A. LÍ THUYẾT CƠ BẢN
1. Khái niệm cực trị của hàm số:
Cho
+
+
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
Bảng sau đây tóm tắt các khái niệm được sử dụng trong phần này:
2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị:
Giả sử hàm số đạt cực trị tại điểm và có đạo hàm tại thì .
Chú ý: Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại điểm làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:
Định lí 1:
-
Nếu đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua thì là điểm cực đại.
-
Nếu đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua thì là điểm cực tiểu.
Định lí 2:
Giả sử hàm số có đạo hàm cấp một trên khoảng chứa điểm và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm chứa .
-
Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm .
-
Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm .
Chú ý: Nếu thì không thể xác định được là cực trị hay không.
Ví dụ: Hàm số
B. BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số không chứa tham số
Phương pháp:
-
Quy tắc 1:
+ Tìm TXĐ.
+ Tính . Tìm các điểm làm cho bằng 0 hoặc không xác định.
+ Lập bảng biến thiên, từ đó suy ra kết luận.
-
Quy tắc 2:
+ Tìm TXĐ.
+ Tính . Giải phương trình và tìm các nghiệm.
+ Tính và .
+ Dựa vào dấu của để suy ra tính chất cực trị tại điểm .
Ví dụ 1.1 [Đề minh họa 2017] Giá trị cực đại của hàm số là?
A. 4 B. 1 C. 0 D.
Lời giải:
Cách 1 [Quy tắc 1]:
TXĐ:
Ta có
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại và yCĐ = 4.
Vậy chọn đáp án A.
Cách 2 [Quy tắc 2]
TXĐ: .
Ta có
Hàm số đạt cực đại tại và yCĐ = 4.
Chọn đáp án A.
Ví dụ 1.2: Tìm giá trị cực tiểu của hàm số .
A. 1 B. C. 0 D. 2
Lời giải:
Cách 1 [Quy tắc 1]:
TXĐ: .
Ta có
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại và
Vậy chọn đáp án A.
Cách 2 [Quy tắc 2]:
Ta có .
⇒ Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = y[0] = 2; hàm số đạt cực tiểu tại và .
Vậy chọn đáp án A.
Ví dụ 1.3: Tìm điểm cực đại của hàm số
A. 2 B. C. D. 4
Lời giải:
TXĐ: .
Ta có
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại điểm .
Chọn đáp án B.
Ví dụ 1.4: Điểm nào sau đây là điểm cực tiểu của hàm số
A. B. C. 3 D.
Lời giải:
Cách 1 [Tự luận]
TXĐ: .
Ta có
Suy ra là các điểm cực đại và là các điểm cực tiểu của hàm số.
Vậy chọn đáp án A.
Cách 2 [Trắc nghiệm]
Kiểm tra được
Ta có là điểm cực đại của hàm số.
là điểm cực tiểu của hàm số.
Chọn A.
Ví dụ 1.5: Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
TXĐ: .
Ta có
là các điểm cực đại của hàm số.
là các điểm cực tiểu của hàm số.
Chọn B.
Ví dụ 1.6 [Đề minh họa lần 2 – 2017]
Cho hàm số xác định, liên tục trên đoạn và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số đạt cực đại tại điểm nào dưới đây ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Hàm số đạt cực đại tại và yCĐ = 2; hàm số đạt cực tiểu tại .
Chọn đáp án B.
Ví dụ 1.7: Cho hàm số xác định, liên tục trên và hàm số đạo hàm của có đồ thị như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số .
A. 0 B. 2 C. 3 D. 1
Lời giải:
Hàm số có và . Vậy hàm số có duy nhất một điểm cực trị và x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.
Chọn đáp án D.
Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị một
Phương pháp
-
Bước 1: Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại điểm là . Từ điều kiện này ta tìm được giá trị của tham số
-
Bước 2: Kiểm tra lại bằng cách dùng một trong hai quy tắc tìm cực trị để xét xem giá trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không.
Chú ý:
Trong trường hợp không tồn tại hoặc thì định lí 2 ở trên không dùng được.
Ví dụ 2.1 [Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2017 Lần 3]
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại tại .
A. {1} B. C. D.
Lời giải:
TXĐ: .
Ta có
Để là cực đại thì
Với m = 1 thì nên là cực tiểu.
Với thì nên là cực đại.
Chọn D.
Ví dụ 2.2: Cho hàm số với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
TXĐ: .
Ta có
Để hàm số đạt cực đại tại thì
Nếu thì Hàm số không thể đạt cực trị.
Nếu thì Hàm số đạt cực đại tại .
Vậy chọn B.
Chú ý:
Nếu trình bày lời giải theo hướng sau:
Hàm số đạt cực đại tại thì lời giải chưa chính xác. Vì định lí 2 chỉ phát biểu khi .
Ví dụ 2.3: Cho hàm số với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
TXĐ: .
Ta có
Hàm số đạt cực tiểu tại thì
Thử lại ta thấy là giá trị cần tìm.
Chọn đáp án B.
Dạng 3 : Tìm điều kiện để hàm số có cực trị hoặc không có cực trị
Phương pháp:
-
Đối với hàm số bậc ba
Ta có
Để hàm số có cực trị thì phương trình có hai nghiệm phân biệt .
Ngược lại, hàm số không có cực trị thì phương trình vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất .
Như vậy, hàm số bậc ba chỉ có hai cực trị hoặc không có cực trị.
-
Đối với hàm bậc bốn trùng phương
Ta có
-
Hàm số luôn có một cực trị nằm trên trục Oy.
+ Nếu thì là điểm cực tiểu.
+ Nếu thì là điểm cực đại.
-
Nếu thì là điểm cực trị duy nhất.
-
Nếu thì hàm số có 3 điểm cực trị.
-
Ví dụ 3.1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có hai điểm cực trị.
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Ta có
Để hàm số có hai điểm cực trị có hai nghiệm phân biệt
Vậy chọn đáp án C.
Ví dụ 3.2: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số không có cực trị.
A. B. C. D.
Lời giải:
Nếu thì . Đây là một parabol nên luôn có một cực trị.
Nếu , ta có
Để hàm số không có cực trị thì phương trình vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất
Chọn đáp án C.
Chú ý:
Ở ví dụ 3.2, hàm số đã cho có hệ số a chứa tham số nên ta phải xét hai trường hợp và .
Ví dụ 3.3 [THPT Nguyễn Du – TP HCM 2017] Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại.
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Ta có
Nếu thì nên là điểm cực đại. Do đó là một giá trị cần tìm.
Nếu , hàm số có cực đại có hai nghiệm phân biệt .
Vậy . Chọn đáp án D.
Ví dụ 3.4 [THPT Chuyên Bắc Giang 2017] Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có ba cực trị.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Ta có
Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi y’ có ba nghiệm phân biệt
Vậy chọn đáp B.
Ví dụ 3.5 [Chuyên Phân Bội Châu – Nghệ An 2017 Lần 2]
Tìm m để hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Ta có
Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu khi và chỉ khi có 3 nghiệm phân biệt và điểm cực tiểu là
Chọn đáp án B.
Dạng 4: Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị
Phương pháp:
Xét hàm số .
Giả sử hàm số có cực trị, thực hiện phép chia đa thức cho để có: .
Từ đây suy ra là đường thẳng đi qua tất cả các điểm cực trị của .
Ví dụ 4.1 [Đề thi THPTQG 2017] Đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị và . Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
TXĐ: .
Ta có
Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là .
Phương trình đường thẳng là .
Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng ta được thuộc đường thẳng . Chọn C.
Ví dụ 4.2 [Đề thi THPTQG 2017] Tìm giá trị thực của tham số để đường thẳng vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
TXĐ: .
Ta có
Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị .
Phương trình đường thẳng là .
.
Chọn D.
Ví dụ 4.3 [THPT Phạm Văn Đồng – Phú Yên]
Giả sử đồ thị hàm số có 2 cực trị. Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình là
A. . B. .
C. D. Tất cả đều sai.
Lời giải:
Ta có
Lấy chia cho ta được: .
Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
Vậy chọn B.
Ví dụ 4.4: Giá trị của để khoảng cách từ điểm đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
TXĐ: .
Ta có .
Hàm số có cực trị có hai nghiệm phân biệt .
Lấy chia cho ta được .
Suy ra phương trình đi qua hai điểm cực trị là .
Theo giả thiết
Mà nên .
Chọn B.
Dạng 5: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Ví dụ 5.1[Chuyên Trần Phú – Hải Phòng 2017 Lần 3]
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Ta có
Do nên hàm số luôn có hai điểm cực trị .
Theo định lí Viet, ta có:
Ta có
.
Chọn đáp án D.
Ví dụ 5.2 [THPT Hưng Nhân – Thái Bình 2017 Lần 2]
Cho hàm số . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
A. B. C. D.
Lời giải:
Ta có
Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi y’ có hai nghiệm phân biệt
Khi đó hai cực trị thỏa mãn hệ thức Viet
Hai cực trị này nằm về hai phía cua trục tung .
Vậy .
Chọn đáp án B.
Ví dụ 5.3: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có ba điểm cực trị tạo thành:
a] Tam giác vuông.
b] Tam giác đều.
c] Tam giác có diện tích bằng .
Lời giải:
Với thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị
Ta có cân tại A.
a] Do điểm A luôn nằm trên Oy và cách đều hai điểm B, C nên tam giác ABC vuông cân tại A
b] đều
“Vuông -8, đều -24”
c] Diện tích tam giác là:
Ví dụ 5.4 [Đề minh họa THPTQG 2017 Lần 1]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.
A. B. C. D.
Lời giải:
Cách 1 [Tự luận]:
Ta có
Hàm số có 3 cực trị . Khi đó . Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị
Ta có
Do nên cân tại A. Để
Vậy chọn đáp án B.
Cách 2 [Trắc nghiệm]:
Áp dụng công thức để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông .
Ví dụ 5.5 [THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa 2017]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.
A. B. C. D.
Lời giải:
Cách 1 [Tự luận]:
Ta có
Hàm số có 3 cực trị . Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là
cân tại A.
Do đó đều
Vì . Chọn đáp án D.
Cách 2 [Trắc nghiệm]:
Áp dụng công thức ta có .
Chọn đáp án D.
Ví dụ 5.6: Cho hàm số . Với giá trị nào của thì đồ thị có 3 điểm cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Cách 1 [Tự luận]:
Ta có . Hàm số có 3 cực trị thì có 3 nghiệm phân biệt
Khi đó là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Diện tích tam giác là .
Theo giả thiết có .
Chọn A.
Cách 2 [Trắc nghiệm]:
Hàm số có 3 cực trị .
Khi đó diện tích tam giác .