Đạo hàm hữu hạn là gì
I. Đạo hàm tại một điểm 1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm * Vận tốc tức thời Giới hạn hữu hạn (nếu có) $\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{s\left( t \right) - s\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}$ Được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm ${t_0}$. * Cường độ tức thời Giới hạn hữu hạn (nếu có) $\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{Q\left( t \right) - Q\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}$ Được gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm ${t_0}$. 2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ và ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$. Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${x_0}$ và kí hiệu là $f'\left( {{x_0}} \right)$ (hoặc $y'\left( {{x_0}} \right)$), tức là: $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ 3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa Quy tắc: - Bước 1: Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại${x_0}$, tính: $\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)$. - Bước 2: Lập tỉ số $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$. - Bước 3: Tìm $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$. 4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số * Định lí 1 Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm tại${x_0}$ thì nó liên tục tại điểm đó. 5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm * Định lí 2 Đạo hàm của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${x_0}$ là hệ số góc của tiếp tuyến ${M_0}T$ của (C) tại điểm${M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$. * Định lí 3 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$ là: $y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)$ Trong đó ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$. 6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm a) Vận tốc tức thời $v\left( {{t_0}} \right) = s'\left( {{t_0}} \right)$ b) Cường độ tức thời $I\left( {{t_0}} \right) = Q'\left( {{t_0}} \right)$ II. Đạo hàm trên một khoảng Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là đạo hàm trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó. Khi đó, ta gọi hàm số $\begin{array}{l} f':\left( {a;b} \right) \to R\\ x \mapsto f'\left( x \right) \end{array}$ là đạo hàm của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên khoảng $\left( {a;b} \right)$, kí hiệu là $y'$ hay ${f'\left( x \right)}$. |