Đề bài
Trong các tam giác vuông mà cạnh huyền có độ dài bằng 10cm, hãy xác định tam giác có diện tích lớn nhất.
Lời giải chi tiết
Gọi x, y là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền là 10 cm, 0 < x < 10 và 0 < y < 10.
Diện tích tam giác là \[S = {1 \over 2}xy[c{m^2}]\]
Ta có \[{x^2} + {y^2} = 100\]
S đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \[{x^2}{y^2} = {x^2}[100 - {x^2}]\] đạt giá trị lớn nhất.
Bài toán quy về: Tìm \[x \in \left[ {0;10} \right]\] sao cho tại đó hàm số \[z = {x^2}[100 - {x^2}],x \in \left[ {0;10} \right]\] đạt giá trị lớn nhất.
\[\begin{array}{l}
z' = 2x\left[ {100 - {x^2}} \right] + {x^2}\left[ { - 2x} \right]\\
= - 4{x^3} + 200x\\
z' = 0 \Leftrightarrow - 4{x^3} + 200x = 0\\
\Leftrightarrow - 4x\left[ {{x^2} - 50} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \notin \left[ {0;10} \right]\\
x = 5\sqrt 2 \in \left[ {0;10} \right]\\
x = - 5\sqrt 2 \notin \left[ {0;10} \right]
\end{array} \right.
\end{array}\]
Do đó hàm số đạt GTLN tại \[x = 5\sqrt 2\]. Khi đó \[ y = 5\sqrt 2 \].
Trong các tam giác vuông đó, tam giác vuông cân có diện tích lớn nhất.
Độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác đó là \[x = y = 5\sqrt 2 \] [cm].