Công thức tính cạnh tam giác cân khi biết góc

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau, hai cạnh này luôn tạo thành hai góc bằng nhau với cạnh đáy (cạnh thứ ba) và giao nhau bên trên trung điểm cạnh đáy. Bạn có thể kiểm tra điều này bằng thước và hai cây bút chì có chiều dài bằng nhau: nếu bạn cố gắng nghiêng tam giác về bất kì bên nào thì ngọn của hai cây bút chì không thể chạm nhau. Các tính chất đặc biệt này của tam giác cân cho phép bạn tính diện tích của nó chỉ với một vài dữ kiện.

1. 1

   Xem lại cách tính diện tích hình bình hành. Hình vuông và hình chữ nhật là các hình bình hành vì chúng có bốn cạnh với hai cặp cạnh song song. Tất cả các hình bình hành đều có công thức tính diện tích đơn giản là: diện tích bằng cạnh đáy nhân đường cao, hoặc A = bh.[1] X Nguồn nghiên cứu Đi tới nguồn Nếu bạn đặt hình bình hành nằm trên một mặt phẳng nằm ngang thì cạnh đáy là cạnh mà nó đang đứng trên đó. Đường cao là độ cao của hình bình hành so với mặt đất: khoảng cách từ cạnh đáy đến cạnh đối diện. Luôn luôn đo độ dài đường cao theo góc vuông (90 độ) so với cạnh đáy.

   • Đối với hình vuông và hình chữ nhật, đường cao bằng với độ dài cạnh đứng vì các cạnh này vuông góc với mặt đất.

2. 2

   So sánh hình tam giác với hình bình hành. Hai hình này có mối quan hệ đơn giản với nhau. Cắt đôi hình bình hành dọc theo đường xiên và tách thành hai tam giác bằng nhau. Tương tự, nếu bạn có hai tam giác giống hệt nhau thì có thể ghép chúng thành một hình bình hành. Nghĩa là diện tích của bất kì tam giác nào sẽ có công thức là A = ½bh, đúng bằng phân nửa diện tích hình bình hành tương ứng.

3. 3

   Tìm cạnh đáy tam giác cân. Bây giờ bạn đã có công thức, nhưng chính xác đâu là “cạnh đáy” và “đường cao” của tam giác cân? Rất dễ tìm cạnh đáy: đó là cạnh thứ ba và không bằng hai cạnh kia.

   • Ví dụ, nếu tam giác cân có độ dài các cạnh là 5 cm, 5 cm và 6 cm, cạnh có độ dài 6 cm là cạnh đáy.
   • Nếu tam giác có ba cạnh bằng nhau (tam giác đều), bạn có thể chọn bất kì cạnh nào làm cạnh đáy. Tam giác đều là một loại tam giác cân đặc biệt, nhưng bạn cũng có thể tính diện tích theo cách tương tự.[2] X Nguồn nghiên cứu Đi tới nguồn

4. 4

   Kẻ một đường thẳng từ trung điểm cạnh đáy lên đến đỉnh đối diện. Đường thẳng đó phải vuông góc với cạnh đáy và chính là đường cao tam giác, chúng ta gọi nó là h. Sau khi tính được giá trị của h, bạn sẽ tính được diện tích.

   • Trong tam giác cân, đường thẳng này luôn giao với cạnh đáy ở trung điểm của nó.

5. 5

   Quan sát một nửa của tam giác cân. Lưu ý rằng đường cao chia tam giác cân thành hai tam giác vuông giống nhau. Quan sát một trong hai tam giác và phân biệt ba cạnh của nó:

   • Một trong hai cạnh ngắn bằng phân nửa cạnh đáy:
     
     .
   • Cạnh ngắn còn lại là đường cao h.
   • Cạnh huyền của tam giác vuông là một trong hai cạnh bằng nhau của tam giác cân. Chúng ta gọi nó là s.

6. 6

   Thiết lập công thức của Định lý Pytago. Bất kì khi nào bạn biết hai cạnh của tam giác vuông và muốn tìm cạnh thứ ba thì có thể dùng Định lý Pytago: (cạnh 1)2 + (cạnh 2)2 = (cạnh huyền)2. Thay các biến số bạn đang sử dụng cho bài toán để có

   
   .
   • Bạn đã từng học công thức của Định lý Pytago là
     
     . Viết là "cạnh" và "cạnh huyền" để tránh nhầm lẫn với các biến số của tam giác.

7. 7

   Giải tìm h. Nhớ rằng công thức tính diện tích sử dụng b và h, nhưng bạn chưa biết giá trị của h. Chuyển vế công thức để giải tìm h:

8. 8

   Thay các giá trị của tam giác vào để tìm h. Bây giờ bạn đã biết công thức này và có thể sử dụng nó cho bất kì tam giác cân nào đã biết độ dài các cạnh. Chỉ cần thay độ dài cạnh đáy vào b và độ dài một trong hai cạnh bằng nhau vào s, khi đó ta tính được giá trị của h.

   • Ví dụ, bạn có tam giác cân với các cạnh là 5 cm, 5 cm và 6 cm. b = 6 và s = 5.
   • Thay các giá trị này vào công thức:
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     cm.

9. 9

   Thay cạnh đáy và đường cao vào công thức tính diện tích. Bây giờ bạn đã có các dữ liệu cần thiết để sử dụng công thức đề cập lúc đầu: Diện tích = ½bh. Thay các giá trị tìm được của b và h vào công thức này và tìm ra đáp án. Nhớ viết đáp án theo đơn vị diện tích.

   • Tiếp tục với ví dụ trên, tam giác có các cạnh 5-5-6 có cạnh đáy là 6 cm và đường cao là 4 cm.
   • A = ½bhA = ½(6cm)(4cm)

     A = 12cm2.

10. 10

    Giải một ví dụ khó hơn. Đa số các tam giác cân đều khó giải hơn bài toán ví dụ nói trên. Độ dài đường cao thường là số căn bậc hai thay vì là số nguyên đơn giản. Nếu xảy ra trường hợp này, bạn hãy rút gọn giá trị căn bậc hai đó. Đây là ví dụ:

    • Tính diện tích của tam giác có độ dài các cạnh là 8 cm, 8 cm và 4 cm?
    • Cạnh có độ dài khác hai cạnh còn lại là cạnh đáy b và có độ dài 4 cm.
    • Đường cao
      
      
      
      
      
      
      
    • Đơn giản căn bậc hai bằng cách tìm các hệ số:
      
    • Diện tích
      
      
      
      
      
      
      
    • Để nguyên đáp áp như vậy hoặc nhập vào máy tính để tìm giá trị gần đúng dưới dạng số thập phân (khoảng 15,49 cm vuông).

1. 1

   Bắt đầu với một cạnh và một góc. Nếu có kiến thức về lượng giác thì bạn có thể tìm diện tích của tam giác cân cho dù không biết độ dài của một trong ba cạnh. Đây là bài toán ví dụ với các dữ liệu như sau:[3] X Nguồn nghiên cứu Đi tới nguồn

   • Độ dài s của hai cạnh bằng nhau là 10 cm.
   • Góc θ giữa hai cạnh bằng nhau là 120 độ.

2. 2

   Chia tam giác cân thành hai tam giác vuông. Kẻ một đường thẳng từ đỉnh giữa hai cạnh bằng nhau và vuông góc với cạnh đáy. Bây giờ bạn có 2 tam giác vuông giống nhau.

   • Đường thẳng này chia góc θ thành hai nửa bằng nhau. Mỗi tam giác vuông có một góc ½θ, trong trường hợp này là (½)(120) = 60 độ.

3. 3

   Sử dụng lượng giác để tìm giá trị của h. Bây giờ bạn có một tam giác vuông và có thể sử dụng hàm lượng giác sin, cos hoặc tang. Trong ví dụ trên, bạn biết độ dài cạnh huyền và muốn tìm giá trị của h, là cạnh tạo nên góc đã biết. Sử dụng phương trình cos = cạnh kề / cạnh huyền để giải tìm h:

   • cos(θ/2) = h / s
   • cos(60º) = h / 10
   • h = 10cos(60º)

4. 4

   Tìm độ dài cạnh còn lại: Chỉ còn một cạnh chưa biết của tam giác vuông, ta gọi nó là x. Giải tìm độ dài cạnh này bằng phương trình sin = cạnh đối / cạnh huyền:

   • sin(θ/2) = x / s
   • sin(60º) = x / 10
   • x = 10sin(60º)

5. 5

   Mối tương quan giữa x và cạnh đáy tam giác cân. Bây giờ bạn có thể phóng to thành tam giác cân ban đầu. Tổng độ dài cạnh đáy b bằng 2x, vì cạnh đáy được chia làm hai phần bằng nhau với mỗi nửa là x.

6. 6

   Thay các giá trị của h và b vào công thức tính diện tích cơ bản. Sau khi biết cạnh đáy và đường cao, bây giờ bạn dùng công thức tiêu chuẩn A = ½bh:

   • 
     
     
     
     
     
     
     
     
     
   • Bạn có thể nhập số vào máy tính (cài đặt sang độ) và nhận được kết quả khoảng 43,3 cm vuông. Hoặc bạn có thể sử dụng các tính chất của lượng giác để đơn giản nó thành A = 50sin(120º).

7. 7

   Chuyển thành công thức tổng quát. Sau khi biết cách giải bài toán này, bạn có thể dựa vào công thức tổng quát mà không cần đi qua từng bước mỗi khi giải. Đây là kết quả nhận được nếu bạn lập lại phương pháp giải này mà không dùng các giá trị cụ thể (đơn giản phương trình bằng các tính chất lượng giác):[4] X Nguồn nghiên cứu Đi tới nguồn

   • 
   • s là độ dài một trong hai cạnh bằng nhau.
   • θ là góc giữa hai cạnh bằng nhau.

• Nếu bài toán cho một tam giác vuông cân (hai cạnh bằng nhau và một góc 90 độ), diện tích tam giác sẽ dễ tìm hơn nhiều. Nếu bạn chọn một trong hai cạnh ngắn làm cạnh đáy, cạnh còn lại là đường cao. Bây giờ công thức A = ½ bh được đơn giản thành ½s2, trong đó s là độ dài một trong hai cạnh ngắn.
• Sau khi lấy căn bậc hai, ta nhận được hai giá trị, một dương và một âm, nhưng trong hình học bạn có thể bỏ qua giá trị âm. Dĩ nhiên không có tam giác nào có độ dài đường cao là “giá trị âm”.
• Một số bài toán về lượng giác có thể cho dữ liệu ban đầu khác, chẳng hạn độ dài cạnh đáy và một góc (và cho biết đó là tam giác cân). Phương pháp cơ bản không thay đổi: chia tam giác cân thành hai tam giác vuông và giải tìm đường cao bằng các hàm lượng giác.