Đề bài
Câu 1. Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng
a.Chứng minh rằng \[\overrightarrow {MP} = \dfrac{1 }{ 2}\left[ {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right]\] .
b.Hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.
Câu 2. Cho tam giác ABC. Xác định các điểm I, J sao cho
\[\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 ,\]\[\,\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {JB} + 2\overrightarrow {JC} = \overrightarrow 0 \] .
Câu 3. Cho hai điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho
\[\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right|\] .
Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm \[A[1;2], B[-3;-2], C[5;-1].\]
A.Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b.Tìm tọa độ của véc tơ trung tuyến \[\overrightarrow {AM} \] của tam giác ABC.
c.Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
Lời giải chi tiết
Câu 1.
a. \[\dfrac{1 }{2}\left[ {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right] \]
\[= \dfrac{1 }{ 2}\left[ {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PD} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PC} } \right]\]
\[ = \dfrac{1 }{ 2}\left[ {2\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {PC} + \overrightarrow {PD} } \right]\]
\[= \overrightarrow {MP} \]
b. Theo tính chất đường trung bình \[\overrightarrow {NM} = -\dfrac{1}{ 2}\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {PQ} =- \dfrac{1 }{2}\overrightarrow {AC} \] .
Gọi G là trọng tâm tam giác ANP. Ta có \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} = \overrightarrow 0 \] .
Suy ra:
\[\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GQ} \]
\[= \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {PQ} \]
\[ = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} \] \[ + \overrightarrow {AC} - \dfrac{1 }{ 2}\overrightarrow {AC} - \dfrac{1 }{ 2}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \]
Vậy G là trọng tâm tam giác CMQ.
Câu 2.
Ta có:
\[\eqalign{ & \overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \cr& \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} + 2\left[ {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} } \right] = \overrightarrow 0 \cr & {\rm{ }} \Leftrightarrow 3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {AB} =\overrightarrow 0 \cr} \]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3\overrightarrow {IA} = - 2\overrightarrow {AB} \\
\Leftrightarrow - 3\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {AB} \\
\Leftrightarrow 3\overrightarrow {AI} = 2\overrightarrow {AB}
\end{array}\]
\[\Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = {2 \over 3}\overrightarrow {AB}\]
Suy ra I là điểm trên cạnh AB sao cho \[AI = \dfrac{2 }{ 3}AB\].
Gọi K là trung điểm AB. Ta có
\[\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {JB} + 2\overrightarrow {JC} = \overrightarrow 0\]
\[ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {JK} + 2\overrightarrow {JC} = \overrightarrow 0 \]
\[\Leftrightarrow \overrightarrow {JK} + \overrightarrow {JC} = \overrightarrow 0 \]
Suy ra J là trung điểm KC.
Câu 3.
Gọi O là trung điểm AB.
Ta có: \[\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right| \]
\[\Leftrightarrow \left| {2\overrightarrow {MO} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|\]
\[\Leftrightarrow MO = \dfrac{1 }{ 2}AB\] .
M cách O cố định một đoạn không đổi bằng \[\dfrac{1 }{ 2}AB\] nên tập hợp các điểm M là đường trong tâm O bán kính \[\dfrac{1 }{2}AB\] hay có đường kính là AB.
Câu 4.
a.Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left[ { - 4; - 4} \right],\overrightarrow {AC} = \left[ {4; - 3} \right]\] .
Mà \[\dfrac{{ - 4}}{{ - 4}} \ne \dfrac{{ - 4}}{{ - 3}}\]. Suy ra \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \] không cùng phương.
Vậy A, B, C không thẳng hàng hay A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b.Gọi M là trung điểm BC.
Tọa độ của M là \[\left[ {\dfrac{{{x_B} + {x_C}}}{2};\dfrac{{{y_B} + {y_C}}}{2}} \right] = \left[ {1; - \dfrac{3}{2}} \right].\]
Suy ra \[\overrightarrow {AM} = \left[ {0; - {7 \over 2}} \right]\] .
c. ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi \[\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \] .
Mà \[\overrightarrow {DC} = \left[ {5 - {x_D}; - 1 - {y_D}} \right],\]\[\,\overrightarrow {AB} = \left[ { - 4, - 4} \right]\] .
Do đó \[\left\{ \matrix{ 5 - {x_D} = - 4 \hfill \cr - 1 - {y_D} = - 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_D} = 9 \hfill \cr {y_D} = 3 \hfill \cr} \right.\] .
Vậy \[D = \left[ {9;3} \right]\] .