Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m\] để hàm số \[y = - {x^4} + 6{x^2} + mx\] có ba điểm cực trị?
- A. 17
- B. 15
- C. 3
- D. 7
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: B
Ta có: \[y' = - 4{x^3} + 12x + m\]. Xét phương trình \[y' = 0 \Leftrightarrow - 4{x^3} + 12x + m = 0{\rm{ }}\left[ 1 \right]\]
Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình [1] phải có 3 nghiệm phân biệt.
Ta có: \[\left[ 1 \right] \Leftrightarrow m = 4{x^3} - 12x{\rm{ }}\].
Xét hàm số \[g\left[ x \right] = 4{x^3} - 12x\]
có \[g'\left[ x \right] = 12{x^2} - 12\] .
Cho \[\begin{array}{l} g'\left[ x \right] = 0\\ \Leftrightarrow 12{x^2} - 12 = 0\\ \Leftrightarrow x = \pm 1 \end{array}\] Câu 1 : Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số \[y=mx^3-2mx^2+\left[m-2\right]x+1\] không có cực trị Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \[y=\left[m-1\right]x^4-2\left[m-3\right]x^2+1\] không có cực đại
- Số điểm cực trị của hàm số \[y = \left| {f[x]} \right|\] là tổng số cực trị của hàm số \[y = f[x]\] và số nghiệm của phương trình \[f[x] = 0\].
- Phương trình hoành độ giao điểm: \[{x^4} - 2m{x^2} + 64x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{{x^3} - 2mx + 64 = 0}\end{array}} \right.\]
- Phương trình [1] luôn có một nghiệm \[x \ne 0\] nên đồ thị hàm số \[y = {x^4} - 2m{x^2} + 64x\] cắt \[Ox\] ít nhất hai điểm và .
Suy ra để hàm số \[y = \left| {{x^4} - 2m{x^2} + 64x} \right|\] có 3 điểm cực trị thì hàm số \[y = {x^4} - 2m{x^2} + 64x\] có đúng một điểm cực trị
Phương trình [1] luôn có một nghiệm x ¹ 0 nên đồ thị hàm số y = x4 - 2mx2 + 64x cắt Ox ít nhất hai điểm và limx→±∞x4−2mx2+64x=+∞ .
Suy ra để hàm số y = |x4 - 2mx2 + 64x| có 3 điểm cực trị thì hàm số y = x4 - 2mx2 + 64x có đúng một điểm cực trị Û phương trình [*] có đúng một nghiệm đơn
⇒m=x2+16x có đúng một nghiệm đơn.
Xét hàm số: fx=x2+16x, f'x=2x−16x2.
Bảng biến thiên: f'x=0⇔2x−16x2=0⇔x=2.
Từ bảng biến thiên suy ra m £ 12.
Suy ra:m∈ℤ+m≤12⇒m∈1; 2; 3; ...; 11; 12.
Vậy có 12 giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = |x4 - 2mx2 + 64x| có đúng ba điểm cực trị.
Phương trình [1] luôn có một nghiệm x ¹ 0 nên đồ thị hàm số y = x4 - 2mx2 + 64x cắt Ox ít nhất hai điểm và limx→±∞x4−2mx2+64x=+∞ .
Suy ra để hàm số y = |x4 - 2mx2 + 64x| có 3 điểm cực trị thì hàm số y = x4 - 2mx2 + 64x có đúng một điểm cực trị Û phương trình [*] có đúng một nghiệm đơn
⇒m=x2+16x có đúng một nghiệm đơn.
Xét hàm số: fx=x2+16x, f'x=2x−16x2.
Bảng biến thiên: f'x=0⇔2x−16x2=0⇔x=2.
Từ bảng biến thiên suy ra m £ 12.
Suy ra:m∈ℤ+m≤12⇒m∈1; 2; 3; ...; 11; 12.
Vậy có 12 giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = |x4 - 2mx2 + 64x| có đúng ba điểm cực trị.