Tổng hợp các dạng bài tập Toán lớp 10 gồm các dạng toán từ cơ bản đến nâng cao với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh nắm vững kiến thức từ đó biết cách giải bài tập Toán 10 Đại số và Hình học.
- Các dạng bài tập Mệnh đề - Tập hợp
- Xác định tính đúng sai của mệnh đề
- Mệnh đề và suy luận toán học hay và chi tiết
- Mệnh đề phủ định và cách giải các dạng bài toán
- Tập hợp, cách xác định tập hợp và cách giải bài tập
- Các phép toán trên tập hợp và cách giải bài tập
- Các bài toán về các tập hợp số và cách giải
- Các bài toán về Số gần đúng và sai số và cách giải
- Công thức về mệnh đề và mệnh đề phủ định
- Công thức về tập hợp
- Công thức về mối liên hệ các tập hợp số
- Các dạng bài tập Hàm số bậc nhất và bậc hai
- Hàm số lớp 10 và cách giải các dạng bài tập
- Hàm số bậc nhất lớp 10 và cách giải các dạng bài tập
- Hàm số bậc hai lớp 10 và cách giải các dạng bài tập
- Cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết
- Cách xét tính chẵn, lẻ của hàm số chi tiết
- Tất tần tật công thức về Hàm số y = |x|
- Công thức tọa độ đỉnh của parabol, tọa độ giao điểm của parabol với các trục tọa độ
- Cách vẽ đồ thị Parabol chi tiết
- Các dạng bài tập Phương trình. Hệ phương trình
- Đại cương về phương trình và cách giải bài tập
- Các phương trình đưa về phương trình bậc nhất và cách giải bài tập
- Các phương trình đưa về phương trình bậc hai và cách giải bài tập
- Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và cách giải bài tập
- Hệ phương trình lớp 10 và cách dạng bài tập
- Công thức giải phương trình bậc nhất chi tiết nhất
- Công thức giải phương trình bậc hai đầy đủ, chi tiết nhất
- Tất tần tật về Hệ thức Vi-et | Công thức Hệ thức Vi-et
- Công thức giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối chi tiết
- Công thức giải phương trình chứa dấu căn chi tiết
- Công thức giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn chi tiết
- Các dạng bài tập Bất đẳng thức và bất phương trình
- Bất đẳng thức lớp 10 và cách giải bài tập
- Bất phương trình bậc nhất và cách giải bài tập
- Bất phương trình bậc hai và cách giải bài tập
- Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải bài tập
- Các tính chất của bất đẳng thức lớp 10 đầy đủ, chi tiết
- Bất đẳng thức Cô-si và hệ quả chi tiết nhất
- Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối chi tiết nhất
- Dấu của nhị thức bậc nhất chi tiết nhất
- Công thức giải bất phương trình một ẩn chi tiết nhất
- Công thức giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối chi tiết nhất
- Dấu của tam thức bậc hai chi tiết nhất
- Công thức giải bất phương trình bậc hai một ẩn chi tiết nhất
- Các dạng bài tập Thống kê
- Bảng phân bố tần số và tần suất và cách giải bài tập
- Biểu đồ lớp 10 và cách giải bài tập
- Số trung bình cộng. Số trung vị. Mốt và cách giải bài tập
- Phương sai và độ lệch chuẩn và cách giải bài tập
- Các dạng bài tập Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác
- Góc và cung lượng giác và cách giải bài tập
- Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập
- Công thức lượng giác chi tiết và cách giải bài tập
- Các dạng bài tập Vectơ
- Các định nghĩa về vectơ và cách giải bài tập
- Tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải bài tập
- Tích của vectơ với một số và cách giải bài tập
- Cách Phân tích vectơ và phương pháp giải bài tập
- Tọa độ của vectơ, tọa độ của một điểm và cách giải bài tập
- Trọn bộ công thức cơ bản về Vectơ dầy đủ
- Công thức về tổng và hiệu hai vectơ chi tiết nhất
- Quy tắc trung điểm, trọng tâm, quy tắc hình bình hành vecto lớp 10 chi tiết nhất
- Công thức Phân tích vectơ lớp 10 chi tiết nhất
- Công thức về Hệ trục tọa độ lớp 10 chi tiết nhất
- Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
- Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180 và cách giải bài tập
- Tích vô hướng của hai vectơ và cách giải bài tập
- Công thức góc giữa hai vectơ chi tiết nhất
- Công thức Tích vô hướng của hai vectơ chi tiết nhất
- Các tính chất của tích vô hướng chi tiết nhất
- Công thức tính độ dài vectơ chi tiết nhất
- Công thức khoảng cách giữa hai điểm vectơ lớp 10
- Tất tần tật về Định lí Côsin và hệ quả chi tiết nhất
- Công thức tính độ dài đường trung tuyến chi tiết nhất
- Tất tần tật về Định lí Sin chi tiết nhất
- Các công thức tính diện tích tam giác đầy đủ, chi tiết nhất
- Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
- Hệ trục tọa độ trong mặt phẳng và cách giải bài tập
- Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập
- Phương trình đường tròn và cách giải bài tập
- Phương trình đường elip và cách giải bài tập
- Công thức xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng hay, chi tiết nhất
- Công thức xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng hay, chi tiết nhất
- Công thức viết phương trình tham số của đường thẳng hay, chi tiết nhất
- Công thức viết phương trình tổng quát của đường thẳng hay, chi tiết nhất
- Công thức chuyển đổi giữa phương trình tổng quát với phương trình tham số của đường thẳng
- Công thức liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng
- Công thức viết phương trình đường thẳng theo đoạn chắn hay, chi tiết nhất
- Công thức tìm điểm đối xứng qua đường thẳng hay và chi tiết
- Công thức viết phương trình đường phân giác hay chi tiết nhất
- Công thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng hay và chi tiết nhất
- Công thức tính góc giữa hai đường thẳng hay, chi tiết nhất
- Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
- Công thức xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
- Công thức xác định tâm và bán kính của đường tròn hay, chi tiết nhất
- Công thức viết phương trình đường tròn
- Công thức viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn
- Công thức xác định tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, độ dài trục lớn, trục bé của Elip
- Công thức viết phương trình chính tắc của Elip
16:54:4225/09/2019
Vậy sang lớp 10, việc giải phương trình và hệ phương trình có gì mới? các dạng bài tập giải phương trình và hệ phương trình có 'nhiều và khó hơn' ở lớp 9 hay không? Chúng ta hãy cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây.
» Đừng bỏ lỡ: Bài tập về xét dấu của Tam thức bậc 2, Bất phương trình bậc 2 và lời giải cực dễ hiểu
I. Lý thuyết về Phương trình và Hệ phương trình
1. Phương trình
a] Phương trình chứa biến x là một mệnh dề chứa biến có dạng: f[x] = g[x] [1].
- Điều kiện của phương trình là những điều kiện quy định của biến x sao cho các biể thức của [1] đều có nghĩa.
- x0 thỏa điều kiện của phương trình và làm cho [1] nghiệm đúng thì x0 là một nghiệm của phương trình.
Hay, x0 là nghiệm của [1] ⇒ f[x0] = g[xo].
- Giải một phương trình là tìm tập hợp S của tất cả các nghiệm của phương trình đó.
- S = Ø thì ta nói phương trình vô nghiệm.
b] Phương trình hệ quả
• Gọi S1 là tập nghiệm của phương trình [1]
S2 là tập nghiệp của phương trình [2]
- Phương trình [1] và [2] tương đương khi và chỉ khi: S1 = S2
- Phương trình [2] là phương trình hệ quả của phương trình [1] khi và chỉ khi S1 ⊂ S2
2. Phương trình bậc nhất
a] Giải và biện luận: ax + b = 0
° a ≠ 0: S = {-b/a}
° a = 0 và b ≠ 0: S = Ø
° a = 0 và b = 0: S = R
b] Giải và biện luận: ax + by = c
° a ≠ 0 và b ≠ 0: S = {x tùy ý; [c-ax]/b} hoặc S = {[c-by]/a; y tùy ý}
° a = 0 và b ≠ 0: S = {x tùy ý; c/b}
° a ≠ 0 và b = 0: S = {c/a; y tùy ý}
c] Giải và biện luận:
° Quy tắc CRAMER, tính định thức:
- Cách nhớ gợi ý: Anh Bạn [a1b2 - a2b1] _ Cầm Bát [c1b2 - c2b1] _ Ăn Cơm [[a1c2 - a2c1]
°
°
°
II. Các dạng bài tập toán về giải phương trình, hệ phương trình
° Dạng 1: Giải và biện luận phương trình ax + b = 0
* Phương pháp:
- Vận dụng lý thuyết tập nghiệm cho ở trên
♦ Ví dụ 1 [bài 2 trang 62 SGK Đại số 10]: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m
a] m[x - 2] = 3x + 1
b] m2x + 6 = 4x + 3m
c] [2m + 1]x - 2m = 3x - 2.
♠ Hướng dẫn:
a] m[x – 2] = 3x + 1
⇔ mx – 2m = 3x + 1
⇔ mx – 3x = 2m + 1
⇔ [m – 3]x = 2m + 1 [*]
+ Nếu m – 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3, PT [*] có nghiệm duy nhất: x = [2m+1]/[m-3].
+ Nếu m – 3 = 0 ⇔ m = 3, PT [*] ⇔ 0x = 7. PT vô nghiệm.
- Kết luận:
m ≠ 3: S = {[2m+1]/[m-3]}
m = 3: S = Ø
b] m2x + 6 = 4x + 3m
⇔ m2x – 4x = 3m – 6
⇔ [m2 – 4]x = 3m – 6 [*]
+ Nếu m2 – 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±2, PT [*] có nghiệm duy nhất:
+ Nếu m2 – 4 = 0 ⇔ m = ±2
Với m = 2: PT [*] ⇔ 0x = 0, PT có vô số nghiệm
Với m =-2: PT [*] ⇔ 0x = -12, PT vô nghiệm
- Kết luận:
m ≠ ±2: S = {3/[m+2]}
m =-2: S = Ø
m = 2: S = R
c] [2m + 1]x – 2m = 3x – 2
⇔ [2m + 1]x – 3x = 2m – 2
⇔ [2m + 1 – 3]x = 2m – 2
⇔ [2m – 2]x = 2m – 2 [*]
+ Nếu 2m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1, PT [*] có nghiệm duy nhất: x = 1
+ Xét 2m – 2 = 0 ⇔ m = 1, PT [*] ⇔ 0.x = 0, PT có vô số nghiệm.
- Kết luận:
m ≠ 1: S = {1}
m = 1: S = R
♦ Ví dụ 2: Biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m: m2[x-1] = 2[mx-2] [1]
♠ Hướng dẫn:
- Ta có: [1] ⇔ m[m-2]x = [m-2][m+2] [*]
◊ m ≠ 0 và m ≠ 2: [*] ⇔
◊ m = 0: [*] ⇔ 0x=-4 [PT vô nghiệm]
◊ m = 2: [*] ⇔ 0x=0 [PT có vô số nghiệm, ∀x ∈ R]
- Kết luận:
m ≠ 0 và m ≠ 2: S = {[m+2]/m}
m = 0: S = Ø
m = 2: S = R
♦ Ví dụ 3: Giải và biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m:
♠ Hướng dẫn:
- Ta có:
◊ m ≠ -4: [*] ⇔
Điều kiện x ≠ ±1 ⇔
◊ m = -4: [*] ⇔ 0x = 6 [PT vô nghiệm]
- Kết luận:
m ≠ -4 và m ≠ -1: S = {[2-m]/[m+4]}
m = -4 hoặc m = -1: S = Ø
° Dạng 2: Xác định tham số để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện
* Phương pháp:
- Vận dụng lý thuyết ở trên để giải
♦ Ví dụ 1 [bài 8 trang 63 SGK Đại số 10]: Cho phương trình 3x2 - 2[m + 1]x + 3m - 5 = 0
Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.
♠ Hướng dẫn:
- Ta có: 3x2 – 2[m + 1]x + 3m – 5 = 0 [1]
[1] có hai nghiệm phân biệt khi Δ’ = b'2 - a.c > 0
⇔ [m + 1]2 – 3[3m – 5] > 0
⇔ m2 + 2m + 1 – 9m + 15 > 0
⇔ m2 – 7m + 16 > 0
⇔ [m – 7/2]2 + 15/4 > 0 , ∀m
⇒ PT [1] luôn có 2 nghiệm phân biệt, gọi x1,x2 là nghiệm của [1] khi đó theo Vi-et ta có:
- Theo bài ra, phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia, giả sử x2 = 3x1, nên kết hợp với [I] ta có:
+ TH1 : Với m = 3, PT [1] trở thành: 3x2 – 8x + 4 = 0 có hai nghiệm x1 = 2/3 và x2 = 2 thỏa mãn điều kiện.
+ TH2 : m = 7, PT [1] trở thành 3x2 – 16x + 16 = 0 có hai nghiệm x1 = 4/3 và x2 = 4 thỏa mãn điều kiện.
- Kết luận: Để PT [1] có 2 nghiệm phân biệt mà nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia thì giá trị của m là: m = 3 hoặc m = 7.
♦ Ví dụ 2 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
♠ Hướng dẫn:
- TXĐ: x>2
- Ta có: [1] ⇔ 3x - m + x - 2 = 2x + 2m - 1
⇔ 2x = 3m + 1 ⇔ x = [3m + 1]/2
- Kết hợp điều kiện [TXĐ]: x>2, yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi:
- Kết luận: Vậy khi m > 1, PT [1] có nghiệm x = [3m+1]/2.
° Dạng 3: Phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
* Phương pháp:
- Vận dụng tính chất:
1]
2]
3]
4]
5]
♦ Ví dụ 1 [bài 6 trang 62 SGK Đại số 10]: Giải các phương trình sau
a] |3x - 2| = 2x + 3
b] |2x - 1| = |-5x - 2|
c]
d] |2x + 5| = x2 + 5x + 1
♠ Hướng dẫn:
a] |3x - 2| = 2x + 3 [1]
- TXĐ: D = R.
+ Với x ≥ -3/2 bình phương 2 vế của [1] ta được:
[3x - 2]2 = [2x + 3]2
⇔ [3x - 2]2 - [2x + 3]2 = 0
⇔ [3x - 2 - 2x - 3][3x - 2 + 2x + 3] = 0
⇔ [x - 5][5x + 1] = 0
⇔ x = 5 hoặc x = -1/5. [cả 2 nghiệm đều thỏa điều kiện x ≥ -3/2]
- Vậy PT có 2 nghiệm phân biệt.
b] |2x - 1| = |-5x - 2|
- Bình phương 2 vế ta được
[2x - 1]2 = [-5x - 2]2
⇔ [2x - 1]2 - [-5x - 2]2 = 0
⇔ [2x - 1 + 5x + 2][2x - 1 - 5x - 2] = 0
⇔ [7x + 1][-3x - 3] = 0
⇔ x = -1/7 hoặc x = -1
- Vậy PT có 2 nghiệm phân biệt
c]
- Điều kiện: x ≠ 3/2 và x ≠ -1. Quy đồng khử mẫu ta được
[x - 1]|x + 1| = [2x - 3][-3x + 1]
+ Với x ≥ -1, ta có:
[x - 1][x + 1] = [2x - 3][-3x + 1]
⇔ x2 -1 = -6x2 + 11x - 3
⇔ 7x2 - 11x + 2 = 0
⇔
+ Với x < -1, ta có:
[x - 1][-x - 1] = [2x - 3][-3x + 1]
⇔ -x2 + 1 = -6x2 + 11x - 3
⇔ 5x2 -11x + 4 = 0
⇔
- Kết luận: PT đã cho có 2 nghiệm.
d] |2x + 5| = x2 + 5x + 1
+ Với x ≥ -5/2, ta có:
2x + 5 = x2 + 5x + 1
⇔ x2 + 3x - 4 = 0
⇔ x = 1 [thỏa] hoặc x = -4 [loại]
+ Với x < -5/2, ta có:
-2x - 5 = x2 + 5x + 1
⇔ x2 + 7x + 6 = 0
⇔ x = -6 [thỏa] hoặc x = -1 [loại]
- Vật PT có 2 nghiệm là x = 1 và x = -6.
♦ Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình: |2x - m| = 2 - x [1]
♠ Hướng dẫn:
Ta có: [1]
+]
+]
- Kết luận:
m ≤ 4. PT [1] có 2 nghiệm: x = [m+2]/3 hoặc x = m - 2.
m > 4: PT [1] vô nghiệm.
♦ Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình: |mx - 2| = |2x + m| [1]
♠ Hướng dẫn:
- Ta có:
◊ Với PT: mx - 2 = 2x + m ⇔ [m - 2]x = m + 2 [2]
m ≠ 2: PT [*] có nghiệm x = [m+2]/[m-2]
m = 2: PT [*] trở thành: 0x = 4 [vô nghiệm]
◊ Với PT: mx - 2 = -2x - m ⇔ [m + 2]x = 2 - m [3]
m ≠ - 2: PT [*] có nghiệm x = [2 - m]/[2 + m]
m = -2: PT [*] trở thành: 0x = 4 [vô nghiệm]
- Ta thấy: m = 2 ⇒ x2 = 0; m = -2 ⇒ x1 = 0;
- Kết luận: m ≠ ±2: [1] có 2 nghiệm là:
m = 2: [1] có nghiệm x = 0
m = -2: [1] có nghiệm x = 0
♥ Nhận xét: Đối vối giải PT không có tham số và bậc nhất, ta vận dụng tính chất 3 hoặc 5; Đối với PT có tham số ta nên vận dụng tính chất 1, 2 hoặc 4.
° Dạng 4: Hệ 2 phương trình bậc nhất 2 ẩn
* Phương pháp:
- Ngoài PP cộng đại số hay PP thế có thể Dùng phương pháp CRAMER [đặc biệt phù hợp cho giải biện luận hệ PT]
♦ Ví dụ 1 [bài 2 trang 68 SGK Đại số 10]: Giải hệ phương trình:
a]
b]
♠ Hướng dẫn:
- Bài này chúng ta hoàn toàn có thể sử dụng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế, tuy nhiên ở đây chúng ta sẽ vận dụng phương pháp định thức [CRAMER].
a]
- Ta có:
- Vậy hệ PT có nghiệm:
b]
- Ta có:
- Vậy hệ PT có nghiệm:
♦ Ví dụ 2: Giải biện luận hệ PT:
♠ Hướng dẫn:
- Ta có:
- Khi đó:
+]
+]
Với m = 1: từ [*] ta thấy hệ có vô số nghiệm.
Với m = -4: từ [*] ta thấy Hệ vô nghiệm.
Hy vọng với bài viết hệ thống lại các dạng bài tập toán và cách giải về phương trình và hệ phương trình ở trên hữu ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để Hay Học Hỏi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.