1. Định nghĩa
Hàm số mũ là hàm số có dạng \[y = {a^x}\], hàm số lôgarit là hàm số có dạng \[y = {\log _a}x\] [ với cơ số a dương khác 1].
2. Tính chất của hàm số mũ \[y = {a^x}\] \[[ a > 0, a\ne 1]\].
- Tập xác định: \[\mathbb{R}\].
- Đạo hàm: \[∀x ∈\mathbb{R},y'= a^x \ln a\].
- Chiều biến thiên
+] Nếu \[a> 1\] thì hàm số luôn đồng biến
+] Nếu \[0< a < 1\] thì hàm số luôn nghịch biến
- Tiệm cận: trục \[Ox\] là tiệm cận ngang.
- Đồ thị nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành \[[y = {a^x} >0 \, \forall x]\], và luôn cắt trục tung tại điểm \[[ 0;1]\] và đi qua điểm \[[1;a]\].
3. Tính chất của hàm số lôgarit \[y = {\log _a}x\] \[[a> 0, a\ne1]\].
- Tập xác định: \[[0; +∞]\].
- Đạo hàm \[∀x ∈ [0; +∞],y'= \dfrac{1}{x\ln a}\].
- Chiều biến thiên:
+] Nếu \[a> 1\] thì hàm số luôn đồng biến
+] Nếu \[0< a < 1\] thì hàm số luôn nghịch biến
- Tiệm cận: Trục \[Oy\] là tiệm cận đứng.
- Đồ thị nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung, luôn cắt trục hoành tại điểm \[[1;0]\] và đi qua điểm \[[a;1]\].
4. Chú ý
- Nếu \[a > 1\] thì \[\ln a > 0\], suy ra \[[a^x]'>0 \, \, \forall x\] và \[{[{\log_a}^x]}\; > 0,\;\;\forall x{\rm{ }} > 0;\]
do đó hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số lớn hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn đồng biến.
Tương tự, nếu \[0 < a< 1\] thì \[\ln a < 0\], \[[{a^x}]' < 0\] và \[{[{\log_a}^x]}\; < 0,\;\;\forall x{\rm{ }} > 0;\] ; hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số nhỏ hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn nghịch biến.
- Công thức đạo hàm của hàm số lôgarit có thể mở rộng thành
\[ [\ln |x|]'= \dfrac{1}{x}, ∀x \ne 0\] và \[[\log _a|x|]' = \frac{1}{{x\ln a}},{\rm{ }}\forall x \ne 0.\]
Loigiaihay.com
Bảng công thức logarit, lũy thừa, mũ dễ nhớ. Hàm số mũ và logarit là một trong những chuyên đề quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 12. Tuy nhiên để giải tốt các bài toán liên quan đến logarit, học sinh cần thuộc tất cả các công thức. Dưới đây là tổng hợp các công thức quan trọng được sử dụng trong chương trình phổ thông.
1. Định nghĩa Logarit
Logarit viết tắt là Log là phép toán nghịch đảo của lũy thừa. Theo đó, logarit của một số a là số mũ của cơ số b [giá trị cố định], phải được nâng lên lũy thừa để tạo ra số a đó. Một cách đơn giản, logarit là một phép nhân có số lần lặp đi lặp lại.
2. Công thức Logarit
a. Các công thức Logarit đầy đủ
b. Công thức đạo hàm Logarit
c. Công thức Logarit Nepe
d. Công thức đổi cơ số
e. Công thức lũy thừa, mũ
Để ghi nhớ các công thức một cách nhanh chóng, chính xác và lâu dài học sinh cần làm nhiều bài tập dạng biến đổi. Thông qua việc làm bài tập các em sẽ thuộc công thức nhanh hơn.
Bài viết cùng series:Like share và ủng hộ chúng mình nhé:
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Các bài toán thực tế - Ứng dụng hàm số mũ và logarit - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Quảng cáo
1.Lũy thừa với số mũ nguyên
a/ Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm
+Định nghĩa: với a ≠ 0 ; n=0 hoặc n là một số nguyên âm; lũy thừa bậc n của a là số an an xác định bởi : a0=1;
+ Chú ý:
Các kí hiệu 00; 0n [ n nguyên âm ] không có nghĩa.
Với a ≠ 0 và n nguyên ta có:
Người ta hay dùng các lũy thừa của 10 với số mũ nguyên để biểu thị những số rất lớn và những số rất bé.
b/ Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên
Quy tắc tính
+ Định lí 1: Với a ≠ 0; b ≠ 0 và các số nguyên m; n ta có:
1/ am.an=am+n
2/
3/ [am]n=am.n
4/ [ab]n= an.bn
5/
So sánh các lũy thừa
+ Định lí 2: cho m; n là các số nguyên. Khi đó:
- Nếu a > 1 thì
- Nếu 0 < a < 1 thì
Hệ quả 1:
- Với mọi 0< a< b,và m là số nguyên thì:
Hệ quả 2: với a < b; n là số tự nhiên lẻ thì an < bn
Hệ quả 3: với a; b là các số dương; n là một số nguyên khác 0 thì:
an= bn khi và chỉ khi a=b.
2. Căn bậc n và lũy thừa với số mũ hữu tỉ
a/ Căn bậc n
+ Định nghĩa:
Với n nguyên dương; căn bậc n của số thực a là số thực b sao cho bn=a
+ Chú ý:
Với n lẻ và với mỗi số thực a có duy nhất một căn bậc n của a kí hiệu là
-Với n chẵn:
a > 0 Có hai căn bậc n của a là hai số đối nhau, căn có giá trị dương ký hiệu là , căn có giá trị âm kí hiệu là
Một số tính chất của căn bậc n
- Với hai số không âm a ; b ; hai số nguyên dương m ; n và 2 số nguyên p ; q tùy ý, ta có:
b/ Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Định nghĩa : Cho a là số thực dương và r là 1 số hữu tỉ. Giả sử
Quảng cáo
1. Khái niệm lũy thừa với số mũ thực
Định nghĩa : cho a là 1 số thực dương và α là 1 số vô tỉ. Xét dãy số hữu tỉ r1 ; r2...rn ..mà lim rn= α. Khi đó dãy số thực
Vậy aα =
Ghi nhớ :
1/ khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0.
2/ khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.
2. Công thức lãi kép
Gửi tiền vào ngân hàng ; ngoài thể thức lãi đơn [ tức là tiền lãi của kì trước không được tính vào vốn của kì tiếp theo ; nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra] ; còn có thể thức lãi kép theo định kì. Theo thể thức này ; nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào kì kế tiếp. Nếu một người gửi số tiền A với lãi suất r mỗi kì thì dễ thấy sau N kì số tiền người ấy thu được cả vốn lẫn lãi là :
1.Định nghĩa:
Cho hai số dương a; b vớ i a ≠ 1. Số thực thỏa mãn đẳng thức aα =b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là logab .
Ta viết:
Chú ý:
1/ Không có logarit của số 0 và số âm vì aα luôn dương với mọi α.
2/ Cơ số của logarit phải dương và khác 1.
3/ Theo định nghĩa logarit ta có:
+ loga1=0; logaa=1
+ logaaab=b với mọi số thực b.
+
2.Các tính chất
a/ so sánh hai logarit cùng cơ số.
Định lí 1 : cho số dương a khác 1 và các số dương b ; c.
1/ Khi a> 1 thì logab>logac b>c.
2/ khi 0 0 khi b>1.
2/ khi 0 0, ta có:
Hệ quả:
Với a ; b>0 ; a khác 1 và số nguyên dương n ta có :
3. Đổi cơ số của logarit
Định lí : Cho 3 số dương a ; b ; c với a ≠ 1 ; c ≠ 1, ta có
•
Hệ quả 1 : Với a ; c là hai số dương khác 1 ta có
Hệ quả 2 : Với a là số dương khác 1 ; c là số dương và α ≠ 0 ta có :
4 . Logarit thập phân và ứng dụng
Định nghĩa :
Logarit cơ số 10 của 1 số dương x được gọi là logarit thập phân của x và kí hiệu là log x [ hoặc là lg x]
Quảng cáo
1 . Lãi kép liên tục và số e
Ta đã biết : khi gửi ngân hàng với số vốn ban đầu là A lãi suất mỗi năm là r thì sau N năm số tiền thu về là A[ 1+r] N
Giả sử chia mỗi năm thàn h m kì để tính lãi và giữ nguyên lãi suất mỗi năm là r thì lãi suất mỗi kì là r/ m và số tiền thu được sau N năm [ hay sau Nm kì] là
Xét
Được kí hiệu là e. Vậy :
Từ đó suy ra lim Sm= AeNr.
Thể thức tính lãi khi m → +∞ gọi là thể thức lãi kép liên tục .
Như vậy ; với số vốn ban đầu là A ; theo thể thức lãi kép liên tục ; lãi suất mỗi năm là r thì sau N năm số tiền thu được cả vốn lẫn lãi sẽ là : S= AeNr
Công thức trên được gọi là công thức lãi kép liên tục.
2. Logarit tự nhiên
Định nghĩa : Lô garit cơ số e của một số dương a được gọi là logarit tự nhiên m [ hay logarit Nê-pe] của số a và được kí hiệu là lna.
+ logarit tự nhiên có đầy đủ các tính chất của logarit với cơ số lớn hơn 1.
1.Khái niệm hàm số mũ và hàm số logarit
Định nghĩa :
Giả sử a là số dương và khác 1.
Hàm số dạng y= ax được gọi là hàm số mũ cơ số a.
Hàm số dạng y= logax được gọi là hàm sỗ logarit cơ số a.
2. Một số giới hạn liên quan đến hàm số mũ ; hàm sỗ logarit
Định lí 1 :
3.Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit
a. Đạo hàm của hàm số mũ.
Định lí 2
a/ cho hàm số y= ax có đạo hàm tại mọi số thực x và
[ax]’= ax. Lna
Đặc biệt [ ex]’= ex
b/ Nêú hàm số u= u[x] có đạo hàm trên J thì hàm số y= au[x] có đạo hàm trên J và
[ au[x] ]’= u’[x] .au[x] . lna
Đặc biệt: [eu[x] ]’= u’[x].eu[x]
b. Đạo hàm của hàm số logarit.
a. Hàm số y= logax có đạo hàm tại mọi x > 0 và
Đặc biệt
b. Nếu hàm số u= u[x] nhận giá trị dương và có đạo hàm trên J thì hàm số y= logau[x] có đạo hàm trên J và
Đặc biệt ta có:
Hệ quả
a.
b. Nếu hàm số u= u[x] nhận giá trị khác 0 và có đạo hàm trên J thì:
4.Sự biến thiên và đồ thị của hàm số mũ và hàm số logarit
a.Hàm số mũ y= ax [a > 0; a ≠ 1].
• Tập xác định: D = R.
• Tập giá trị: T = [0; +∞].
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
Có đồ thị:
+ Đi qua điểm [0;1]
+ Nằm phía trên trục hoành.
+Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
• Hình dạng đồ thị:
b. Hàm số logarit y= logax [a > 0; a ≠ 1]
• Tập xác định: D = [0; +∞].
• Tập giá trị: T = R.
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• có đồ thị:
+ Đi qua điểm [1; 0]
+ Nằm ở bên phải trục tung
+Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
• Hình dạng đồ thị:
1.Khái niệm hàm số lũy thừa
Hàm số có dạng y= xα với α là một hằng số tùy ý được gọi là hàm số lũy thừa.
Nhận xét:
Tập xác định của hàm số y= xα là:
+ D= R nếu α là số nguyên dương.
+ D= R\{0} với α nguyên âm hoặc bằng 0
+ D= [0; +∞] với α không nguyên.
2.Đạo hàm của hàm số lũy thừa:
Định lí:
a. Hàm số lũy thừa y= xα với mọi α có đạo hàm tại mọi điểm x > 0 và :
b. Nếu hàm số u= u[x] nhận giá trị dương có đạo hàm trên J thì hàm số y= uα[x] cũng có đạo hàm trên J và
Chú ý
a. đạo hàm của hàm số căn bậc n
[ với mọi x> 0 nếu n chẵn và với mọi x ≠ 0 nếu n lẻ].
b. Nếu u= u[x] là hàm số có đạo hàm trên J và thỏa mãn điều kiện u[x] > 0 mọi x∈J khi n lẻ thì:
4. Vài nét về sự biến thiên và đồ thị của hàm số lũy thừa
| A. Tập khảo sát: [0;+∞] | A. Tập khảo sát: [0;+∞] |
| B. Sự biến thiên:
Giới hạn đặc biệt:
Tiệm cận: Không có | B. Sự biến thiên:
Giới hạn đặc biệt:
Tiệm cận: Trục là tiệm cận ngang. Trục là tiệm cận đứng. |
| C. Bảng biến thiên:
| C. Bảng biến thiên:
|
D. Đồ thị: Đồ thị của hàm số lũy thừa y = xα luôn đi qua điểm I[1;1] Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: y = x3, y = x-2, y = xπ. |
1.Phương trình mũ cơ bản:
+ Phương trình mũ cơ bản có dạng ax =m trong đó m là số đã cho.
- Nếu m ≤ 0 thì phương trình ax =m vô nghiệm.
- Nếu m > 0 thì phương trình ax= m có 1 nghiệm duy nhất x= logam. Nói cách khác
+ Phương trình loarit cơ bản có dạng logax=m; trong đó m là số đã cho.
- Với mỗi giá trị của m ; phương trình logax= m luôn có 1 nghiệm duy nhất x=am. Nói cách khác.
2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
a] Đưa về cùng cơ số:
Với a > 0, a ≠ 1:
Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì :
am= an khi và chỉ khi [a-1] [m-n]=0
b] Logarit hoá:
c] Đặt ẩn phụ:
• Dạng 1:
• Dạng 2:
Chia 2 vế cho b2f[x], rồi đặt ẩn phụ
• Dạng 3: af[x]+ bf[x]= m, với ab=1. Đặt t = af[x] ⇒bf[x]=
d] Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Xét phương trình: f[x] = g[x] [1]
• Đoán nhận x0 là một nghiệm của [1].
• Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f[x] và g[x] để kết luận x0 là nghiệm duy nhất:
• Nếu f[x] đồng biến [hoặc nghịch biến] thì f[u] = f[v] ⇔ u = v
e] Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt
• Phương trình tích A. B = 0 ⇔
• Phương trình A2. B2 = 0 ⇔
f] Phương pháp đối lập
Xét phương trình: f[x] = g[x] [1]
Nếu ta chứng minh được:
3.Một số phương pháp giải phương trình logarit
a] Đưa về cùng cơ số
Với a > 0, a ≠ 1:
b] Mũ hoá
Với a > 0, a ≠ 1:
c] Đặt ẩn phụ
d] Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
e] Đưa về phương trình đặc biệt
f] Phương pháp đối lập
Chú ý:
• Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa.
• Với a, b, c > 0 và a, b, c ≠ 1: alogbc = clogba
A – PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như:
• Phương pháp thế.
• Phương pháp cộng đại số.
• Phương pháp đặt ẩn phụ.
• Phương pháp đánh giá
1.Bất phương trình mũ
Bất phương trình mũ cơ bản có dạng ax>b [ hoặc ax ≥ b; ax0; a ≠ 1
Ta xét bất phương trình có dạng ax>b
• Nếu b ≤ 0 , tập nghiệm của bất phương trình là R, vì ax> b mọi x.
• Nếu b>0 thì bất phương trình tương đương với ax > alogab
Với , nghiệm của bất phương trình là x > logab.
Với , nghiệm của bất phương trình là x < logab.
Ta minh họa bằng đồ thị sau:
• Với a >1 , ta có đồ thị sau.
• Với 0< a b[*]
- Nếu
- Nếu
- Nếu
4. Dạng 4: af[x] < b[**]
- Nếu
- Nếu thì [**] ⇔ f[x] > logab.
- Nếu
2. Bất phương trình logarit
• Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit.
• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit:
– Đưa về cùng cơ số.
– Đặt ẩn phụ.
– ….
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:
Bài giảng: Tất tần tật về Lũy thừa - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
ham-so-luy-thua-ham-so-mu-va-ham-so-logarit.jsp