Đề bài
Cho tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[G_1\], \[G_2\], \[G_3\] lần lượt là trọng tâm các tam giác \[ABC\], \[ACD\], \[ABD\]. Chứng minh rằng \[[G_1G_2G_3]\parallel[BCD]\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng tính chất của trọng tâm trong tam giác.
Sử dụng định lý Talet.
Sử dụng tính chất: Nếu đường thẳng \[d\] không nằm trong mặt phẳng \[[\alpha]\] và \[d\] song song với \[d\] nằm trong \[[\alpha]\] thì \[d\] song song với \[[\alpha]\].
\[\left\{ \begin{array}{l}d \not\subset [\alpha ]\\d\parallel d'\\d' \subset [\alpha ]\end{array} \right. \Rightarrow d\parallel [\alpha ]\]
Sử dụng tính chất: Nếu mặt phẳng \[[\alpha]\] chứa hai đường thẳng cắt nhau \[a, b\] và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng \[[\beta]\] thì mặt phẳng \[[\alpha]\] song song với mặt phẳng \[[\beta]\].
\[\left\{ \begin{array}{l}a \subset [\alpha ],b \subset [\alpha ]\\a \text{ cắt } b\\a\parallel [\beta ],b\parallel [\beta ]\end{array} \right. \Rightarrow [\alpha ]\parallel [\beta ]\]
Lời giải chi tiết
Gọi \[I, J, K\] lần lượt là trung điểm của \[BC, CD, BD\].
Theo tính chất trọng tâm của tam giác ta có:
\[\dfrac{AG_1}{AI}=\dfrac{AG_2}{AJ}=\dfrac{AG_3}{AK}=\dfrac{2}{3}\].
Theo định lý Ta let suy ra: \[G_1G_2\parallel IJ\] mà \[IJ\subset [BCD]\]
\[\Rightarrow G_1G_2\parallel[BCD]\].
Tương tự ta có \[G_2G_3\parallel [BCD]\].
Ta lại có \[G_1G_2,G_2G_3\subset [G_1G_2G_3]\]
\[\Rightarrow [G_1G_2G_3]\parallel [BCD]\].