Điều kiện de phương trình bậc 4 có 3 nghiệm phân biệt

• lý thuyết
• trắc nghiệm
• hỏi đáp
• bài tập sgk

Cho phương trình: \[^{x^4}\]- \[2mx^2\] + [ \[m^2-1\]]=0

Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Các câu hỏi tương tự

• Toán lớp 9
• Ngữ văn lớp 9
• Tiếng Anh lớp 9

I. CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN

Ta thường gặp các dạng đặc biệt sau :

Dạng 1: Phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 [1]

Đặt t = x2, ta có phương trình : at2 + bt + c = 0 [1’]

Nghiệm dương của [1’] ứng với 2 nghiệm của [1]

Vậy điều kiện cần và đủ để [1] có nghiệm là phương trình [1’] có ít nhất một nghiệm không âm.

Bạn đang xem nội dung tài liệu Phương trình và hàm số bậc 4, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

k của t bằng BBT. I I . TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA HÀM BẬC 4 Cho hàm bậc 4 : y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + c có đồ thị [C]. Giả sử a > 0, [C] có trục đối xứng nếu ta tìm được các số α, β, γ, m sao cho : ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = [αx2 + βx + γ]2 + m ∀x ∈ R. Dùng đồng nhất thức cho ta có được các hệ số α, β, γ, m. III . CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG : y = ax4 + bx2 + c y’ = 4ax3 + 2bx y’ = 0 ⇔ 2x[2ax2 + b] = 0 ⇔ x ax b = + = ⎡ ⎣⎢⎢ 0 1 2 02 [ ] [ ]2 3 1. Hàm số có 3 cực trị ⇔ [2] có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ a.b < 0 2. Hàm số có đúng 1 cực trị ⇔ [2] vô nghiệm hoặc có nghiệm kép hoặc có nghiệm bằng 0. ⇔ a vàb a vàab = ≠ ≠ ≥ ⎡ ⎣⎢ 0 0 0 0 IV.CỰC TRỊ HÀM BẬC BỐN DẠNG : y = ax4 + bx3 + cx2 + d y’ = 4ax3 + 3bx2 + 2cx y’ = 0 ⇔ x[4ax2 + 3bx + 2c] = 0 ⇔ x ax bx c = + + = ⎡ ⎣⎢⎢ 0 4 3 2 02 [ ] 1. Khi a > 0, ta có : Hàm số chỉ có 1 cực tiểu mà không có cực đại. ⇔ [3] vô nghiệm hay [3] có nghiệm kép hay [3] có nghiệm x = 0. 2. Khi a < 0, ta có: Hàm số chỉ có 1 cực đại mà không có cực tiểu. ⇔ [3] vô nghiệm hay [3] có nghiệm kép hay [3] có nghiệm x = 0. TOÁN ÔN VỀ HÀM SỐ BẬC 4 Cho hàm số bậc 4 có đồ thị [C a ] với phương trình : y = x4 + 8ax3 – 4[1 + 2a]x2 + 3 I. Trong phần này ta khảo sát hàm số ứng với a = 0 1] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [Co]. Xác định tọa độ điểm uốn. 2] Định m để tiếp tuyến với [Co] tại M có hoành độ m, cắt [Co] tại hai điểm P, Q khác điểm M. Có giá trị nào của m để M là trung điểm đoạn PQ. 3] Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn PQ khi m thay đổi trong điều kiện câu 2. II. Trong phần này ta khảo sát hàm số ứng với a = 2 1− 4] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] 5] Cho đường thẳng [ D ] có phương trình y = ax + b. Tìm a, b để phương trình hoành độ giao điểm của [C] và [D] có hai nghiệm kép phân biệt α và β. Tìm tọa độ hai điểm chung. 6] Viết phương trình tiếp tuyến với [C] và có hệ số góc bằng –8. Tìm tọa độ các tiếp điểm. III. Trong phần này ta khảo sát hàm số trong trường hợp tổng quát. 7] Biện luận theo a số điểm cực trị của hàm số. Định a để hàm số chỉ có điểm cực tiểu mà không có điểm cực đại. 8] Trong trường hợp đồ thị hàm số có ba điểm cực trị hãy viết phương trình parabol đi qua ba điểm cực trị này. 9] Định a để đồ thị có hai điểm uốn. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm uốn này. BÀI GIẢI PHẦN I: 1] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [ ]0C Khi a = 0 hàm số thành y = x4 – 4x2 + 3 y′= 4x3 – 8x, / /y = 12x2 – 8 y′= 0 ⇔ x = 0 x∨ 2 = 2 ⇔ x = 0 ∨ x = ± 2 y [ ]0 = 3, y [ 2± ] = –1 y′′= 0 ⇔ =2 2x 3 ⇔ x = ± 6 3 ; y 6 3 ⎛ ⎞±⎜ ⎟⎝ ⎠ = 7 9 [ ]0C có 2 điểm cực tiểu là [ ]2 , -1± và 1 điểm cực đại là [ ] 0,3 [ ]0C có 2 điểm uốn là 6 7, 3 9 ⎛ ⎞±⎜ ⎟⎝ ⎠ Bảng biến thiên và đồ thị : bạn đọc tự làm. 2] Tiếp tuyến [ tại M []D ]− +4 2m , m 4m 3 thuộc [ ]0C có phương trình: y = y′ [ ]m [ Mx - x ] [ ]x - m + yM hay y = [ + m]34m - 8m 4 – 4m2 + 3 Phương trình hoành độ giao điểm của [ ]D và [ ]0C là x4 – 4x2 + 3 = [ ]34m - 8m [ ]x - m + m4 – 4m2 + 3 [1] [ Nhận xét: pt [1] chắc chắn nhận m làm nghiệm kép nên ta có: [1] ⇔ [ ]2x - m [ ] =2Ax + Bx + C 0 ] [1] ⇔ x4 – m4 – 4 [ ]2 2x - m = [ ]x - m [ ]34m - 8m ⇔ x – m = 0 ∨ x3 + mx2 + m2x + m3 – 4 [ ]x + m = 4m3 – 8m ⇔ x = m ∨ x3 + mx2 + [ ]2m - 4 x – 3m3 + 4m = 0 [2] ⇔ x = m ∨ [ ]x - m [ ]2 2x + 2mx + 3m - 4 = 0 ⇔ x = m ∨ x2 + 2mx + 3m2 – 4 = 0 [3] Do đó, [ cắt []D ]0C tại 2 điểm P, Q khác m ⇔ [3] có 2 nghiệm phân biệt khác m. ⇔ 2 2 2 2 2 m + 2m + 3m - 4 0 = m - 3m + 4 > 0 ⎧ ≠⎪⎨ ′Δ⎪⎩ ⇔ 2 2 2m 3 m < 2 ⎧ ≠⎪⎨⎪⎩ [4]⇔ 6m 3 m < 2 ⎧ ≠ ±⎪⎨⎪⎩ Để M là trung điểm của PQ thì xM = P Q x + x 2 m = –m m = 0 ⇒ ⇒ [m = 0 thoả [4] nên nhận] Nhận xét: pt [2] chắc chắn có nghiệm x = m. 3] I là trung điểm của PQ nên: ta có xI = –m và 2yI = yP + yQ = 2 [ ]4 2m - 4m + 3 ⇒ yI = – 4 + 3 4Ix 2Ix Vậy quĩ tích của I là 1 phần đồ thị của hàm số y = x4 – 4x2 + 3 với x < 2 và x ≠ ± 6 3 PHẦN II: Khảo sát hàm số với a = – 1 2 4] Khảo sát và vẽ đồ thị [ ]C khi a = – 1 2 : độc giả tự làm. a = – 1 2 , hàm số thành y = x4 – 4x3 + 3; y / = 4x3 – 12x2 5] Tìm a, b để phương trình hoành độ giao điểm của y = x4 – 4x3 + 3 [ ]C và đường thẳng: y = ax + b [ ]1D có 2 nghiệm kép phân biệt α , β . Phương trình hoành độ giao điểm của [ ]C và [ ]1D là x4 – 4x3 + 3 = ax + b x⇔ 4 – 4x3 – ax + 3 – b = 0 Do đó, yêu cầu bài toán x⇔ 4 – 4x3 – ax + 3 – b = [ ]2x - α [ ]2x - β ∀x mà [ ]2x-α [ ]2x-β = x4 –2 [ ]+ α β x3 + [ ]2 2+ +4α β αβ x2 –2 x+αβ [ ]α +β 2α 2β Do đó, yêu cầu bài toán ⇔ [ ] [ ] ⎧− α + β⎪α β αβ = α +β + α⎪⎨ αβ α β⎪⎪α β⎩ 2 2 2 2 2 2 = -4 + + 4 = 0 [ ] 2 2 + = a = 3 - b β ⇔ α β⎧⎪ αβ αβ⎪⎨⎪⎪⎩ + = 2 4 + 2 = 0[ =-2] a = -8 3 - b = 4 a = – 8 và b = –1. ⇒ α β αβ ⇒ α β + β α + với + = 2 và =-2 [ = 1- 3 và =1 3 ]hay[ = 1- 3 và =1 3 ] Khi đó, thế = ±x 1 3 và y = – 8 x – 1, ta có 2 điểm chung là A [ ]1 - 3, -9 + 8 3 và B [ ]1 + 3, -9 - 8 3 6] Gọi x là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến có hệ số góc bằng –8, ta có: 4x3 – 12x2 = – 8 4x⇔ 3 – 12x2 + 8 = 0 ⇔ x3 – 3x2 + 2 = 0 ⇔ [ ]x - 1 [ ]2x - 2x -2 = 0 ⇔ x = 1 hay x = 1± 3 y [ ]1 = 0, y [1 - 3 ] = – 9 + 8 3 , y [ ]1 + 3 = –9 – 8 3 Tiếp tuyến tại [ là y = – 8]1,0 [ ]x - 1 hay y = –8x + 8 Theo câu 5, 2 tiếp điểm tại A và B có cùng 1 tiếp tuyến là y = – 8x – 1 Tóm lại có 2 tiếp tuyến thỏa ycbt là : y = –8x + 8 hay y = – 8x – 1. Các tiếp điểm là : [ , A]1,0 [ ]1 - 3, -9 + 8 3 và B [ ]1 + 3, -9 - 8 3 PHẦN III: 7] Số điểm cực trị của hàm số là nghiệm đơn hay nghiệm bội ba của đa thức: f′ [ ]x = 4x3 + 24ax2 – 8 [ ]x 1 + 2a = 4x [ ]2x + 6ax - 2 1 + 2a⎡ ⎤⎣ ⎦ Tam thức g[x] = x2 + 6ax – 2[1 + 2a] có : = 9a′Δ 2 + 4a + 2 > 0 , nên a∀ i] Khi a ≠ 1 2 − , g[x] = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0, suy ra có 3 nghiệm đơn phân biệt [ ]f x = 0′ ⇒ có 3 cực trị. ii] Khi a = 1 2 − thì g[x] = 0 có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm khác 0 có 1 nghiệm kép x = 0 và 1 nghiệm đơn ⇒ [ ]f x = 0′ ⇒ có 1 cực trị Điều kiện cần để hàm chỉ có 1 cực trị là a = 1 2 − . Khi a = 1 2 − , hàm đạt cực tiểu tại x = 3. [Khi a = 1 2 − , g[x] = 0 ⇔ x2 = 0 x = 3 ∨ với x = 0 là nghiệm kép và x = 3 là nghiệm đơn]. Vậy khi a = 1 2 − thì hàm chỉ có cực tiểu và không có cực đại. 8] Khi a ≠ 1 2 − , hàm số có 3 cực trị. Gọi x1, x2, x3 là hoành độ 3 điểm cực trị khi a ≠ 1 2 − , ta có : x1, x2, x3 là nghiệm của f′ [ ]x = 0. Chia đa thức f [ ]x cho 1 4 f′ [ ]x ta có: f [ ]x = 1 4 f′ [ ]x [ ]x + 2a – 2 [ ]26a + 2a + 1 x2 + 4 [ ]2a + 2a x + 3 Vậy 3 điểm cực trị thoả phương trình: y = –2 [ ]26a + 2a + 1 x2 + 4 [ ]2a + 2a x + 3 vì = = ff′ [ ]1x f′ [ ]2x ′ [ ]3x = 0 Vậy, phương trình Parabol đi qua 3 điểm cực trị là : y = –2 [ ]26a + 2a + 1 x2 + 4 [ ]2a + 2a x + 3 9] y′ = 4x3 + 24ax2 – 8 [ ]x 1 + 2a y′′ = 12x2 + 48ax – 8 [ ] 1 + 2a y′′ = 0 3x⇔ 2 + 12ax – 2 [ ]1 + 2a = 0 [9] Vì [9] có = 36a′Δ 2 + 6 [ ] 1 + 2a = 6 [ ]26a + 2a + 1 > 0 , ∀a nên đồ thị luôn có 2 điểm uốn I, J có hoành độ là nghiệm của phương trình [9] Hướng dẫn: giả sử chia f [ ]x cho 1 4 f′′ [ ]x [vế trái của [9]] Ta có : f [ ]x = 1 4 f′′ [ ]x [ ]h x⎡⎣ ⎤⎦ + Ax + B thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm uốn là: y = Ax + B. ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2002 KHỐI B: [ĐH: 2,0đ; CĐ: 2,5đ]: Cho hàm số : y = mx4 + [m2 – 9]x2 + 10 [1] [m là tham số] 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số [1] khi m=1 . 2. Tìm m để hàm số [1] có ba điểm cực trị . BÀI GIẢI 1] m = 1, y = x4 – 8x2 + 10 [C]. MXĐ : D = R y’ = 4x3 – 16x; y’ = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±2 y” = 12x2 – 16; y” = 0 ⇔ x = 3 2± x −∞ − 3 2 3 2 +∞ y" + 0 − 0 + [C] lõm lồi lõm Điểm uốn I1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 9 10, 3 2 , I2 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 9 10, 3 2 x −∞ −2 0 2 +∞ y' − 0 + 0 − 0 + y +∞ 10 +∞ −6 CĐ −6 CT CT 2] y = mx4 + [m2 – 9]x2 + 10 y’ = 4mx3 + 2[m2 – 9]x y’ = 0 ⇔ ⎢⎢⎣ ⎡ =−+ = [*]0]9m[mx2 0x 22 y có 3 cực trị ⇔ [*] có 2 nghiệm phân biệt ≠ 0 −6 x y 10 −2 2 O ⇔ m[m2 – 9] < 0 ⇔ m < −3 ∨ 0 < m < 3 ĐỀ DỰ BỊ 1 - NĂM 2002 – KHỐI A [2,0 điểm] Cho hàm số: y = x4 – mx2 + m – 1 [1] [m là tham số] 1] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số [1] khi m = 8. 2] Xác định m sao cho đồ thị của hàm số [1] cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. BÀI GIẢI 1] Khi m = 8 ⇒ y = x4 – 8x2 + 7 • MXĐ : D = R. •y' = 4x3 – 16x = 4x[x2 – 4] y' = 0 ⇔ 4x[x2 – 4] = 0 ⇔ x = 0 hay x = ±2 • y'' = 12x2 – 16; y'' = 0 ⇔ 12x2 – 16 = 0 ⇔ x2 = =16 4 12 3 ⇔ x = ± 2 3 3 x −∞ −2 0 2 +∞ y' − 0 + 0 − 0 + y +∞ 7 +∞ - 9 −9 x −∞ 2 3 3 − 2 3 3 +∞ y'' + 0 − 0 + y +∞ lõm -17/9 lồi - 17/9 lõm +∞ O 2−2 7 −9 x y 2] Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. • Phương trình hoành độ giao điểm : x4 – mx2 + m – 1 = 0 [1] Đặt t = x2 ≥ 0, t2 – mt + m – 1 = 0 [2] Phương trình [1] có 4 nghiệm phân biệt . ⇔ Phương trình [2] có 2 nghiệm dương phân biệt. ⇔ ⇔ 2 2 1 2 1 2 m 4[m 1] [m 2] S t t m 0 P t t m 1 0 ⎧Δ = − − = − >⎪ = + = >⎨⎪ = = − >⎩ 0 m 1 m 2 >⎧⎨ ≠⎩ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG - DỰ BỊ 1 - NĂM 2004 - KHỐI A