Bài viết này giới thiệu đến bạn đọc chi tiết Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh Tỷ số thể tích khối đa diện
Bài viết này giới thiệu đến bạn đọc chi tiết Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh Tỷ số thể tích khối đa diện
Công thức 1:Hai khối chóp chung đỉnh và chung mặt phẳng đáy $\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}.$
Câu 1.Cho khối chóp $S.ABC$ có thể tích $V.$ Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$ và ${V}'$ là thể tích khối chóp $S.MNP.$ Tính tỉ số $\frac{{{V}'}}{V}.$
| A. $\frac{{{V}'}}{V}=\frac{3}{4}.$ | B. $\frac{{{V}'}}{V}=\frac{1}{3}.$ | C. $\frac{{{V}'}}{V}=\frac{1}{2}.$ | D. $\frac{{{V}'}}{V}=\frac{1}{4}.$ |
Giải. Ta có $\frac{{{V}'}}{V}=\frac{{{S}_{MNP}}}{{{S}_{ABC}}}={{\left[ \frac{1}{2} \right]}^{2}}=\frac{1}{4}.$
Chọn đáp án D.
Câu 2.Cho khối chóp $S.ABCD$ có thể tích $V.$ Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,BC,CD,DA.$ Gọi ${V}'$ là thể tích khối chóp $S.MNPQ.$ Tính tỉ số $\frac{{{V}'}}{V}.$
| A. $\frac{{{V}'}}{V}=\frac{3}{4}.$ | B. $\frac{{{V}'}}{V}=\frac{1}{8}.$ | C. $\frac{{{V}'}}{V}=\frac{1}{2}.$ | D. $\frac{{{V}'}}{V}=\frac{1}{4}.$ |
Giải. Ta có $\frac{{{V}'}}{V}=\frac{{{S}_{MNPQ}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{1}{2}.$ Chọn đáp án C.
Công thức 2:Công thức Simson [tỷ số thể tích] cho khối chóp tam giác $\frac{{{V}_{S.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{S{{A}_{1}}}{SA}.\frac{S{{B}_{1}}}{SB}.\frac{S{{C}_{1}}}{SC}.$
Công thức 3:Cắt khối chóp bởi mặt phẳng song song với đáy sao cho $\frac{S{{B}_{1}}}{S{{A}_{1}}}=k$ thì $\frac{{{V}_{S.{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}}}}{{{V}_{S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}}}}={{k}^{3}}$ [đây là trường hợp đặc biệt cho hai khối đa diện đồng dạng tỷ số $k].$
Công thức 4:Mặt phẳng cắt các cạnh của khối lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'$ lần lượt tại $M,N,P$ sao cho $\frac{AM}{A{A}'}=x,\frac{BN}{B{B}'}=y,\frac{CP}{C{C}'}=z$ ta có ${{V}_{ABC.MNP}}=\frac{x+y+z}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}.$
Ví dụ 1: Cho khối lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có thể tích $V.$ Các điểm $M,N$ lần lượt thuộc các cạnh $B{B}',C{C}'$ sao cho $\dfrac{MB}{B{B}'}=\dfrac{1}{2},\dfrac{NC}{C{C}'}=\dfrac{1}{4}.$ Thể tích của khối chóp tứ giác $A.BMNC$ là ?
| A. $\dfrac{V}{3}.$ | B. $\dfrac{3V}{8}.$ | C. $\dfrac{V}{6}.$ | D. $\dfrac{V}{4}.$ |
Giải.Ta có ${{V}_{A.BMNC}}=\dfrac{x+y+z}{3}V=\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+0}{3}V=\dfrac{V}{4}.$ Chọn đáp án D.
Công thức 5:Mặt phẳng cắt các cạnh của khối hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ lần lượt tại $M,N,P,Q$ sao cho $\frac{AM}{A{A}'}=X,\frac{BN}{B{B}'}=y,\frac{CP}{C{C}'}=z,\frac{DQ}{D{D}'}=t$ ta có ${V_{ABCD.MNPQ}} = \frac{{x + y + z + t}}{4}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}$ và $x+z=y+t.$
Ví dụ 1: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ cạnh $2a,$ gọi $M$ là trung điểm của $B{B}'$ và $P$ thuộc cạnh $D{D}'$ sao cho $DP=\frac{1}{4}D{D}'.$ Mặt phẳng $[AMP]$ cắt $C{C}'$ tại $N.$ Thể tích khối đa diện $AMNPQBCD$ bằng
| A. $2{{a}^{3}}.$ | B. $3{{a}^{3}}.$ | C. $\frac{11}{3}{{a}^{3}}.$ | D. $\frac{9}{4}{{a}^{3}}.$ |
Giải. Thể tích khối lập phương ${{V}_{0}}=8{{a}^{3}}.$ Có $x=\dfrac{AA}{A{A}'}=0,y=\dfrac{BM}{B{B}'}=\dfrac{1}{2},z=\dfrac{CN}{C{C}'},t=\dfrac{DP}{D{D}'}=\dfrac{1}{4}$ và $x+z=y+t\Leftrightarrow 0+z=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\Leftrightarrow z=\frac{3}{4}.$
Khi đó ${{V}_{AMNPBCD}}=\dfrac{x+y+z+t}{4}{{V}_{0}}=\dfrac{0+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}{4}.8{{a}^{3}}=3{{a}^{3}}.$ Chọn đáp án B.
Công thức 6:Mặt phẳng cắt các cạnh của khối chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành lần lượt tại $M,N,P,Q$ sao cho $\frac{SM}{SA}=x,\frac{SN}{SB}=y,\frac{SP}{SC}=z,\frac{SQ}{SD}=t$ ta có ${{V}_{S.MNPQ}}=\frac{xyzt}{4}\left[ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \right]{{V}_{S.ABCD}}$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{y}+\frac{1}{t}.$
Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có thể tích $V$ với đáy $ABCD$ là hình bình hành. Mặt phẳng qua $A,M,P$ cắt cạnh $SC$ tại $N$ với $M,P$ là các điểm thuộc các cạnh $SB,SD$ sao cho $\frac{SM}{SB}=\frac{1}{2},\frac{SP}{SD}=\frac{2}{3}.$ Mặt Tính thể tích khối đa diện $ABCD.MNP.$
A. $\frac{23}{30}V.$
B. $\frac{7}{30}V.$
C. $\frac{14}{15}V.$
D. $\frac{V}{15}.$
Giải. Ta có $x=\frac{SA}{SA}=1,y=\frac{SM}{SB}=\frac{1}{2},z=\frac{SN}{SC},t=\frac{SP}{SD}=\frac{2}{3}$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{y}+\frac{1}{t}\Rightarrow 1+\frac{1}{z}=2+\frac{3}{2}\Leftrightarrow z=\frac{2}{5}.$
Do đó ${{V}_{S.AMNP}}=\frac{xyzt}{4}\left[ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \right]V=\frac{7}{30}V\Rightarrow {{V}_{ABCD.MNPQ}}=\frac{23}{30}V.$ Chọn đáp án A.
Công thức 9: Hai khối đa diện đồng dạng với tỷ số $k$ có $\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}={{k}^{3}}.$
Ví dụ 1.Cho khối tứ diện $ABCD$ có thể tích $V.$ Gọi ${V}'$ là thể tích của khối tứ diện có bốn đỉnh là trọng tâm các mặt của khối tứ diện $ABCD.$ Tính tỷ số $\frac{{{V}'}}{V}.$
| A. $\frac{{{V}'}}{V}=\frac{8}{27}.$ | B. $\frac{{{V}'}}{V}=\frac{1}{27}.$ | C. $\frac{{{V}'}}{V}=\frac{4}{27}.$ | D. $\frac{{{V}'}}{V}=\frac{4}{9}.$ |
Giải. Gọi ${A}',{B}',{C}',{D}'$ lần lượt là trọng tâm các mặt $[BCD],[ACD],[ABD],[ABC];$ Ta có $\frac{{A}'{B}'}{AB}=\frac{{A}'{C}'}{AC}=\frac{{A}'{D}'}{AD}=\frac{1}{3}.$ Khối tứ diện ${A}'{B}'{C}'{D}'$ đồng dạng với khối tứ diện $ABCD$ theo tỉ số $k=\frac{1}{3}.$
Do đó $\frac{{{V}'}}{V}={{k}^{3}}={{\left[ \frac{1}{3} \right]}^{3}}=\frac{1}{27}.$Chọn đáp án B.
Bài viết gợi ý:
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Cách tính Thể tích hình chóp, hình lăng trụ - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Quảng cáo
Cho hình chóp S.ABC có 3 điểm A’. B’, C’ lần lượt nằm trên 3 cạnh SA, SB, SC. Khi đó, ta có công thức về tỷ số thể tích như sau:
Chú ý 1:
+ Công thức tỷ số thể tích trên ta chỉ áp dụng cho chóp có đáy là tam giác.
+ Công thức trên vẫn đúng trong trường hợp A’ trùng với A. Khi đó:
Chú ý 2: [Áp dụng cho khối chóp với mọi đáy]
+ Hai hình chóp có cùng chiều cao thì tỉ số thể tích chính là tỉ số diện tích đáy tương ứng.
+ Hai hình chóp có cùng diện tích đáy thì tỉ số thể tích chính là tỉ số đường cao tương ứng.
Bài 1: Hình chóp S.ABC có A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Tính tỷ số thể tích của hai khối chóp S.A’B’C’ và S.ABC
Hướng dẫn:
Do A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC nên ta có:
Quảng cáo
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Khi đó, tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A’B’C’D’ và S.ABCD bằng?
Hướng dẫn:
Ta thấy hai hình chóp S.A’B’C’D’ và S.ABCD có chung chiều cao kẻ từ đỉnh S xuống đáy. Vậy để tìm tỉ số thể tích hai khối chóp, ta chỉ cần tìm tỉ số diện tích 2 đáy.
Ta có:
Bài 3: Cho hình chóp SABC. Trên 3 cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm M, N, P, sao cho SA=2SM;SB=3SN;SC=2SP.
Hướng dẫn:
Ta có:
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 48 và ABCD là hình thoi. Các điểm M, N, P, Q lần lượt là các điểm trên các đoạn SA, SB, SC, SD thỏa mãn SA = 2SM; SB = 3SN; SC = 4 SP; SD = 5 SQ. Tính thể tích của khối chóp S.MNPQ
Hướng dẫn:
Vì công thức thể tích chỉ dùng cho tam giác có chung đỉnh và tương ứng tỉ lệ cạnh
Nên ta chia khối chóp thành 2 khối chóp nhỏ có đáy là tam giác
Ta có:
Do ABCD là hình thoi nên SABC = SADC và hai hình chóp S.ABC; S.ADC có cùng chiều cao hạ từ S nên
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân ở B, AC=a√2;SA=a,SA⊥[ABC]. Gọi G là trọng tâm của ∆SBC, một mặt phẳng [α] đi qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt taị M, N. Tính thể tích khối chóp S.AMN.
Hướng dẫn:
Tam giác ABC vuông tại B có AC=a√2⇒AB=BC=a
Gọi I là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác SBC
⇒SG/SI=2/3
Mà MN // BC nên ta có:
Mặt khác:
Quảng cáo
Bài 1: Cho khối chóp S.ABC. Lấy A’, B’ lần lượt thuộc SA, SB sao cho 2SA’ = 3A’A, 3SB’ = B’B. Tỉ số thể tích giữa hai khối chóp S.A’B’C và S.ABC là:
A.3/20 B.2/15 C.1/6 D.3/10
Đáp án : A
Giải thích :
Bài 2: Hình chóp S.ABC có đáy SA vuông góc với đáy, SA=A, AC=a√2, AB = 3a. Gọi M, N là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB, SC.
A.1/√30 B.1/3 C.1/30 D.1/2
Đáp án : C
Giải thích :
∆SAC vuông tại A, có AN ⊥ SC tại N nên:
Tương tự, ta có:
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA, BC, BD đôi một vuông góc với nhau. BA = 3a, BC = BD = 2a. Gọi M, B lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tính thể tích khối chóp C.BDNM.
A.8a3 B.[2a3]/3 C.a3 D.[3a3]/2
Đáp án : D
Giải thích :
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm của SB và G là trọng tâm của tam giác SBc. Gọi V, V’ lần lượt là thể tích các khối chóp M.ABC và G.ABD. Tính tỉ số V/V’
A.3/2 B.4/3 C.5/3 D.2
Đáp án : A
Giải thích :
Gọi I, J lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, G lên mặt phẳng [ABCD].
Ta có MI // GJ
Do các tam giác ABC và ADB có cùng diện tích nên tỉ số thể tích giữa các khối chóp M.ABC và G.ABD là tỉ số đường cao của chúng
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D. SA vuông góc với mặt đáy [ABCD]; AB = 2a, AD = CD = a. Góc giữa mặt phẳng [SBC] và mặt đáy [ABCD] là 60º. Mặt phẳng [P] đi qua CD và trọng tâm G của tam giác SAB cắt các cạnh SA, SB lần lượt tại M và N. Tính thể tích khối chóp S.CDMN theo a.
Đáp án : D
Giải thích :
Xét hình thang ABCD vuông tại A, D có AD = DC = a, AB = 2a
Gọi E là trung điểm của AB ⇒ CE=EB=a; CE ⊥ AB
⇒ ∆ACB vuông tại C ⇒ AC ⊥ CB
Ta có:
Do các khối chóp S.CDA; S.ABC và S.ABCD có cùng chiều cao hạ từ đỉnh S;
Mặt phẳng [P] đi qua CD và trọng tâm G của tam giác SAB, cắt các cạnh SA, SB lần lượt tại M, N. Khi đó MN // AB và:
Bài 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của SA, SB.
A.1/2 B.3/8 C.5/8 D.1/4
Đáp án : B
Giải thích :
Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ [ABC] và SA = 2a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, SC. Thể tích khối chóp A.MNP là:
Đáp án : A
Giải thích :
Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, SC, BC nên:
Do ∆ABC đều nên
Lại có:
Khi đó:
Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có các cạnh lần lượt là SA = a, SB = b, SC = c. Trên SA, SB, SC lấy các điểm M, N, P sao cho SM = 1, SN = 2, SP=1/2. Tỷ số thể tích giữa khối chóp S.ABC và S.MNP là:
Đáp án : C
Giải thích :
Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích, ta có:
Bài 9: Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V. Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. Mặt phẳng [CB’D’] chia khối tứ diện thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
A.1/6 B.1/9 C.1/12 D.1/3
Đáp án : D
Giải thích :
Áp dụng công thức thể tích, ta có:
Bài 10: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, AB=a√3;AC=2a,AD=2a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên DB, DC. Tính thể tích của tứ diện AHKD
Đáp án : A
Giải thích :
Xét tam giác DAC vuông tại A, AK ⊥ DC có:
Tương tự, ta có:
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
the-tich-khoi-da-dien.jsp