phẩm / ngày) Ta có phương trình: 1000 = (x – 5)(y +10) (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: xy=1000x−5y+10=1000 ⇔xy=1000xy+10x−5y−50=1000 ⇔xy=10001000+10x−5y−50=1000 ⇔xy=100010x−5y=1000−1000+50 ⇔xy=100010x−5y=50⇔xy=10002x−y=10 ⇔xy=1000y=2x−10⇔x2x−10=1000y=2x−10 ⇔2x2−10x−1000=0y=2x−10 ⇔2x2−10x−1000=0y=2x−10 ⇔2xx−25+40x−25=0y=2x−10 ⇔x−252x+40=0y=2x−10 ⇔x−25=02x+40=0y=2x−10⇔x=25 (tm)x=−20 (ktm)y=2x−10 ⇔x=25y=2.25−10⇔x=25y=40 (tm) Vậy thời gian công ty dự định sản xuất khẩu trang là 25 ngày. Ví dụ 2: Hai xí nghiệp tổng cộng phải làm 360 dụng cụ. Trên thực tế xí nghiệp I vượt mức 12%, xí nghiệp II vượt mức 10% nên tổng dụng cụ làm được là 400 dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm so với dự định. Lời giải: Gọi số dụng cụ xí nghiệp I phải làm là x (dụng cụ) x>0;x∈ℕ* Gọi số dụng cụ xí nghiệp II phải làm là y (dụng cụ) y>0;y∈ℕ*. Vì ban đầu cả hai xí nghiệp phải làm 360 dụng cụ nên ta có phương trình: x + y = 360 (1) Vì xí nghiệp I vớt mức 12% nên số dụng cụ thực tế xí nghiệp I làm được là: (100 + 12)%x = 112%x = 1,12x Vì xí nghiệp II vượt mức 10 % nên số dụng cụ thực tế xí nghiệp II làm được là: (100 + 10)%y = 110%y = 1,1y. Thực tế cả hai xí nghiệp đã làm được 400 dụng cụ nên ta có phương trình: 1,12x + 1,1y = 400 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: x+y=3601,12x+1,1y=400 ⇔x=360−y1,12360−y+1,1y=400 ⇔x=360−y403,2−1,12y+1,1y=400 ⇔x=360−y−1,12y+1,1y=400−403,2 ⇔x=360−y−0,02y=−3,2 ⇔x=360−yy=−3,2:−0,02 ⇔x=360−yy=160 ⇔x=360−160y=160⇔x=200y=160(thỏa mãn) Vậy số dụng cụ xí nghiệp I cần làm theo kế hoạch là 200 dụng cụ; số dụng cụ xí nghiệp II cần làm theo kế hoạch là 160 dụng cụ. |
