Chứng minh công thức tích vô hướng

Cho hai véc-tơ $ \vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác $ \vec{0}$. Tích vô hướng của hai véc-tơ $ \vec{a}$ và $\vec{b}$, kí hiệu là $ \vec{a}\cdot \vec{b}$ là một số, được xác định bởi $$ \vec{a}\cdot \vec{b} = \left|\vec{a}\right |\cdot \left|\vec{b} \right|\cdot \cos (\vec{a},\vec{b}) .$$

Quy ước, nếu $ \vec{a}=\vec{0}$ hoặc $ \vec{b}=\vec{0}$ thì $ \vec{a}\cdot \vec{b} =0.$

Xem lại cách xác định góc giữa hai véc-tơ: Góc giữa hai vectơ trong mặt phẳng.

Hai véc-tơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng $0$.

Tích vô hướng chính là công trong Vật lý. Cho một lực có độ lớn $F$ tác động lên vật làm vật di chuyển được quãng đường $s=OO’$. Lực $F$ hợp với hướng chuyển động $OO’$ một góc là $\phi$ thì công mà lực $F$ sinh ra có độ lớn là $$A=F.s.\cos\phi.$$

1.2. Tính chất của tích vô hướng

Với ba véc-tơ $ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$ bất kỳ và một số thực $ k$, ta luôn có

• $ \vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$ (tính chất giao hoán);
• $ \vec{a}(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}$ (tính chất phân phối);
• $ (k\vec{a})\cdot\vec{b}=k(\vec{a}\cdot\vec{b})$.

1.3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ với hệ trục $ (O;\vec{i},\vec{j})$ cho hai véc-tơ $ \vec{a}=(x;y)$ và $ \vec{b}=(x’;y’)$ thì ta có $$ \vec{a}\cdot\vec{b}=xx’+yy’. $$

Hai véc-tơ $ \vec{a}=(x;y)$ và $ \vec{b}=(x’;y’)$ khi và chỉ khi $xx’+yy’=0$.

1.4. Ứng dụng của tích vô hướng 2 vecto

• Độ dài của $ \vec{a}(x;y)$ được tính bởi công thức $$ |\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}.$$
• Góc giữa hai vectơ $ \vec{a}=(x;y)$ và $ \vec{b}=(x’;y’)$ có $$ \cos\left(\vec{a},\vec{b}\right)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}=\frac{xx’+yy’}{\sqrt{x^2+y^2}\cdot\sqrt{x’^2+y’^2}}.$$
• Khoảng cách giữa hai điểm $ A(x_A;y_A)$ và $ B(x_B;y_B)$ được tính bởi công thức $$ AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}.$$

1.5. Công thức hình chiếu

• Nếu hai điểm $ A’,B’ $ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $ A,B $ lên đường thẳng $ CD, $ thì ta luôn có \[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{A’B’}\cdot\overrightarrow{CD} \]
• Ngược lại, nếu hai điểm $ C’,D’ $ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $ C,D $ lên đường thẳng $ AB $ thì
  \[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{C’D’} \]

2. Các dạng toán tích vô hướng của hai vectơ

2.1. Tính tích vô hướng bằng định nghĩa

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ đều, cạnh bằng $ a $ và đường cao $ AH $. Tính các tích vô hướng:

• $ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$;
• $(2\overrightarrow{AB})\cdot(3\overrightarrow{HC})$;
• $ (\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})(2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}). $

Ví dụ 2. Cho tam giác đều $ ABC $ có cạnh bằng $ 3a. $ Lấy hai điểm $ M,N $ thuộc đoạn $ AC $ sao cho $ AM=MN=NC $. Tính các tích vô hướng:

• $ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$;
• $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CB}$;
• $\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{BN} $.

Hướng dẫn.

• Ta có: $ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cos\widehat{BAC}=3a\cdot 3a\cdot\cos60^\circ=\frac{9a^2}{2}.$
• Dựng $ \overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AC} $ thì $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)=\left(\overrightarrow{CE},\overrightarrow{CB}\right)=\widehat{BCE}=120^\circ. $ Từ đó tính được, $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CB}=-\frac{9a^2}{2}$.
• Để tính tích vô hướng còn lại, ta phân tích các véctơ sử dụng quy tắc ba điểm như sau: \begin{align*}\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{BN}&=\left(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}\right)\left(\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}\right)\\ &=\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AB}^2 \end{align*}
  Thay số vào các tích vô hướng trên, được đáp số $ \frac{13a^2}{2} $.

Khi tính các tích vô hướng ta thường có hai hướng, tính trực tiếp bằng định nghĩa, hoặc phân tích thành các véctơ có mối liên hệ đặc biệt với nhau (vuông góc, cùng hướng hoặc ngược hướng với nhau). Hãy xem ví dụ sau để rõ hơn về ý tưởng này.

Ví dụ 3. Cho hình vuông $ ABCD $ cạnh bằng $ a $ có $ M, N $ lần lượt là trung điểm của $ BC $ và $ CD $. Tính các tích vô hướng:

• $ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM}$;
• $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AN}. $

Hướng dẫn.

• Ta có $ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\right)=\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BM}=a^2. $
• Tương tự, cũng có $ \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AN}=\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\right)\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}\right)=…=a^2. $

Ví dụ 4. Cho hình vuông $ ABCD $ cạnh bằng $ a $ và $ M $ là một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp hình vuông. Tính các tích vô hướng:

• $ \left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} \right) \cdot\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC} \right) $;
• $ \left( 2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD} \right) \cdot \left( 2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB} \right) $;
• $ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{MD} $.

Ví dụ 5. Cho hai điểm $ A,B $ cố định và $ k $ là hằng số. Tìm tập hợp các điểm $ M $ thỏa mãn $$ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=k. $$

Hướng dẫn. Gọi $ I $ là trung điểm $ AB $, ta có: \begin{align} \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}&= \left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right) \left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)\\ &= \left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right) \left(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA}\right)\\ &=MI^2-IA^2

\end{align} Do đó, $ MI^2=k+IA^2 $, nên có các khả năng: