Bài viết hướng dẫn phương pháp xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ứng dụng bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết một số bài toán về kinh tế và đời sống.
A. LÝ THUYẾT CẦN NẮM VỮNG
1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
a] Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm.
• Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x$, $y$ là bất phương trình có một trong các dạng: $ax+by+c0$, $ax+by+c\le 0$, $ax+by+c\ge 0$ trong đó $a$, $b$, $c$ là những số thực đã cho, $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$; $x$ và $y$ là các ẩn số.
• Mỗi cặp số $\left[ {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right]$ sao cho $a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c0$, nửa mặt phẳng còn lại [không kể bờ $[d]$] gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình $ax+by+c0$ $\Leftrightarrow x+4y+20 \\
& 2x-3y+6>0 \\
& x-2y+1\ge 0 \\
\end{align} \right.$
a] Vẽ các đường thẳng $\left[ d \right]:x+y-2=0$, $\left[ d’ \right]:x-3y+3=0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$ Xét điểm $\text{O}\left[ 0;0 \right]$, thấy $\left[ 0;0 \right]$ không phải là nghiệm của bất phương trình $x+y-2\ge 0$ và $x-3y+3\le 0.$
Do đó miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng $\left[ d \right]$ và $\left[ d’ \right].$
b] Vẽ các đường thẳng $\left[ d \right]:x+y=0$, $\left[ d’ \right]:2x-3y+6=0$ và $\left[ d” \right]:x-2y+1=0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$ Xét điểm $\text{O}\left[ 0;0 \right]$, thấy $\left[ 0;0 \right]$ là nghiệm của bất phương trình $2x-3y+6>0$ và $x-2y+1\ge 0.$ Do đó $\text{O}\left[ 0;0 \right]$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x-3y+6>0$ và $x-2y+1\ge 0.$ Xét điểm $M\left[ 1;0 \right]$ ta thấy $\left[ 1;0 \right]$ là nghiệm của bất phương trình $x+y>0$ do đó điểm $M\left[ 1;0 \right]$ thuộc miền nghiệm bất phương trình $x+y>0.$
Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả đường thẳng $\left[ d” \right].$
Ví dụ 3. Xác định miền nghiệm bất phương trình $\left[ x-y \right]\left[ {{x}^{3}}+{{y}^{3}} \right]\ge 0.$
Ta có $\left[ x-y \right]\left[ {{x}^{3}}+{{y}^{3}} \right]\ge 0$ $\Leftrightarrow \left[ x-y \right]\left[ x+y \right]\left[ {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}} \right]\ge 0$ $\Leftrightarrow \left[ x-y \right]\left[ x+y \right]\ge 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x-y\ge 0 \\ x+y\ge 0 \\ \end{matrix} \right.$ $[1]$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} x-y\le 0 \\ x+y\le 0 \\ \end{matrix} \right.$ $[2].$ Như vậy miền nghiệm của bất phương trình đã cho là gồm hai miền nghiệm của hệ bất phương trình $[1]$ và $[2].$ Vẽ các đường thẳng $\left[ d \right]:x+y=0$, $\left[ d’ \right]:x-y=0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$ Xét điểm $M\left[ 1;0 \right]$, ta có $\left[ 1;0 \right]$ là nghiệm của các bất phương trình của hệ $[1]$ do đó $M\left[ 1;0 \right]$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $[1].$ Xét điểm $N\left[ -1;0 \right]$, ta có $\left[ -1;0 \right]$ là nghiệm của các bất phương trình của hệ $[2]$ do đó $N\left[ -1;0 \right]$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $[2].$
Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng $\left[ d \right]$, $\left[ d’ \right].$
Dạng toán 2. Ứng dụng bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải bài toán về kinh tế.
Phương pháp giải toán:
• Ta thừa nhận kết quả sau: “Giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức $P\left[ x;y \right]=ax+by$ $\left[ b\ne 0 \right]$ trên miền đa giác lồi [kể cả biên] đạt được tại một đỉnh nào đó của đa giác”.
Ví dụ 4. Một công ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho một đợt khuyến mại nhằm thu hút khách hàng bằng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm của công ty trên hệ thống phát thanh và truyền hình. Chi phí cho $1$ phút quảng cáo trên sóng phát thanh là $800.000$ đồng, trên sóng truyền hình là $4.000.000$ đồng. Đài phát thanh chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo dài ít nhất là $5$ phút. Do nhu cầu quảng cáo trên truyền hình lớn nên đài truyền hình chỉ nhận phát các chương trình dài tối đa là $4$ phút. Theo các phân tích, cùng thời lượng một phút quảng cáo, trên truyền hình sẽ có hiệu quả gấp $6$ lần trên sóng phát thanh. Công ty dự định chi tối đa $16.000.000$ đồng cho quảng cáo. Công ty cần đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất?
Phân tích bài toán: Gọi thời lượng công ty đặt quảng cáo trên sóng phát thanh là $x$ [phút], trên truyền hình là $y$ [phút]. Chi phí cho việc quảng cáo là: $800.000x+4.000000y$ [đồng]. Mức chi này không được phép vượt quá mức chi tối đa, tức là: $800.000x+4.000.000y\le 16.000.000$ hay $x+\text{ 5}y-20\le \text{0}.$ Do các điều kiện đài phát thanh, truyền hình đưa ra, ta có:$x\ge 5$, $y\le 4.$ Đồng thời do $x$, $y$ là thời lượng nên $x\ge 0$, $y\ge 0$. Hiệu quả chung của quảng cáo là: $x+6y.$ Bài toán trở thành: Xác định $x$, $y$ sao cho: $M\left[ x;y \right]=x+6y$ đạt giá trị lớn nhất. Với các điều kiện $\left\{ \begin{align} & x+\text{5}y-20\le \text{0} \\ & x\ge 5 \\ & 0\le y\le 4 \\ \end{align} \right.$ $[*].$ Trước tiên ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình $[*].$ Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng $\left[ d \right]:x+5y-20=0$, $\left[ d’ \right]:x=5$, $\left[ d” \right]:y=4.$
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình $[*]$ là phần mặt phẳng [tam giác] không tô màu trên hình vẽ.
Giá trị lớn nhất của $M\left[ x;y \right]=x+6y$ đạt tại một trong các điểm $\left[ 5;3 \right]$, $\left[ 5;0 \right]$, $\left[ 20;0 \right].$ Ta có $M\left[ 5;3 \right]=23$, $M\left[ 5;0 \right]=5$, $M\left[ 20;0 \right]=20$ suy ra giá trị lớn nhất của $M\left[ x;y \right]$ bằng $23$ tại $\left[ 5;3 \right].$
Vậy nếu đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh là $5$ phút và trên truyền hình là $3$ phút thì sẽ đạt hiệu quả nhất.
Ví dụ 5. Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại $I$ cần $2$kg nguyên liệu và $30$ giờ, đem lại mức lợi nhuận $40000$ đồng. Mỗi kg sản phẩm loại $II$ cần $4$kg nguyên liệu và $15$ giờ, đem lại mức lợi nhuận $30000$ đồng. Xưởng có $200$kg nguyên liệu và $120$ giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lợi nhuận cao nhất?
Phân tích bài toán: Gọi $x$ [$x\ge 0$] là số kg loại $I$ cần sản xuất, $y$ [$y\ge 0$] là số kg loại $II$ cần sản xuất. Suy ra số nguyên liệu cần dùng là $2x+4y$, thời gian là $30x+15y$, có mức lợi nhuận là $40000x+30000y.$ Theo giả thiết bài toán xưởng có $200$kg nguyên liệu và $120$ giờ làm việc suy ra $2x+4y\le 200$ hay $x+2y-100\le 0$, $30x+15y\le 1200$ hay $2x+y-80\le 0.$ Bài toán trở thành: Tìm $x$, $y$ thoả mãn hệ $\left\{ \begin{align} & x+2y-100\le 0 \\ & 2x+y-80\le 0 \\ & x\ge 0 \\ & y\ge 0 \\ \end{align} \right.$ $[*]$ sao cho $L\left[ x;y \right]=40000x+30000y$ đạt giá trị lớn nhất. Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng $\left[ d \right]:x+2y-100=0$, $\left[ d’ \right]:2x+y-80=0.$
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình $[*]$ là phần mặt phẳng [tứ giác] không tô màu trên hình vẽ.
Giá trị lớn nhất của $L\left[ x;y \right]=40000x+30000y$ đạt tại một trong các điểm $\left[ 0;0 \right]$, $\left[ 40;0 \right]$, $\left[ 0;50 \right]$, $\left[ 20;40 \right]$. Ta có $L\left[ 0;0 \right]=0$, $L\left[ 40;0 \right]=1600000$, $L\left[ 0;50 \right]=1500000$, $L\left[ 20;40 \right]=2000000$ suy ra giá trị lớn nhất của $L\left[ x;y \right]$ là $2000000$ khi $\left[ x;y \right]=\left[ 20;40 \right].$
Vậy cần sản xuất $20$ kg sản phẩm loại $I$ và $40$ kg sản phẩm loại $II$ để có mức lợi nhuận lớn nhất.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. ĐỀ BÀI
Bài toán 1. Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau:
a] $x-3y\ge 0.$
b] $\frac{x-y}{-2}0.$ Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng $\Delta :3x+y+2=0.$
Xét điểm $\text{O}\left[ 0;0 \right]$, ta thấy $\left[ 0;0 \right]$ là nghiệm của bất phương trình đã cho do đó miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ $\Delta $ [không kể đường thẳng $\Delta $] và chứa điểm $\text{O}\left[ 0;0 \right]$ [miền không được tô màu trên hình vẽ].
Bài toán 2. a] Vẽ các đường thẳng $\left[ d \right]:x+y-2=0$, $\left[ d’ \right]:x-y+3=0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$ Xét điểm $\text{O}\left[ 0;0 \right]$, thấy $\left[ 0;0 \right]$ là nghiệm của bất phương trình $x+y-20$ và $2x-3y-6\le 0.$ Do đó $\text{O}\left[ 0;0 \right]$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $x+y+2>0$ và $2x-3y-6\le 0.$ Xét điểm $M\left[ 0;3 \right]$ ta thấy $\left[ 0;3 \right]$ là nghiệm của bất phương trình $x-2y+3\le 0$ do đó điểm $M\left[ 0;3 \right]$ thuộc miền nghiệm bất phương trình $x-2y+3\le 0.$
Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả đường thẳng $\left[ d’ \right]$, $\left[ d” \right].$
Bài toán 3. Gọi $x$, $y$ $[x,y\in N]$ lần lượt là số xe loại MITSUBISHI, loại FORD cần thuê. Từ bài toán ta được hệ bất phương trình $\left\{ \begin{align} & 0\le x\le 10 \\ & 0\le y\le 9 \\ & 20x+10y\ge 140 \\ & 0,6x+1,5y\ge 9 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 0\le x\le 10 \\ & 0\le y\le 9 \\ & 2x+y\ge 14 \\ & 2x+5y\ge 30 \\ \end{align} \right.$ $[*].$ Tổng chi phí $T\left[ x,y \right]=4x+3y$ [triệu đồng]. Bài toán trở thành là tìm $x$, $y$ nguyên không âm thoả mãn hệ $[*]$ sao cho $T\left[ x,y \right]$ nhỏ nhất.
Từ đó ta cần thuê $5$ xe hiệu MITSUBISHI và $4$ xe hiệu FORD thì chi phí vận tải là thấp nhất.
Bài toán 4. Gọi $x$, $y$ lần lượt là số cái bánh Đậu xanh, bánh Dẻo [$x,y\in N$]. Bài toán trở thành tìm số tự nhiên $x$, $y$ thoả mãn hệ: $\left\{ \begin{align} & 6x+7y\le 30000 \\ & 2x+y\le 5000 \\ \end{align} \right.$ sao cho $L=2x+1,8y$ lớn nhất. Từ đó ta có: $\left\{ \begin{align} & x=625 \\ & y=3750 \\ \end{align} \right.$ thì $L=2x+1,8y$ đạt giá trị lớn nhất.
Vậy cần $625$ bánh đậu xanh và $3750$ bánh dẻo thì lợi nhuận lớn nhất.
- Kiến thức Bất đẳng thức và bất phương trình