Đề bài
Xét tính liên tục trên R của hàm số:\[g\left[ x \right] = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x > 2\\5 - x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 2\end{array} \right.\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hàm đa thức và hàm phân thức liên tục trên từng khoảng xác định của nó.
Xét tính liên tục của hàm số tại \[x=2\].
Hàm số liên tục tại \[x=2\]\[ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left[ x \right] = f\left[ 2 \right]\]
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} g[x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^2} - x - 2} \over {x - 2}}\cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{[x - 2][x + 1]} \over {x - 2}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} [x + 1] = 3 \,\,\,\, [1]\cr} \]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} g[x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} [5 - x] = 3\,\,\,\,[2]\]
\[g[2] = 5 2 = 3 \,\,\,\,\,\,\,\,\, [3]\]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g[x] = g[2]\].
Do đó hàm số \[y = g[x]\] liên tục tại \[x_0= 2\]
Mặt khác trên \[[-, 2]\], \[g[x]\] là hàm đa thức và trên \[[2, +]\], \[g[x]\] là hàm số phân thức hữu tỉ xác định trên \[[2, +]\] nên hàm số \[g[x]\] liên tục trên hai khoảng \[[-, 2]\] và \[[2, +]\]
Vậy hàm số \[y = g[x]\] liên tục trên \[\mathbb R\].