Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Vẽ HE vuông góc với AB tại E, vẽ HF vuông góc với AC tại F.
a] Chứng minh rằng tam giác AEH và tam giác AHB đồng dạng. Suy ra AH2 = AE.AB.
b] Chứng minh rằng AE.AB = AF.AC.
c] Chứng minh rằng tam giác AFE đồng dạng với tam giác ABC.
d] Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC. Chứng minh \[AM \bot EF\]
Lời giải chi tiết
a] Xét AEH và AHB có: \[\widehat {EAH}\] [chung] và \[\widehat {AEH} = \widehat {AHB}[ = 90^\circ ]\]
Do đó \[\Delta AEH \sim \Delta AHB[g.g]\]
\[\Rightarrow {{AH} \over {AB}} = {{AE} \over {AH}} \Rightarrow A{H^2} = AE.AB\]
b] Xét AHF và AHC có:
\[\widehat {HAF}\] [chung] và \[\widehat {AFH} = \widehat {AHC}[ = 90^\circ ]\]
Do đó \[\Delta AHF \sim \Delta ACH[g.g]\]
\[ \Rightarrow {{AH} \over {AC}} = {{AF} \over {AH}} \Rightarrow A{H^2} = AF.AC\]
Mà \[A{H^2} = AE.AB\] nên \[AF.AC = AE.AB\]
c] Xét AFE và ABC có: \[{{AE} \over {AC}} = {{AF} \over {AB}}\] [vì AF.AC = AE.AB] và góc A chung
Do đó \[\Delta AFE \sim \Delta ABC[c.g.c]\]
d] Gọi I là giao điểm của EF và AM
ABC vuông tại Acos AM là đường trung tuyến [gt]
\[ \Rightarrow AM = MC = {{BC} \over 2} \Rightarrow \Delta AMC\] cân tại M \[ \Rightarrow \widehat {IAF} = \widehat {ACM}\]
Mà \[\widehat {ACM} = \widehat {AEF}[\Delta ABC \sim \Delta AFE]\] nên \[\widehat {IAF} = \widehat {AEF}\]
Ta có: \[\widehat {AEF} + \widehat {AFI} = 90^\circ [\Delta AEF\] vuông tại A] và \[\widehat {AEF} = \widehat {IAF} \Rightarrow \widehat {IAF} + \widehat {AFI} = 90^\circ \]
Mặt khác \[\widehat {AIF} + \widehat {IAF} + \widehat {AFI} = 180^\circ \] [tổng ba góc trong tam giác IAF]
Nên \[\widehat {AIF} + 90^\circ = 180^\circ \]
\[\Rightarrow \widehat {AIF} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\]
\[ \Rightarrow AM \bot EF\]