Đường thẳng song song với mặt phẳng toanmath

Mục lục

1 ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 3

A Tóm tắt lý thuyết . . . 3

B Bài tập rèn luyện . . . 4

Dạng 0.1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng . . . 4

Dạng 0.2. Tìm thiết diện của hình(H)khi cắt bởi mặt phẳng(P) . . . 9

Dạng 0.3. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng . . . 14

Dạng 0.4. Tìm thiết diện của hình(H)khi cắt bởi mặt phẳng(P). . . 23

Dạng 0.5. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui, chứngminh một điểm thuộc một đường thẳng cố định. . . 24

2 QUAN HỆ SONG SONG 511 HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 51A Tóm tắt lý thuyết . . . 51

2 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG . . . 52

A Tóm tắt lý thuyết . . . 52

B Bài tập rèn luyện . . . 53

Dạng 2.1. Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng, đường thẳngsong song với mặt phẳng. . . 53

Dạng 2.2. Thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng(α)và song song vớimột đường thẳng cho trước. Tính diện tích thiết diện . . . 63

3 HAI MẶT PHẲNG THẲNG SONG SONG . . . 82

A Tóm tắt lý thuyết . . . 82

B Bài tập rèn luyện . . . 85

4 KHỐI LĂNG TRỤ . . . 92

5 BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG II . . . 111

3 QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN 1251 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG . . . 125

A Tóm tắt lý thuyết . . . 125

B Bài tập rèn luyện . . . 127

2 HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC . . . 145

A Tóm tắt lý thuyết . . . 145

B Bài tập rèn luyện . . . 146

Dạng 2.1. Chứng minh hai mặt phẳng vng góc . . . 146

3 GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG . . . 155

A Tóm tắt lý thuyết . . . 155

B Bài tập rèn luyện . . . 155

Dạng 3.1. Tính góc giữa hai đường thẳng . . . 155

4 GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG . . . 160

A Góc giữa hai đường thẳng . . . 160

B Bài tập rèn luyện . . . 160

Dạng 4.1. Tính góc giữa hai đường thẳng . . . 160

C Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . . . 164

Dạng 4.2. Xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . . . 165

D Bài tập rèn luyện . . . 165

2 MỤC LỤC

Dạng 4.3. Tính góc giữa hai mặt phẳng . . . 173

F Bài tập rèn luyện . . . 174

5 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG . . . 188

A Phương pháp giải toán . . . 188

B Bài tập mẫu . . . 189

Dạng 5.1. Tính khoảng cách nhờ tính chất của tứ diện vng . . . 206

6 HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU . . . 211

A Tóm tắt lý thuyết . . . 211

B Bài tập rèn luyện . . . 211

Dạng 6.1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau . . . 211

Chương 1.

ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG

GIAN

A.

Tóm tắt lý thuyết

1. Mặt phẳng

Mặt phẳng, mặt bàn, mặt nước hồ yên lặng, mặt sàn nhà,... cho ta hình ảnh một phầncủa mặt phẳng.

2. Điểm thuộc mặt phẳng

Cho điểm Avà mặt phẳng(α). Khi điểm Athuộc mặt phẳng(α), ta nói Anằm trên(α)hay mặt phẳng(α)chứa A, hay mặt phẳng(α)đi qua điểm Avà kí hiệu A ∈ (α), đượcbiểu diễn ở hình2.

Tính chất 1. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
Tính chất 2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm khơng thẳng hàng.

Tính chất 3. Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt. thuộc một mặt phẳng thìmọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Tính chất 4. Tồn tại bốn điểm khơng cùng thuộc một mặt phẳng.

Tính chất 5. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì có một điểm chungthì chúng cịn một điểm chung khác nữa.

3. Cách xác định một mặt phẳngCó ba cách xác định một mặt phẳng:

• Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết mặt phẳng đi qua ba điểm khơngthẳng hàng.

• Mặt phẳng được hồn tồn xác định khi biết mặt phẳng đi qua một điểm và chứamột đường thẳng khơng đi qua điểm đó.

• Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết mặt phẳng đi chứa hai đường thẳngcắt nhau.

4. Hình chóp và tứ diện

• Trong mặt phẳng (α) cho đa giác lồi A1A2A3. . .An. Lấy một điểm S không

thuộcmặt phẳng(α)và lần lượt nối điểmSvới các đỉnh A1, A2,A3,. . ., An ta được

ntam giácSA1A2,SA2A3,. . .,SAnA1. Hình gồm đa giác A1A2A3. . .An vàntam

giácSA1A2,SA2A3,. . .,SAnA1được gọi là hình chóp, kí hiệu làS.A1A2A3. . .An.• S được gọi là đỉnh của hình chóp, đa giác A1A2A3. . .An, các tam giác SA1A2,

SA2A3,. . .,SAnA1được gọi là các mặt bên của hình chóp,SA1,SA2,SA3,. . .,SAn

được gọi là các cạnh bên của hình chóp.

• Tên của hình chóp gọi theo tên của đa giác đáy. Hình chóp tam giác cịn gọi làhình tứ diện.

Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là tứ diện đều.

4 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

S

A B

CHình chóp tam giác

(hình tứ diện)

S

AD

BC

Hình chóp tứ giác

S

AD

BCHình chóp tứ giác có

đáy là hình thangS

AD

BCHình chóp tứ giác có

đáy là hình bìnhhành

B.

Bài tập rèn luyện

DẠNG 0.1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Phương pháp giải: Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta đi tìm hai điểm chung
phân biệt thuộc cả hai mặt phẳng. Nối hai điểm chung đó được giao tuyến cần tìm.

Bài 1. Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy mộtđiểmSkhông thuộc mặt phẳng(ABCD). Xác định giao tuyến của

1. Mặt phẳng(SAC)và mặt phẳng(SBD).2. Mặt phẳng(SAB)và mặt phẳng(SCD).3. Mặt phẳng(SAD)và mặt phẳng(SBC).

Lời giải.

5

Khi đó

®

H ∈ AC

H ∈ BD ⇒ H ∈ (SAC)∩(SBD) (1).

Dễ thấyS ∈(SAC)∩(SBD) (2).Từ (1) và(2) suy ra SH là giao tuyếncủa hai mặt phẳng(SBD)và(SAC).2. Gọi K là giao điểm của hai đường

thẳngCDvàAB.Khi đó

®

K∈ AB

K∈ CD ⇒ K ∈(SAB)∩(SCD) (3).

Dễ thấyS ∈(SAB)∩(SCD) (4).Từ (3) và(4) suy ra SK là giao tuyếnhai mặt phẳng(SAB)và(SCD).3. Gọi L là giao điểm của hai đường

thẳngADvàBC.Khi đó

®

L∈ AD

K ∈ BC ⇒ L ∈(SAD)∩(SBC) (5).

Dễ thấyS ∈(SAD)∩(SBC) (6).Từ (5) và (6) suy ra SL là giao tuyếnhai mặt phẳng(SAD)và(SBC).

S

A

D H

K

L

B

C

Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, Jlần lượt là trung điểm các cạnhAD, BC.1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(IBC)và mặt phẳng(J AD).

2. Lấy điểmMthuộc cạnhAB,Nthuộc cạnhACsao choM,Nkhơng là trung điểm.Tìm giao tuyến của mặt phẳng(IBC)và mặt phẳng(DMN).

Lời giải.

1. Do giả thiết I ∈ ADnên I ∈ (J AD).Suy ra I ∈ (BCI)∩(ADJ) (1).

Tương tự, ta có J ∈ (BCI)∩(ADJ) (2).Từ (1) và(2) suy ra I J là giao tuyến của haimặt phẳng(BCI)và(ADJ).

2. GọiElà giao điểm của hai đường thẳngDMvàBI.

Khi đó

®

E ∈ BI

E ∈ DM ⇒ E ∈ (MND) ∩(IBC) (3).

Tương tự, gọi F là giao điểm củaDN vàCIsuy raF∈ (BCI)∩(MND) (4).

Từ(3)và(4)suy ra EFlà giao tuyến hai mặtphẳng(BCI)và(MND).

BJM

A

CE

DN

6 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm Mthuộc cạnhAB, Nthuộc cạnh ACsao choMN cắtBC. GọiI là điểm bên trong tam giácBCD. Tìm giao tuyến của

1. Mặt phẳng(MN I)và mặt phẳng(BCD).2. Mặt phẳng(MN I)và mặt phẳng(ABD).3. Mặt phẳng(MN I)và mặt phẳng(ACD).Lời giải.

1. GọiHlà giao điểm của MNvàBC.Suy ra H ∈(MN I)∩(BCD) (1).Do I là điểm trong 4BCD nên I ∈(MN I)∩(BCD) (2).

Từ (1) và (2) suy ra I H là giao tuyếncủa hai mặt phẳng(MN I)và(BCD).2. Giả sử E là giao điểm của hai đường

thẳngI HvàBD.

Vì H ∈ MN và

®

E ∈ BD

E ∈ I H ⇒ E ∈(MN I)∩(ABD) (3).

Dễ thấyM ∈(ABD)∩(MN I) (4).
Từ (3) và(4) suy ra ME là giao tuyếnhai mặt phẳng(ABD)và(MN I).3. Tương tự, gọi F là giao điểm của

hai đường thẳng I H và CD. Ta suyra

®

F∈ CD

F∈ I H ⇒ F ∈ (MN I) ∩(ACD) (5).

DoN ∈ ACnên N ∈(ACD).Khi đóN ∈ (MN I)∩(ACD) (6).Từ (5) và (6) suy ra NF là giao tuyếncủa hai mặt phẳng(ACD)và(MN I).

HB

IM

A

C

E D

N

F

Bài 4. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình thang có cạnhABsong song vớiCD. GọiI là giao điểm củaADvàBC. Lấy điểm Mthuộc cạnhSC. Tìm giao tuyến của

1. Mặt phẳng(SAC)và mặt phẳng(SBD).2. Mặt phẳng(SAD)và mặt phẳng(SBC).3. Mặt phẳng(ADM)và mặt phẳng(SBC).Lời giải.

7Suy ra H ∈(SAC)∩(SBD) (1).

Dễ thấyS ∈(SAC)∩(SBD) (2).

Từ (1) và (2) suy ra SH là giao tuyến của hai mặtphẳng(SAC)và(SBD).

2. DoI là giao điểm của hai đường thẳngADvàBC.Nên

®

I ∈ AD

I ∈ BC ⇒ I ∈(SAD)∩(SBC) (3).Dễ thấyS ∈(SAD)∩(SBC) (4).

Từ (3) và (4) suy ra SI là giao tuyến hai mặt phẳng(SAD)và(SBC).

3. Do giả thiết ta có

®

I ∈ AD

I ∈ BC ⇒ I ∈ (ADM)∩(SBC) (5).

Vì M ∈ SC nên M ∈ (SBC). Do đó M ∈ (ADM)∩(SBC) (6).

Từ (5) và (6) suy ra I M là giao tuyến của hai mặtphẳng(ADM)và(SBC).

A

S

D

B

I

H _C

M

Bài 5. Cho hình chópS.ABCD đáy là hình bình hành tâmO. Gọi M, N, P lần lượt làtrung điểm của cạnhBC,CD, SA. Tìm giao tuyến của

(MNP)và(SAB).

a) b) (MNP)và(SBC).

(MNP)và(SAD).

c) d) (MNP)và(SCD).

Lời giải.

1. (MNP)∩(SAB).

GọiF= MN∩AB,E =MN∩AD(vì MN, AB, AD⊂(ABCD))Vì

®

P∈ (MNP)

P∈ SA ⊂(SAB) nênP∈ (MNP)∩(SAB) (1).

Mặt khác

®

F ∈ MN ⊂(MNP)F ∈ AB⊂(SAB) nênF∈ (MNP)∩(SAB) (2).

Từ (1)và(2)suy ra (MNP)∩(SAB) =

PF.

2. (MNP)∩(SAD).Ta có

®

P∈ (MNP)

P∈ SA ⊂(SAD) ⇒ P ∈(MNP)∩(SAD) (3).

Mặt khác

®

E ∈ MN ⊂(MNP)

E ∈ AD ⊂(SAD) ⇒E ∈(MNP)∩(SAD) (4).

Từ(3)và(4)suy ra(MNP)∩(SAD) =

PE.

S

EH

A

B C

D

M

N

F

P

8 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN3. Tìm(MNP)∩(SBC).

Trong(SAB). GọiK =PF∩SB. Ta có

®

K∈ PF⊂(MNP)

K∈ SB⊂(SBC) ⇒K ∈ (MNP)∩(SBC) (5).Mặt khác

®

M∈ (MNP)

M∈ BC ⊂(SBC) ⇒ M∈ (MNP)∩(SBC) (6).Từ(5)và(6)suy ra(MNP)∩(SBC)= MK.

4. Tìm(MNP)∩(SCD).

Trong mặt phẳng (SAD). Gọi H = PE∩ SD. Ta có

®

H ∈ PE⊂(MNP)

H ∈ SD⊂(SCD) ⇒ H ∈(MNP)∩(SCD) (7).

Mặt khác

®

N ∈ (MNP)

N ∈ CD ⊂(SCD) ⇒ N ∈ (MNP)∩(SCD) (8).Từ(7)và(8)suy ra(MNP)∩(SCD)= NH.

Bài 6. Cho tứ diệnSABC. Lấy M∈ SB, N ∈ AC, I ∈ SC sao choMI không song songvớiBC, N Ikhơng song song vớiSA. Tìm giao tuyến của mặt phẳng(MN I)với các mặt(ABC)và(SAB).

Lời giải.

1. Tìm(MN I)∩(ABC).Vì

®

N ∈ (MN I)

N ∈ AC ⊂(ABC) nên N ∈ (MN I)∩(ABC) (1).

Trong(SBC), gọiK =MI∩BC.Vì

®

K ∈ MI ⊂(MN I)

K ∈ BC ⊂(ABC) ⇒ K ∈ (MN I)∩(ABC) (2).

Từ(1)và(2)suy ra(MN I)∩(ABC)= NK.2. Tìm(MN I)∩(SAB).

Trong(SAC), gọiJ = N I∩SA.Ta có

®

M ∈ (MN I)

M ∈ SB⊂(SAB) ⇒ M ∈ (MN I)∩(SAB) (3).

Mặt khác

®

J ∈ N I ⊂(MN I)

J ∈ SA ⊂(SAB) ⇒ J ∈(MN I)∩(SAB) (4).

Từ(3)và(4)suy ra(MN I)∩(SAB)= MJ.

S

I

BN

J

C

A K

M

Bài 7. Cho tứ diện ABCD,Mlà một điểm bên trong tam giácABD,Nlà một điểm bêntrong tam giác ACD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau

(AMN)và(BCD).

a) b) (DMN)và(ABC).

9

1. Tìm(AMN)∩(BCD).

Trong(ABD), gọiE = AM∩BD.Ta có

®

E ∈ AM⊂(AMN)

E ∈ BD⊂(BCD) ⇒ E ∈ (AMN)∩(BCD) (1).

Trong(ACD), gọiF = AN∩CD.Ta có

®

F ∈ AN ⊂(AMN)

F ∈ CD⊂(BCD) ⇒ F ∈ (AMN)∩(BCD) (2).

Từ(1)và(2)suy ra(AMN)∩(BCD)=EF.2. Tìm(DMN)∩(ABC).

Trong(ABD), gọiP=DM∩AB.Ta có

®

P ∈ DM ⊂(DMN)

P ∈ AB⊂(ABC) ⇒ P ∈ (DMN)∩(ABC) (3).

Trong(ACD), gọiQ= DN∩ AC.
Ta có

®

Q ∈ DN ⊂(DMN)

Q ∈ AC⊂(ABC) ⇒ Q ∈ (DMN)∩(ABC) (4).

Từ(3)và(4)suy ra(DMN)∩(ABC)=PQ.

A

CE

BP

Q

DFM

N

Bài 8. Cho tứ diện ABCD. LấyI ∈ AB, J là điểm trong tam giácBCD,Klà điểm trong
tam giác ACD. Tìm giao tuyến của mặt phẳng(I JK)với các mặt của tứ diện.

Lời giải.

GọiM=DK∩AC,N =DJ∩BC,H = MN∩K J.VìH ∈ MN ⊂(ABC)⇒ H ∈(ABC).

GọiP= H I∩BC,Q= PJ∩CD, T =QK∩ AD.

Theo cách dựng điểm ở trên ta có





(I JK)∩(ABC)= IP(I JK)∩(BCD)=PQ(I JK)∩(ACD) =QT(I JK)∩(ABD)=T I.

A

P

CJ

H

QB

I

N

K

DM

T

DẠNG 0.2. Tìm thiết diện của hình(H)khi cắt bởi mặt phẳng(P)Thiết diện là phần chung của mặt phẳng(P)và hình(H).

10 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

khác của hình(H), từ đó ta tìm được các giao tuyến tiếp theo.

Đa giác giới hạn bởi các đoạn giao tuyến này khép kín thành một thiết diện cần tìm.

Bài 9. Cho hình chópS.ABCD. GọiMlà một điểm trong tam giácSCD.1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(SBM)và(SAC).

2. Tìm giao điểm của đường thẳngBMvà(SAC).

3. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng(ABM).Lời giải.

1. Tìm(SBM)∩(SAC).

Trong(SCD), gọi N =SM∩CD.Trong(ABCD), gọi AC∩BN =O.Ta có

®

O∈ BN ⊂(SBN)

O∈ AC ⊂(SAC) ⇒ O ∈ (SAC)∩(SBN) (1).

Mặt khácS ∈(SAC)∩(SBN) (2).

Từ(1)và(2)suy ra(SAC)∩(SBN)=SO.2. TìmBM∩(SAC).

GọiH =BM∩SO.Ta có

®

H ∈ BM

H ∈SO ⊂(SAC) ⇒ H = BM∩(SAC).

S

B

CO

N

DM

IJ

A H

3. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi(ABM).Trong(SAC), gọiI = AH∩SC. Ta có

®

I ∈ AH ⊂(ABM)

I ∈ SC ⊂(SCD) ⇒ I ∈(SCD)∩(ABM) (3).Mặt khácM∈ (SCD)∩(ABM) (4).

Từ(3)và(4)suy ra(SCD)∩(ABM)= I M.

Trong(SCD), gọiJ = I M∩SD. Khi đó(SAC)∩(ABM) = AJvà(SBC)∩(ABM)=BI.Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác ABI J J.

Bài 10. Cho tứ diện ABCD. Trên AB, AC lấy 2điểm M, N sao cho MN không songsongBC. GọiOlà một điểm trong tam giác BCD.

1. Tìm giao tuyến của(OMN)và(BCD).2. Tìm giao điểm của DC, BDvới(OMN).3. Tìm thiết diện của(OMN)với hình chóp.Lời giải.

11Trong(ABC), gọiH = MN∩BC.

Ta có

®

H ∈ MN ⊂(MNO)

H ∈ BC ⊂(BCD) ⇒ H ∈ (BCD)∩(MNO) (1).

Mặt khácO∈ (BCD)∩(MNO) (2).

Từ(1)và(2)suy ra(BCD)∩(MNO)=HO.2. TìmDC∩(OMN)vàBD∩(OMN).

Trong(BCD), gọiI = BD∩HO.Ta có

®

I ∈ BD

I ∈ HO ⊂(MNO) ⇒ I =BD∩(MNO).Trong(BCD), gọiJ =CD∩HO.

Ta có

®

J ∈CD

J ∈ HO ⊂(MNO) ⇒ J = CD ∩(MNO).

A

COI

JB

MH

DN

3. Tìm thiết diện của(OMN)và hình chóp.

Ta có



(ABC)∩(MNO)= MN(ABD)∩(MNO)= MI(ACD)∩(MNO) =N J(BCD)∩(MNO)= I J

.Vậy thiết diện cần tìm là tứ giácMN J I.

Bài 11. Cho tứ diện SABC. Gọi M ∈ SA, N ∈ (SBC), P ∈ (ABC), khơng có đườngthẳng nào song song.

1. Tìm giao điểm của MNvới(ABC), suy ra giao tuyến của(MNP)và(ABC).2. Tìm giao điểm của ABvới(MNP).

3. Tìm giao điểm của NPvới(SAB).

4. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng(MNP).

Lời giải.

12 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIANChọn mặt phẳng phụ(SAH)chứa MN.

Tìm(SAH)∩(ABC).

Ta cóA ∈(ABC)∩(SAH) (1).Trong(SBC), gọi H=SN∩BC.Ta có

®

H ∈ SN ⊂(SAH)

H ∈ BC ⊂(ABC) ⇒ H ∈ (SAH)∩(ABC) (2).

Từ(1)và(2)suy ra(SAH)∩(ABC) =AH.Trong(SAH), gọiI = MN∩AH.

Ta có

®

I ∈ MN

I ∈ AHH ⊂(ABC) ⇒ I = MN∩(ABC).

Tìm(MNP)∩(ABC).

Ta cóP∈ (MNP)∩(ABC) (3).Mặt khácI ∈ (MNP)∩(ABC) (4).Từ(3)và(4)⇒(MNP)∩(ABC)= PI.2. TìmAB∩(MNP).

Trong(ABC), gọiK= AB∩PI.Ta có

®

K∈ AB

K∈ PI ⊂(MNP) ⇒ K = AB∩(MNP).

S

H

B

P J

LA

M

K

CN

IQ

3. TìmNP∩(SAB).

Trong(MNK), gọiL =PN∩ MK. Ta có

®

L ∈ PN

L ∈ MK ⊂(SAB) ⇒L =PN∩(SAB).

4. Trong(ABC), gọi J =BC∩PI. Khi đó(MNP)∩(SBC)= JN.

Trong(SBC), gọiQ=SC∩JN. Ta có



(MNP)∩(SAB)= MK(MNP)∩(SBC)= IQ(MNP)∩(SAC) =MQ(MNP)∩(ABC)=K J.Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MQJK.

Bài 12. Cho tứ diện SABC. Gọi I, J, K lần lượt là 3 điểm nằm trong ba mặt phẳng(SAB),(SBC),(ABC).

1. Tìm giao điểm của I J với(ABC).

2. Tìm giao tuyến của(I JK)với các mặt của hình chóp. Từ đó suy ra thiết diện của(I JK)cắt bởi hình chóp.

Lời giải.

13Trong(SAB), gọiM =SI∩AB.

Trong(SBC), gọiN =SJ∩BC.Suy ra(SI J)∩(ABC)= MN.Trong(SI J), gọiH = I J∩MN.Ta có

®

H ∈ I J

H ∈ MN ⊂(ABC) ⇒ H =I J∩(ABC).

S

BM

N

HD

KE

AIL

CJ

F

2. Tìm giao tuyến của(I JK)và(ABC).Ta có

®

K ∈(I JK)∩(ABC)

H ∈(I JK)∩(ABC) ⇒ HK =(I JK)∩(ABC).Trong(ABC), gọiD =HK∩BCvàE= HK∩AC.+ Tìm(I JK)∩(SBC).

Ta cóJ ∈(I JK)∩(SBC) (1). Mặt khác

®

D ∈ HK ⊂(I JK)

D ∈ BC ⊂(SBC) ⇒D ∈(I JK)∩(SBC) (2).Từ(1)và(2)suy raDJ =(I JK)∩(SBC).

+ Tìm(I JK)∩(SAB).

Ta cóI ∈ (I JK)∩(SAB) (3).

Trong(SBC), gọiF =DJ∩SB. Ta có

®

F ∈ DJ ⊂(I JK)

F ∈ SB⊂(SAB) ⇒ F∈ (I JK)∩(SAB) (4).Từ(3)và(4)suy raFI =(I JK)∩(SAB).

+ Tìm(I JK)∩(SAC).

Trong(SAB), gọiL =FI∩SA. Ta có

®

L∈ FI ⊂(I JK)

L∈ SA⊂(SAC) ⇒ L=(I JK)∩(SAC) (5).Trong(ABC), gọiE= HK∩AC. Ta có

®

E ∈ HK ⊂(I JK)

E ∈ AC⊂(SAC) ⇒ E∈ (I JK)∩(SAC) (6).Từ(5)và(6)suy raLE=(I JK)∩(SAC).

Vậy thiết diện cần tìm là tứ giácDFLE.

Bài 13. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành tâmO. Gọi M, N, Ilần lượt nằm trên ba cạnh AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(MN I).

14 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIANTrong (ABCD), gọi J = BD∩

MN,K = MN∩AB,H = MN∩BC.

Trong(SBD), gọiQ= I J∩SB.Trong(SAB), gọiR=KQ∩SA.Trong(SBC), gọiP =QH∩SC.Vậy thiết diện là ngũ giácMNPQR.

S

P

A

B C

O

K

M

NJ

DI

HQ

R

Bài 14. Cho hình chópS.ABCD. Gọi M, N, Plần lượt là trung điểm lấy trên AB, ADvàSC. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(MNP).

Lời giải.

Trong (ABCD), gọi E = MN ∩ DC, F =

MN∩BC.

Trong(SCD), gọiQ =EP∩SD.Trong(SBC), gọiR =EP∩SB.Vậy thiết diện là ngũ giácMNPQR.

S

R

MF

AB

NE

C

DP

Q

DẠNG 0.3. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

15

Cách 1: Những bài tốn đơn giản, có sẵn một mặtphẳng(Q)chứa đường thẳng dvà một đườngthẳng a thuộc mặt phẳng (P). Giao điểm củahai đường thẳng khơng song songdvàachínhlà giao điểm của đường thẳng dvà mặt phẳng(P).

Cách 2: Tìm một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳngd, sao cho dễ dàng tìm giao tuyến a với mặtphẳng (P). Giao điểm của đường thẳng d vàmặt phẳng (P) chính là giao điểm của đườngthẳngdvà giao tuyến avừa tìm.

dQ

Pa

A

Bài 15. Cho tứ diệnABCD. GọiM,Nlần lượt là trung điểm của ACvàBC.Klà điểmnằm trên BDsao choKD

Lời giải.

Tìm giao điểm củaCDvới mp(MNK).

Các bạn để ýCDvàNKcùng thuộc mặt phẳng(BCD)và chúngkhông song song nên hai đường thẳng này sẽ cắt nhau tại mộtđiểmI, nhưngNKlại thuộc mp(MNK)suy raIthuộc mp(MNK).Vậy I chính là giao điểm củaCDvà mp(MNK).

Ta có thể trình bày lời giải như sau:

Trong mặt phẳng(BCD), gọi I =CD∩NK.Vì

®

I ∈ CD

I ∈ NK,NK ⊂(MNK) ⇒ I =CD∩(MNK).

A

B

M

C

K D

IH

N

Tìm giao điểm của ADvà(MNK).

Chọn mặt phẳng(ADC)chứaAD. Sau đó tìm giao tuyến của(ACD)và(MNK), ta trình bàynhư sau:

®

M∈ (MNK)

M∈ AC,AC ⊂(ACD) ⇒ M ∈(MNK)∩(ACD).

®

I ∈ NK,NK ⊂(MNK)

I ∈ CD,CD⊂(ACD) ⇒ I ∈ (MNK)∩(ACD).

Vậy(MNK)∩(ACD)= MI. GọiH = MI∩AD. Suy ra H = AD∩(MNK).

Bài 16. Cho tứ diện ABCD. Trên AB,AC,BD lấy lần lượt ba điểm M,N,P sao choMN không song song với BC, MP khong song song với AD. Xác định giao điểm củacác đường thẳng BC,AD,CDvới mặt phẳng(MNP).

16 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

Tìm giao điểm củaBCvà(MNP).Trong(ABC), gọi H= MN∩BC.

®

H∈ BC

H∈ MN,MN ⊂(MNP) ⇒ H ∈BC∩(MNP).

Tìm giao điểm củaADvà(MNP).Trong(ACD), gọi I = MP∩AD.

®

I ∈ AD

I ∈ MP,MP⊂(MNP) ⇒ I ∈AD∩(MNP).

Tìm giao điểm củaCDvà(MNP).

®

I ∈ AD,AD ⊂(ACD)

N ∈ AC,AC ⊂(ACD) ⇒ I N ⊂(ACD).

A

H

C

JDN

I
M

PB

Trong(ACD)gọi J = N I∩CD.

®

J ∈ CD

I ∈ N I,N I ⊂(MNP) ⇒ J =CD∩(MNP). Bài 17. Cho tứ diệnABCD. trênACvàADlấy hai điểmM,Nsao choMNkhông songsong vớiCD. GọiOlà điểm bên trong tam giác(BCD).

1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(OMN)và(BCD).2. Tìm giao điểm của BCvới(OMN).

3. Tìm giao điểm của BDvới(OMN).Lời giải.

1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (OMN) và(BCD).

Ta cóO∈ (OMN)∩(BCD). (1)

Trong(ACD), gọi I = MN∩CD.

®

I ∈ MN,MN ⊂(MNO)

I ∈ CD,CD ⊂(BCD) ⇒ I ∈ (OMN) ∩

(BCD). (2)

Từ(1)và(2)ta cóOI =(OMN)∩(BCD).2. Tìm giao điểm củaBCvới(OMN).

Trong(BCD), gọiP = BC∩OI. Ta có P = BC∩(OMN).

3. Tìm giao điểm củaBDvới(OMN).

Trong(BCD), gọiQ=BD∩OI. Ta cóQ=BD∩(OMN).

A

QB

M

C

O D

N

I

P

Bài 18. Cho tứ diện ABCD, lấy M ∈ AB, N ∈ AC sao cho MN không song song vớiBC, I là điểm thuộc miền trong4BCD. Xác định giao điểm của các đường thẳngBC,BD,CDvới(MN I).

17

Tìm giao điểm củaBCvới(MN I).Trong(ABC), gọi H= MN∩BC.

®

H∈ BC

H∈ MN,MN ⊂(MN I) ⇒ H =BC∩(MN I).Tìm giao tuyến của(BCD)với(MN I).

®

H∈ MN,MN ∈ (MN I)

H∈ BC,BC ⊂(BCD) ⇒ H ∈(MN I)∩(ACD). (1)

Lại có I ∈ (MN I)∩(BCD). (2)

Từ(1)và(2)ta cóH I =(MN I)∩(BCD).Tìm giao điểm củaBDvới(MN I).Trong(BCD), gọiE= H I∩BD.

®

E∈ BD

E∈ H I,H I ⊂(MN I) ⇒E= BD∩(MN I).Tìm giao điểm củaCDvới(MN I).

Trong(BCD), gọiF =H I∩CD.

A

BH

M

CE

I

DN

FK

®

F∈ CD

F∈ H I,H I ⊂(MN I) ⇒ F=CD∩(MN I). Bài 19. Cho tứ diệnABCD. GọiM,Nlần lượt là các trung điểm của các cạnh AC,BC.Trên cạnhBDlấy điểmPsao choBP=2PD. LấyQthuộcABsao choQMcắtBC. Tìm

1. giao điểm củaCDvà(MNP).2. giao điểm của ADvà(MNP).3. giao tuyến của(MPQ)và(BCD).4. giao điểm củaCDvà(MPQ).5. giao điểm của ADvà(MPQ).Lời giải.

1. Tìm giao điểm củaCDvà(MNP).Trong(BCD), gọiE=CD∩NP.

®

E∈ CD

E∈ NP,NP⊂(MNP) ⇒ E =CD∩(MNP).

2. Tìm giao điểm củaADvà(MNP).

Tìm giao tuyến của (ACD) và

(MNP).

®

M∈ (MNP)

M∈ AC,AC ⊂(ACD) ⇒ M ∈(MNP)∩(ACD). (1)

®

E∈ NP,NP⊂(MNP)

E∈ CD,CD ⊂(ACD) ⇒ E ∈(MNP)∩(ACD). (2)Từ (1) và (2) ta có EM = (MNP)∩(ACD).

Trong (ACD), gọi F = AD∩ EM.Suy ra F= AD∩(MNP).

A

BN

CP

L
K

Q M F

TD

18 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN3. Tìm giao tuyến của(MPQ)và(BCD).

Trong(ABC), gọiK= QM∩BC.

®

K∈ BC,BC ⊂(BCD)

K∈ QM,QM⊂(MPQ) ⇒K ∈(MPQ)∩(BCD). (3)

®

P∈ BD,BD⊂(BCD)

P∈ (MPQ) ⇒ P∈ (MPQ)∩(BCD). (4)Từ(3)và(4)ta cóKP =(MPQ)∩(BCD).

4. Tìm giao điểm củaCDvà(MPQ).Trong(BCD)gọiL =KP∩CD.

®

L ∈CD

L ∈ KP,KP⊂(MPQ) ⇒ L=CD∩(MPQ).5. Tìm giao điểm củaADvà(MPQ).

Tương tự như trên, ta tìm đượcML=(PQ)∩(ACD).Trong(ACD), gọiT = AD∩ML. Suy raT = AD∩(MPQ).

Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có ABvà CD khơng song song. Gọi M là một điểmthuộc miền trong tam giácSCD.

1. Tìm giao điểm NcủaCDvà(SBM).

2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(SBM)và(SAC).3. Tìm giao điểm IcủaBMvà(SAC).

4. Tìm giao điểm Pcủa SC và(ABM). Từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng(SCD)và(ABM).

Lời giải.

1. Tìm giao điểm NcủaCDvà(SBM).Trong(SCD), gọi N =SM∩CD.

®

N ∈ CD

N ∈ SM,SM ⊂(SBM) ⇒ N =CD∩(SBM).2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(SBM)và(SAC).

Ta có một lưu ý rằng(SBN)≡(SBM).Trong(ABCD), gọiO =AC∩BN.

®

O ∈ AC,AC ⊂(SAC)

O ∈ BN,BN ⊂(SBN) ⇒O∈ (SAC)∩(SBN). (1)

Lại cóS∈ (SAC)∩(SBN). (2)

Từ(1)và(2)ta cóSO =(SAC)∩(SBN).

S

A

B C

NDMPOI

3. Tìm giao điểm IcủaBMvà(SAC).
Trong(SBN), gọi I =BM∩SO.

®

I ∈ BM

I ∈ SO,SO ⊂(SAC) ⇒ I =BM∩(SAC).

4. Tìm giao điểmPcủaSCvà(ABM). Từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng(SCD)và(ABM).Ta có(ABM)∩(SAC)= AI.

19

Bài 21. Cho tứ giácABCDvà một điểmSkhông thuộc mặt phẳng(ABCD). Trên đoạnAB lấy một điểm M, trên đoạn SC lấy một điểm N (M,N khơng trùng với các đầumút).

1. Tìm giao điểm của đường thẳng ANvới mặt phẳng(SBD).2. Tìm giao điểm của đường thẳngMN với mặt phẳng(SBD).

Lời giải.

1. Tìm giao điểm của đường thẳngANvới mặt phẳng(SBD).

• Chọn mặt phẳng phụ(SAC)⊃ AN. Ta tìm giaotuyến của(SAC)và(SBD).

Trong (ABCD) gọi P = AC ∩ BD. Suy ra(SAC)(SBD)=SP.

ã Trong(SAC)giI =ANSP.

đ

I AN

I SP,SP(SBD) I = AN∩(SBD).2. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt

phẳng(SBD).

• Chọn mặt phẳng phụ (SMC) ⊃ MN. Ta tìmgiao tuyến của(SMC)và(SBD).

Trong (ABCD) gọi Q = MC ∩ BD. Suy ra(SMC)∩(SBD)=SQ.

• Trong(SMC)gọi J =MN∩SQ.

®

J ∈ MN

J ∈ SQ,SQ⊂(SBD) ⇒ J = MN∩(SBD).

S

A

J

BM

CDP

N

QI

Bài 22. Cho hình chópS.ABCD. GọiOlà giao điểm củaACvàBD. M, N,Plần lượt làcác điểm trênSA,SB,SD.

1. Tìm giao điểm IcủaSOvới mặt phẳng(MNP).2. Tìm giao điểmQcủaSCvới mặt phẳng(MNP).

Lời giải.

20 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIANTrong mặt phẳng(SBD), gọiI =SO∩NP, có

®

I ∈ SO

I ∈ NP ⊂(MNP) ⇒ I =SO∩(MNP).2. Tìm giao điểmQcủaSCvới mặt phẳng(MNP).

•Chọn mặt phẳng phụ(SAC)⊃SC.•Tìm giao tuyến của(SAC)và(MNP).Ta có

®

M∈ (MNP)

M∈ SA, SA ⊂(SAC) ⇒ M ∈(MNP)∩(SAC). (1)Và

®

I ∈ SP, SP⊂(MNP)

I ∈ SO, SO ⊂(SAC) ⇒ I ∈ (MNP) ∩

(SAC). (2)

BA

M
N

CDP

QS

I

O

Từ(1)và(2)có(MNP)∩(SAC)= MI.

• Trong mặt phẳng (SAC) gọi Q = SC∩ MI, có

®

Q ∈SC

Q ∈ MI, MI ⊂(MNP) ⇒ Q =SC∩(MNP).

Bài 23. Cho tứ diệnABCD. GọiM, Nlà hai điểm trênACvàAD.Olà điểm bên trongtam giác BCD. Tìm giao điểm của

1. MN và mặt phẳng(ABO).
2. AOvà mặt phẳng(BMN).

21

1. Tìm giao điểm của MNvà mặt phẳng(ABO).•Chọn mặt phẳng phụ(ACD)⊃MN.

•Tìm giao tuyến của(ACD)và(ABO).

Ta cóAlà điểm chung của(ACD)và(ABO). (1)Trong mặt phẳng(BCD), gọiP= BO∩CD, ta có

®

P∈ BO, BO⊂(ABO)

P∈ CD, CD ⊂(ACD) P (ABO)(ACD).(2)

T(1)v(2)suy ra(ACD)(ABO) =AP.ãTrong(ACD), giQ = APMN, cú

đ

Q MN

Q∈ AP, AP⊂(ABO) ⇒ MN∩(ABO)=Q.2. Tìm giao điểm của AOvà mặt phẳng(BMN).

•Chọn mặt phẳng(ABP)⊃ AO.
•Tìm giao tuyến của(ABP)và(BMN).

Ta cóBlà điểm chung của(ABP)và(BMN). (3)

®

Q∈ MN, MN ⊂(BMN)

Q∈ AP, AP⊂(ABP) ⇒ Q ∈ (ABP) ∩

(BMN). (4)

Từ(3)và(4)suy ra(ABP)∩(BMN)= BQ.

Gọi I = BQ ∩ AO (vì BQ, AO ∈ (ABP)), có

®

I ∈ AO

I ∈ BQ, BQ⊂(BMN) ⇒ I = AO∩(BMN).

B

M

CDN

PQ

A

I

O

Bài 24. Trong mặt phẳng(α)cho hình thang ABCD, đáy lớnAD. Gọi I, J,Klần lượt làcác điểm trênSA, AB,BC (Kkhơng là trung điểmBC). Tìm giao điểm của

1. IKvà(SBD).2. SDvà(I JK).3. SC và(I JK).Lời giải.

A

BI

Q

CD

E
F

NS

J

22 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN1. Tìm giao điểm của IKvà mặt phẳng(SBD).

•Chọn mặt phẳng phụ(SAK)⊃ IK.•Tìm giao tuyến của(SAK)và(SBD).

Ta cóSlà điểm chung của(SAK)và(SBD). (1)

Trong mặt phẳng(ABCD), gọiP =AK∩BD, ta có

®

P∈ AK, AK ⊂(SAK)

P∈ BD, BD⊂(SBD) ⇒P (SAK)(SBD). (2)T(1)v(2)suy ra(SAK)(SBD)=SP.

ãTrong(SAK), giQ= IKSP, cú

đ

Q IK

Q SP, SP(SBD) ⇒Q = IK∩(SBD).

2. Tìm giao điểm củaSDvà mặt phẳng(I JK).•Chọn mặt phẳng phụ(SBD)⊃SD.•Tìm giao tuyến của(SBD)và(I JK).

Ta cóQlà điểm chung của(SBD)và(I JK). (3)

Trong mặt phẳng(ABCD), gọiM = JK∩BD⇒ Mlà điểm chung của(I JK)và(SBD).(4)

Từ(3)và(4)suy ra(I JK)∩(SBD)=QM.•Trong mặt phẳng(SBD), gọiN = QM∩SD.Ta có

®

N ∈SD

I ∈ QM, QM ⊂(I JK) ⇒N =SD∩(I JK).

3. Tìm giao điểm củaSCvà mặt phẳng(I JK).•Chọn mặt phẳng phụ(SAC)⊃SC.•Tìm giao tuyến của(SAC)và(I JK).Ta có

®

I ∈ (I JK)

I ∈ SA, SA ⊂(SAC) ⇒ I ∈(I JK)∩(SAC). (5)
GọiE= AC∩ JK(vì AC, JK ⊂(ABCD)). VậyE ∈(I JK)∩(SAC). (6)Từ(5)và(6)suy ra(I JK)∩(SAC)= IE.

• Trong mặt phẳng(SAC), gọiF = IE∩SC. Ta có

®

F ∈SC

F ∈ IE, IE ⊂(I JK) ⇒ F = SC∩(I JK).

Bài 25. Cho tứ diệnSABC. Gọi I, Hlần lượt là trung điểm củaSA, AB. Trên cạnhSClấy điểmKsao choCK=3SK.

1. Tìm giao điểmFcủaBCvới mặt phẳng(I HK). Tính tỉ số FBFC.

2. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng I H. Tìm giao điểm củaKM và mặt phẳng(ABC).

23

A

B

E M C

K

F

D

NS

I

HJ

1. Tìm giao điểmFcủaBCvới mặt phẳng(I HK). Tính tỉ số FBFC.•Ta tìm giao tuyến của(ABC)và(I HK)trước.

GọiE= AC∩KI(AC, KI ⊂(SAC)), ta có

®

E∈ AC, AC ⊂(ABC)

E∈ KI, KI⊂(I HK) ⇒E∈ (ABC)∩(I HK). (1)

®

H ∈ (I HK)

H ∈ AB, AB⊂(ABC) ⇒ H ∈(ABC)∩(I HK). (2)Từ(1)và(2)suy raEH =(ABC)∩(I HK).

ãGiF =EHBC(EH, BC (ABC)), cú

đ

F BC

F EH, EH ⊂(I HK) ⇒ F= BC∩(I HK).GọiDlà trung điểm củaSC, ta có IKlà đường trung bình của4SAD.

Trong4CEKcó CA

AE =CD

DK =2⇒CA =2CK.Trong mặt phẳng(ABC)kẻ AN k EF(N ∈ BC). Ta có

HF k AN ⇒ BHH A =

BF

FN =1⇒ BF=FN.EFk AN ⇒ CA

AE =
CN

NF =2 ⇒CN =2NF.Do đó FB

FC =

FBFN+NC =

FB3FB =

13.

2. Tìm giao điểm củaKMvà mặt phẳng(ABC).

Ta cóKM ⊂(I HK). Gọi J =KM∩EH(EH, KM ⊂(I HK)).Ta có

®

J ∈ KM

J ∈ EH, EH ⊂(ABC) ⇒ J =KM∩(ABC).

24 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

Bài 26. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành tâmO. Gọi M, N, Ilần lượt nằm trên ba cạnh AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(MN I).

Lời giải.

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi J = BD∩MN,K = MN∩AB, H = MN∩BC.Trong mặt phẳng(SBD), gọiQ= I J∩SB.Trong mặt phẳng(SAB), gọiR=KQ∩SA.Trong mặt phẳng(SBC), gọiP=QH∩SC.Vậy, thiết diện của hình chóp S.ABCD vớimặt phẳng(MN I)là ngũ giác MNPQR.

B

A

IQ

DPS

CR

O
M

J

K

HN

Bài 27. Cho hình chópS.ABCD. Gọi M, N, Plần lượt là trung điểm lấy trên AB, ADvàSC. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(MNP).

Lời giải.

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E = MN ∩ DC,F= MN∩BC.

Trong mặt phẳng(SCD), gọiQ=EP∩SD.Trong mặt phẳng(SBC), gọiR=FP∩SB.

Vậy, thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặtphẳng(MNP)là ngũ giác MNQPR.

AF

M

C

DP

QS

BR

N

E

DẠNG 0.5. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui, chứng minhmột điểm thuộc một đường thẳng cố định.

25

Muốn chứng minh ba điểmA,B,Cthẳng hàng, ta chứng minhba điểm đó lần lượt thuộc hai mặt phẳng phân biệt (α) và(β)thì suy ra ba điểm A, B, Cnằm trên giao tuyến của (α) và(β),nên chúng thẳng hàng.

α _β

A
BC

•Phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy:

Ta tìm giao điểm của hai đường thẳng trong ba đường thẳng đã cho, rồi chứng minhgiao điểm đó nằm trên đường thẳng thứ ba. Cụ thể như sau:

Chọn một mặt phẳng(P)chứa hai đường thẳng(a)và(b). GọiI =(a)∩(b).Tìm một mặt phẳng(Q)chứa đường thẳng(a), tìm một mặt

phẳng(R)chứa đường thẳng (b), sao cho(c) =(Q)∩(R) ⇒I ∈(c).

Vậy, ba đường thẳng(a),(b),(c)đồng quy tại điểm I.





(a), (b)⊂(P)(a)∩(b) =I(P)∩(Q) =(a)(P)∩(R)=(b)(Q)∩(R) =(c)

⇒(a)∩(b)∩(c)= I.

a b

c

Q P _R

I

Bài 28. Cho tứ diệnSABC. TrênSA,SBvàSClần lượt lấy các điểmD,E,Fsao choDEcắt ABtạiI,EFcắtBCtạiJ, FDcắtCAtạiK. Chứng minh ba điểmI, J,Kthẳng hàng.Lời giải.

I

D

KE

S

JF

A C

BTa có

•



I =AB∩DE(AB, DE⊂(SAB))I ∈ AB, AB⊂(ABC)

I ∈ DE, DE⊂(DEF)

⇒ I ∈ (ABC)∩(DEF). (1)

•



K = AC∩DF(AC, DF ⊂(SAC))I ∈ AC, AC⊂(ABC)

K ∈ DF, DF⊂(DEF)

⇒K ∈(ABC)∩(DEF). (2)

•



J =BC∩EF(BC, EF ⊂(SBC))J ∈ BC, BC⊂(ABC)

J ∈ EF, EF⊂(DEF)

26 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

Từ(1),(2)và(3)suy ra ba điểmI, J, Kthẳng hàng.

Bài 29. Cho tứ diện ABCD cóG là trọng tâm tam giác BCD, Gọi M, N, P lần lượt làtrung điểm của AB, BC,CD.

1. Tìm giao tuyến của(AND)và(ABP).

2. GọiI =AG∩MP, J =CM∩AN. Chứng minhD, I, Jthẳng hàng.Lời giải.

M

J I

A

D

CB

N G P

1. Tìm giao tuyến của(AND)và(ABP).

A∈ (ABP)∩(ADN). (1)

Ta cóG=BP∩DN, có

®

G ∈ BP, BP⊂(ABP)

G ∈ DN, DN ⊂(ADN) ⇒ G∈ (ABP)∩(ADN). (2)Từ(1)và(2)ta cóAG=(ABP)∩(ADN).

2. Chứng minhD, I, Jthẳng hàng.

I = AG∩MP, AG⊂(ADG), MP⊂(DMN) ⇒ I ∈(ADG)∩(DMN). (3)J =CM∩ AN, AN ⊂(ADG),CM ⊂(DMN)⇒ J ∈ (ADG)∩(DMN). (4)

D∈ (ADG)∩(DMN). (5)

Từ (3), (4), (5) suy ra ba điểm D, I, J thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (ADG) và(DMN).

Vậy ba điểmD, I, Jthẳng hàng.

Bài 30. Cho hình bình hành ABCD.Slà điểm không thuộc (ABCD), MvàN lần lượtlà trung điểm của đoạn thẳng ABvàSC.

27

A

BM

D

CN

S

I

OK

J

1. Xác định giao điểmI =AN∩(SBD).

•Chọn mặt phẳng phụ(SAC)chứa AN. Ta tìm giao tuyến của(SAC)và(SBD).Trong mặt phẳng(ABCD)gọiOlà giao điểm củaAC vàBD. Hai mặt phẳng(SAC)và(SBD)có hai điểm chung làSvàO.

Vậy(SAC)∩(SBD)=SO.

•Trong mặt phẳng(SAC)gọiI = AN∩SO. Ta có I = AN∩(SBD).2. Xác định giao điểm J =MN∩(SBD).

•Chọn mặt phẳng phụ(SMC)chứa MN. Ta tìm giao tuyến của(SMC)và(SBD).Trong mặt phẳng (ABCD) gọiK là giao điểm của MC và BD. Hai mặt phẳng (SMC)và(SBD)có hai điểm chung làSvàK.

Vậy(SMC)∩(SBD)=SK.

•Trong mặt phẳng(SMC)gọiJ = MN∩SK. Ta có J =MN∩(SBD).3. Chứng minh ba điểmI, J, Bthẳng hàng.

•Ta cúBl im chung ca(ABN)v(SBD). (1)

ã

đ

I SO, SO(SBD)

I AN, AN (ABN) I (ABN)(SBD). (2)ã

đ

J SK, SK (SBD)

J ∈ MN, MN ⊂(ABN) ⇒ J ∈(ABN)∩(SBD). (3)Từ(1),(2)và(3)suy ra ba điểmI, J, Bthẳng hàng.

Bài 31. Cho tứ giácABCDvàS 6∈(ABCD). Gọi I, Jlà hai điểm trênADvàSB, ADcắtBCtạiOvàOJ cắtSCtại M.

28 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN1. Tìm giao điểmK= I J∩(SAC).

Chọn mặt phẳng phụ(SIB)chứa I J.Tìm giao tuyến của(SIB)và(SAC).

cóS∈ (SBI)∩(SAC) (1)

Trong mặt phẳng(ABCD)gọiE= AC∩BI, ta có:

®

E∈ AC, AC⊂(SAC)

E∈ BI, BI ⊂(SBI) ⇒E =(SAC)∩(SBI) (2)Từ(1)và(2)suy raSE=(SBI)∩(SAC).

Trong mặt phẳng(SIB), gọiK= I J∩SE.Ta có

®

K ∈ I J

K ∈ SE,SE⊂(SAC) ⇒K =I J∩(SAC)2. Xác định giao điểmL =DJ∩(SAC).

Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa DJ. Tìm giaotuyến của(SBD)với(SAC).

Ta cóS∈ (SBD)∩(SAC) (3)

S

A B

CD

I

J

OM

E

FL

Trong mặt phẳng(ABCD) gọiF = AC ⊂ BD. Suy ra F là điểm chung thứ hai của hai mặt

phẳng(SBD)và(SAC). (4)

Từ(3)và(4)suy raSF =(SBD) ⊂(SAC). Trong mặt phẳng(SBD)gọiL= DJ∩SF.Vậy

®

L ∈ DJ

L ∈ SF, SF⊂(SAC) ⇒ L= DJ∩(SAC)3. Chứng minh A, K, L, Mthẳng hàng.

Ta cóA ∈(SAC)∩(AJO) (3)và

®

K ∈ I J, I J ⊂(AJO)

K ∈SE, SE⊂(SAC) ⇒ K∈ (SAC)∩(AJO). (4)có

®

L∈ DJ, DJ⊂(AJO)

L∈ SF, SF⊂(SAC) ⇒ L∈ (SAC)∩(AJO) (5)có

®

M∈ JO, JO⊂(AJO)

M∈ SC, SC ⊂(SAC) ⇒ M∈ (SAC)∩(AJO) (6)

Từ (3), (4), (5) và (6) suy ra bốn điểm A, K, L, Mcùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng

(SAC)và(AJO). Vậy A, K, L, Mthẳng hàng.

Bài 32. Cho tứ giác ABCDvàS6∈(ABCD). GọiM, Nlà hai điểm trênBCvàSD.Tìm giao điểm J =BN∩(SAC)

1.

Tìm giao điểm J = MN∩(SAC)
2.

Chứng minh rằngC, I, Jthẳng hàng.3.

291. Tìm giao điểm I =BN∩(SAC)

Chọn mặt phẳng phụ(SBD)chứaBN.

Tìm giaio tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và(SAC). Trong mặt phẳng (ABCD) gọi O = AC∩BD.

Hai mặt phẳng(SAC)và(SBD)có hai điểm chunglàSvàO. Vậy giao tuyến của chúng làSO.

Trong mặt phẳng(SBD)gọi I =BN∩SO.Ta có

®

I ∈ BN

I ∈ SO, SO⊂(SAC) ⇒ I =BN∩(SAC).2. Tìm giao điểm J = MN∩(SAC).

Chọn mặt phẳng phụ(SMD)chứa MN. Tìm giaotuyến của(SMD)và(SAC).

Trong mặt phẳng(ABCD), gọiK = AC∩DM. Haimặt phẳng (SAC)và(SMD) có hai điểm chung làSvàK.

Vậy giao tuyến của chúng làSK.

Trong mặt phẳng SMD, gọi J = MN∩SK. Ta có

®

J ∈ MN

J ∈ SK, SK ⊂(SAC) ⇒ J = MN∩(SAC)3. Chứng minhC, I, Jthẳng hàng.

S

A

B

O

CM

DN

I

KJ

Theo cách tìm điểm ở những câu trên, ta có ba điểm C, I, J là điểm chung của hai mặtphẳng(BCN)và(SAC)⇒Ba điểmC, I, J cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng(BCN)

và(SAC). Kết luậnC, I, J thẳng hàng.

Bài 33. Cho hình chópS.ABCD. Gọi M, N, Plần lượt là trung điểm của SA, SB, SC.GọiE= AB∩CD, K = AD∩BC

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(SAC)∩(SBD) , (MNP)∩(SBD).1.

Tìm giao điểmQcủa đường thẳngSDvới mặt phẳng(MNP).2.

GọiH = N M∩PQ. Chứng minh ba điểmS, H, Ethẳng hàng.3.

Chứng minh ba đường thẳngSK, QM, NPđồng quy.4.

30 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN1. Tìm giao tuyến của(SAC)∩(SBD).

Trong mặt phẳng ABCD gọi O = AC∩

BD, có:

®

O ∈ AC, AC ⊂(SAC)

O ∈ BD, BD⊂(SBD) ⇒ O ∈ (SAC)∩(SBD) (1)

S ∈(SAC)∩(SBD) (2)

Từ (1) và(2) suy ra (SAC)∩(SBD) = SO.Tìm giao tuyến của(MNP)∩(SBD).Trong mặt phẳng(SAC)gọiF = MP∩SO,có

®

F ∈ MP, MP⊂(MNP)

F ∈ SO, SO⊂(SBD) ⇒F ∈(MNP)∩(SBD) (3)

có:

®

N ∈(MNP)

N ∈ SB, SB⊂(SBD) ⇒ N ∈(MNP)∩(SBD) (4)

Từ (3) và (4) suy ra(MNP)∩(SBD) =NF.2. Tìm giao điểm Q của đường thẳng SDvới(MNP).

GọiQ= NF∩SD(vì NF, SD⊂(SBD)).Ta có

®

Q ∈ SD

Q ∈ NF, NF ⊂(MNP) ⇒ Q =SD∩(MNP).

A

BM

N

CD

EP

KO

S

HF

GQ

3. GọiH = N M∩PQ. Chứng minh ba điểmS, H, Ethẳng hàng.Ta có





H = MN∩PQ, MN ⊂(SAB) , PQ⊂(SCD)⇒ H ∈(SAB)∩(SCD) (∗)E = AB∩CD, AB⊂(SAB) , CD ⊂(SCD)⇒E∈ (SAB)∩(SCD) (∗∗)S ∈(SAB)∩(SCD) (∗ ∗ ∗)

Từ (*), (**), (***) suy ra ba điểmS, H, Ethuộc giao tuyến của hai mặt phẳng(SAB)và(SCD)nên ba điểmS, H, Ethẳng hàng.

4. Chứng min ba đường thẳngSK, QM, NPđồng quy.GọiG= MQ∩NP(vì MQ, NP ⊂(MNP)) (5)

có

®

G ∈ MQ, MQ⊂(SAD)

G ∈ NP, NP ⊂(SBC) ⇒ G∈ (SAD)∩(SBC) (6)Ngoài ra(SAD)∩(SBC)=SK ⇒G ∈ SK. (7)

Từ (5),(6),(7) suy ra ba đường thẳngSK, QM, NPđồng quy.

Bài 34. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành. GọiMlà trung điểmcủa cạnhSD, I là điểm trên cạnhSAsao cho AI =2IS. GọiKlà giao điểm củaI Mvớimặt phẳng ABCD. Tính tỷ số KD

KA. Gọi N là trung điểm của BC. Tìm thiết diện củahình chópS.ABCDcắt bởi mặt phẳng(AMN).

31

S

A

B C

E

M

K
D

P

N

S

I

F

A

D K

M

Trong mặt phẳng(SAD)gọiK= I M∩AD.Vì

®

K ∈ I M

K ∈ AD, AD⊂(ABCD) ⇒K = I M∩(ABCD).

Dựng DF k KI(F ∈ SA). Trong ∆SDF có I M là đường trung bình của tam giác ⇒ SI =

IF= FA.

Từ đó suy raFDlà đường trung bình của tam giác∆AIK⇒ Dlà trung điểm của AK.Kết luận KD

KA =12.

Trong mặt phẳng(ABCD), gọiE =AN∩CD.

Trong mặt phẳng(SCD), gọiP = EM∩SC. Từ đó suy ra thiết diện của hình chóp S.ABCD

bị cắt bởi mặt phẳng(AMN)là tứ giácAMPN.

Bài 35. Cho tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là những điểm nằm trên hai đoạnthẳng BC vàBD, M là một điểm nằm trên AC. Giả sử không tồn tại song song tronghình vẽ của bài tốn

Tìm giao điểm của đường thẳng ABvà mặt phẳng(MPQ). Suy ra giao điểm Ncủa đường thẳng ADvà mặt phẳng(MPQ).

1.

PQcắtCDtại điểm I. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(MPQ)với mặt phẳng(ACD). Nhận xét gì về vị trí củaM, N, I?

2.

DPvàCQcắt nhau tạiE, MQvàNPcắt nhau tạiF. Chứng tỏ rằngA, E, Fthẳnghàng.

3.

32 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIANa. Trong mặt phẳng(ABC), gọiH = AB∩MP.

Có

®

H∈ AB

H∈ PM, PM ⊂(MPQ) ⇒ H = AB ∩(MPQ).

Ta có H và Q là hai điểm chung của hai mặtphẳng (MPQ) và (ABD) nên giao tuyến củachúng là đường thẳng HQ. HQ cắt AD tại N,thìNlà giao điểm của ADvà(MPQ).

b. MvàIlà hai điểm chung của hai mặt phẳng(MPQ)và(ACD). Vậy giao tuyến của(ACD)và(MPQ)là đường thẳngMI.

Vì N ∈ (MPQ)∩(ACD) ⇒ N ∈ MI. Vậy bađiểmM, N, Ithẳng hàng.

c. Vì ba điểm A, E, Flà ba điểm chung của haimặt phẳng (ADP) và(ACQ) nên chúng thuộcgiao tuyến của hai mặt(ADP)và(ACQ).Kết luận ba điểm A, E, Fthẳng hàng.

A

M I

H

CNF

QN

B

P

C

BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG I

Bài 36. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCDlà hình bình hành. Gọi Mlà điểm bấtkỳ thuộcSB, N thuộc miền trong tam giácS∆SCD.

Tìm giao điểm của MNvà mặt phẳng(ABCD)1.

TìmSC∩(AMN)vàSD∩(AMN)2.

TìmSA∩(CMN)3.

Lời giải.

a. Tìm giao điểm củaMNvà(ABCD).

Gọi I = SN ∩ CD (vì SN, CD ⊂

(SCD)). Chọn mặt phẳng (SBI) chứaMN. Ta có B và I là hai điểm chungcủa hai mặt phẳng (SBI)và(ABCD).Vậy(SBI)∩(ABCD)=BI.

Gọi H = MN ∩ BI (vì MN, BI ⊂

(SBI)) Ta có

®

H∈ MN

H∈ BI, BI ⊂(ABCD)⇒ H = MN∩(ABCD)

b. TìmSC∩(MAN).

Đầu tiên ta tìm giao tuyến của mặtphẳng(SAC)và(SBI). GọiO =AC∩BI(vì AC, BI ⊂(ABCD)).

Ta cóSvàOlà hai điểm chung của haimặt phẳng(SAC)và(SBI).

VậySO =(SAC)∩(SBI).

Gọi E = SO∩ MN (vì SO, MN ⊂

(SBI)). Chọn mặt phẳng (SAC) chứaSC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(SAC)và(AMN)

S

A

BM

E KNP

CI

D H

Q

33

1. MvàIlà hai điểm chung của hai mặt phẳng(MPQ)và(ACD).Vậy giao tuyến của(ACD)và(MPQ)là đường thẳngMI.

VìN ∈(MQP)∩(ACD)⇒ N∈ MI. Vậy ba điểm M,N,Ithẳng hàng.

2. Vì ba điểm A, E, Flà ba điểm chung của hai mặt phẳng(ADP)và(ACQ). Nên chúngthuộc giao tuyến của(ADP)và(ACQ).

Kết luận ba điểm A, E,Fthẳng hàng.

BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG I

Bài 37. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm bất kỳthuộcSB, Nthuộc miền trong tam giácSCD.

1. Tìm giao điểm của MNvà mặt phẳng(ABCD).2. TìmSC∩(AMN),SD∩(AMN).

3. TìmSA∩(CMN).

Lời giải.

1. Tìm giao điểm của MNvà mặt phẳng(ABCD).

34 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIANTa có B và I là

hai điểm chung

của hai mặt

phẳng (SBI)

và (ABCD).

Vậy (SBI) ∩

(ABCD) = BI.

Gọi H =

MN ∩ BI (vìMN,BI ⊂(SBI)). Ta có

®

H ∈ MN

H ∈ BI,BI ⊂(ABCD)

⇒ H =

MN∩(ABCD).

2. Tìm SC ∩

(AMN),SD∩(AMN).

Đầu tiên ta

tìm giao tuyếncủa mặt phẳng(SAC) và (SBI).GọiO= AC∩BI

(vì AC,BI ⊂

(ABCD)). Ta có

S và O là hai

điểm chung củahai mặt phẳng(SAC)và(SBI).

Vậy (SBI) ∩

(SAC)=SO.

Gọi E =

SO ∩ MN (vìSO,MN ⊂(SBI)).

A

B

MQ

E

D H

K

N

CIO

S

P

Chọn mặt phẳng(SAC)chứaSC. Tìm giao tuyến của(SAC)và(AMN). A ∈ (SAC)∩

(AMN). (1)

Và

®

E∈ SO,SO⊂(SAC)

E∈ MN,MN ⊂(AMN) ⇒E ∈(SAC)∩(AMN). (2)Từ(1)và(2)suy ra(SAC)∩(AMN)= AE.

Gọi K = SC∩ AE (vì AE,SC ⊂ (SAC)), có

®

K ∈ SC

K ∈ AE,AE⊂(AMN) ⇒ K = SC∩(AMN).

Tìm giao điểm củaSDvà mặt phẳng(AMN): Ta có KvàN là hai điểm chung của haimặt phẳng(AMN)và(SCD). Vậy(AMN)∩(SCD)=KN. GọiP =KN∩SD. Suy raPcũng là giao điểm củaSDvà mặt phẳng(AMN).

3. TìmSA∩(CMN).

Chọn mặt phẳng(SAC)chứaSA. Tìm(SAC)∩(CMN). Ta cóC ∈ (SAC)∩(CMN). (3)Theo câu2,E =SO∩MN (vìSO,MN ⊂(SBI)), có

®

E ∈ SO,SO ⊂(SAC)

35

(SAC)∩(CMN). (4)

Từ(3)và(4)suy ra(SAC)∩(CMN)=CE. GọiQ=SA∩CE(vìSA,CE∩(SAC)).Ta có

®

Q ∈SA

Q ∈CE,CE⊂(CMN) ⇒ Q=SA∩(CMN).

Bài 38. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang vớiABsong song vớiCD.O là giao điểm của hai đường chéo, MthuộcSB.

1. Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng:(SAC)và(SBD);(SAD)và(SBC).2. Tìm giao điểmSO∩(MCD);SA∩(MCD).

Lời giải.

1. Xác định giao tuyến của (SAC) và(SBD).

Ta có S là điểm chung thứ nhất và Olà điểm chung thứ hai của hai mặtphẳng(SAC)và(SBD).

Vậy(SAC)∩(SBD)=SO.

Xác định giao tuyến của (SAD) và(SBC).

Ta cóS ∈(SAD)∩(SBC). (1)

Trong mặt phẳng (ABCD)

gọi H = AD ∩ BC, có

®

H ∈ AD,AD⊂(SAD)

H ∈ BC,BC ⊂(SBC) ⇒ H ∈(SAD)∩(SBC). (2)Từ (1) và(2) suy ra (SAD)∩(SBC) =

SH.

2. Tìm giao điểm SO ∩ (MCD); SA ∩(MCD).

Gọi I = SO ∩ DM (vì SO,DM ⊂

(SBD)).Ta có

®

I ∈ SO

I ∈ DM,DM⊂(MCD) ⇒ I =SO∩(MCD).

GọiJ =SA∩CI (vìSA,CI ⊂(SAC)).Ta có

®

J ∈ SA

J ∈ CI,CI ⊂(MCD) ⇒ J =SA∩(MCD).

A

HD

S

J

B

C
M

I

O

Bài 39. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO. Gọi M, Nlầnlượt là trung điểm của AB,SC.

1. TìmI = AN∩(SBD).2. TìmK = MN∩(SBD).3. Tính tỉ số KM

36 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

4. Chứng minhB,I,Kthẳng hàng. Tính tỉ số IBIK.Lời giải.

1. TìmI = AN∩(SBD).

Trước hết ta tìm giao tuyến củamp(SAC) và mp(SBD). Ta có S ∈(SAC)∩(SBD). (1)Có

®

O ∈ AC,AC ⊂(SAC)

O ∈ BD,BD⊂(SBD) ⇒ O ∈(SAC)∩(SBD). (2)Từ (1) và (2) suy ra SO = (SAC)∩(SBD).

Gọi I = SO ∩ AN (vì SO,AN ⊂

(SAC)). Suy ra I = AN∩(SBD).2. TìmK = MN∩(SBD).

Chọn mp(ABN) chứa MN. Tìm giaotuyến của mp(ABN)và mp(SBD).Có

®

I ∈ SO,SO⊂(SBD)

I ∈ AN,AN ⊂(ABN) ⇒ I ∈(ABN)∩(SBD). (3)

CóB∈ (ABN)∩(SBD). (4)

Từ (3) và (4) suy ra BI = (ABN)∩(SBD); K = BI ∩ MN. Khi đó K =

MN∩(SBD).

A

BM

S

OIK

N

CD

3. Tính tỉ số KMKN.

Gọi Q là trung điểm của AI. Ta có AQ =

QI = I N(vìIlà trọng tâm tam giácSAC). CóMQ là đường trung bình của tam giác ABI.Suy ra MQ k BI. Ta có IK là đường trungbình tam giác MNQ. Vậy K là trung điểmMN. Suy ra KM

KN =1.

A

M K

B

Q _{I N}

4. Chứng minhB,I,Kthẳng hàng. Tính tỉ số IBIK.

Theo cách tìm giao tuyến của câu 2 thì ba điểmB,K, I thẳng hàng.Trong tam giácABI, cóQM = 1

2BI ⇒ IB =4IK ⇔IBIK =4.

Bài 40. Cho hình chóp S.ABC. GọiK, N lần lượt là trung điểm của SA, BC. Điểm MthuộcSC,SM = 2

3MC.

1. Tìm thiết diện của hình chóp với mp(KMN).2. Mặt phẳng(KMN)cắtABtại L. Tính tỉ số LA

37

Lời giải.

1. Tìm thiết diện của hình chóp với mp(KMN).

Trong mặt phẳng(SAC), gọiI là giao điểm củaKMvàAC. Trong mặt phẳng(ABC), Llà giao điểm củaI Nvà AB. Kết luận thiết diện cần tìm là tứ giácMNLK.

2. Mặt phẳng(KMN)cắt ABtạiL. Tính tỉ số LALB.

K

ALI

S

M

E

CN

B

Trong mặt phẳng(SAC), kẻ AEk KMvới EthuộcSC. Ta có KMlà đường trung bìnhcủa tam giácSAEnên Mlà trung điểmSE. ĐoạnSCđược chia làm5phần, MCchiếm3phần suy raCEchiếm1phần.

Trong tam giácCI M có CEEM =

CAAI =

1

2 ⇒CA =12AI.

Trong tam giác ABC, kẻDN k AB(∈ AC). Vậy DN là đường trung bình của ∆ABCnênDN = 1

2AB. (1)

Trong tam giácIDNcó I AID =

ALDN =

4

5 ⇒DN =4

5AL. (2)

Từ (1) và (2) ta có 1

2AB =4

5AL ⇔ 2AB = 5AL ⇔ 2(LA+LB) = 5LA ⇔ 2LB =3LA⇒ LA

LB =23.

Bài 41. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Lấy K thuộccạnhBDsao choBK =2KD.

1. TìmE=CD∩(I JK). Chứng minhDE =DC.

2. Tìm giao điểmF = AD∩(I JK). Chứng minhFA =2FD.

3. Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (I JK). Xác định hình tính củathiết diện.

38 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

1. TìmE = CD∩(I JK). Chứng minhDE=DC.

Gọi E = CD∩ JK (vì CD,JK ⊂
(BCD)),

có

®

E ∈ CD

E ∈ JK,JK ⊂(I JK) ⇒ E =CD∩(I JK).

A

B

CI

J

EF

K D

Chứng minhDE =DC.

Trong∆BCE, kẻ DPk EJ. Trong tam giácBDP, có JKkPDnên

BJJP =

BK

KD =2 ⇒ BJ = 2JP ⇒ CI = 2JP. Từ đó suy raDPlà đường trung bình của tam giácCEJ. Suy raD làtrung điểmCE. Vậy DE=DC.

IP

C

D

B E

K

2. Tìm giao điểmF = AD∩(I JK). Chứng minh FA =2FD.

Vì IE,AD ⊂ (ACD). Gọi F = IE∩AD. Mà IE ⊂ (I JK) ⇒ F = AD∩(I JK). Xét trongtam giácACEcóFlà giao điểm của hai đường trung tuyếnADvàEI. Suy raFlà trọngtâm của∆ACE. Vậy FA =2FD.

3. Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (I JK). Xác định hình tính của thiếtdiện.

Ta có

®

(I JK)∩(ABC)= I J; (I JK)∩(BCD) = JK

(I JK)∩(ABD) =KF; (I JK)∩(ACD)= FI. Thiết diện cần tìm là tứ giácI JKF.Trong tam giácABD, có DK

DB =DFDC =

1

3 ⇒ KFk AB. (1)

Trong tam giácABC, cóI J là đường trung bình nên I J k AB. (2)

Từ(1)và(2)suy ra tứ giácI JKF là hình thang.

Bài 42. Cho tứ diện S.ABC. Trên SB,SC lần lượt lấy hai điểm I, J sao cho I J khôngsong song vớiBC. Trong tam giác ABClấy một điểmK.

1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng(ABC)và(I JK).2. Xác định giao điểm của AB, ACvới(I JK).

3. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(SAB)và(I JK).4. Tìm giao điểm của BC, I J với mặt phẳng(SAK).

39

1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng(ABC)và(I JK).

GọiD= I J∩BC(vì I J,BC ⊂(SBC)),có

®

D∈ I J,I J ⊂(I JK)

D∈ BC,BC ⊂(ABC) ⇒ D ∈ (I JK)∩

(ABC). (1)

CóK ∈(I JK)∩(ABC). (2)

Từ(1)và(2)suy ra(I JK)∩(ABC)= DK.2. Xác định giao điểm của AB,AC và(I JK).

Gọi E,F lần lượt là giao điểm của AB,ACvới DK (vì AB,AC,DK cùng thuộc mặtphẳng (ABC)). Ngoài ra DK nằm trong mặtphẳng (I JK). Vậy AB∩mp(I JK) = E; AC∩mp(I JK) =F.

S

B

FK

AE

I

GC

DL

J

3. Tìm giao tuyến của(SAB)và(I JK).

Ta cóI vàElà hai điểm chung của hai mặt phẳng(SAB)và(I JK)nên(SAB)∩(I JK)=

IE.

4. Tìm giao điểm củaBC,I J với(SAK).

GọiG = AK∩BC (vì AK,BC ⊂ (ABC)). Ta có

®

G ∈ BC

G ∈ AK,AK ⊂(SAK) ⇒ G = BC∩(SAK).

GọiL=SG∩I J (vìSG,I J ⊂(SBC)). Ta có

®

L ∈ I J

L ∈ SG,SG⊂(SAK) ⇒L =I J∩(SAK).

5. Xác định thiết diện của mp(I JK)với tứ diệnS.ABC.Theo cách dựng điểm ở các câu trên ta có

®

(I JK)∩(ABC)= EF; (I JK)∩(SAC)= FJ(I JK)∩(SAB)= IE; (I JK)∩(SBC) = J I.Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác I JFE.

Bài 43. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn là AB. TrênSA,SB lần lượt lấy 2 điểm M,N sao cho MN không song song với AB. Gọi O =

AC∩DB.

1. Tìm giao điểm của đường thẳng ABvới mp(MNO).

2. Tìm giao tuyến của mp(MNO)với các mặt(SBC)và(SAD).3. Xác định thiết diện của(M)với hình chópS.ABCD.

4. GọiKlà giao điểm của hai giao tuyến ở câu thứ2vàE= AD∩BC. Chứng minh3điểmS,K,Ethẳng hàng.

40 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

1. Tìm giao điểm của đường thẳng ABvới mp(MNO).

Gọi H = AB∩ MN (vì AB,MN ⊂

(SAB)).Ta có

®

H∈ AB

H∈ MN,MN ⊂(MNO) ⇒H = AB∩(MNO).

2. Tìm giao tuyến của mpMNOvới cácmặt phẳng(SBC)và(SAD).

Gọi F = BC ∩ HO (BC,HO ⊂

(ABCD)),
ta có :

®

F∈ BC,BC ⊂(SBC)F∈ HO,HO ⊂(MNO)⇒ F∈ (MNO)∩(SBC). (1)N ∈(MNO)∩(SBC). (2)

Từ(1)và(2)suy ra(MNO)∩(SBC)=

FN.

Trong mp(ABCD), gọi G = AD∩HO,

ta có

®

G∈ AD,AD⊂(SAD)G∈ HO,HO⊂(MNO) ⇒G ∈ (MNO)∩(SAD). (3)

M∈ (MNO)∩(SAD). (4)

Từ(3)và(4)suy ra(MNO)∩(SAD)=

MG.

A

K

CE

HN

SM

O

BFGD

3. Xác định thiết diện của(MNO)với hình chópS.ABCD.Theo cách dựng điểm ở trên, ta có

®

(MNO)∩(ABCD)=GF; (MNO)∩(SBC) =FN(MON)∩(SAB)= N M; (MNO)∩(SAD)= MG.Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNFG.

4. Chứng minh3điểmS,K,Ethẳng hàng.

Ta cóE= AD∩BC, AD ⊂(SAD),BC ⊂(SBC)nên E∈ (SAD)∩(SBC). (∗)K =GM∩FN,GM ⊂(SAD),FN ⊂(SBC)nênK ∈(SAD)∩(SBC). (∗∗)S ⊂(SAD)∩(SBC). (∗ ∗ ∗)

Từ(∗)(∗∗)(∗ ∗ ∗)suy ra ba điểm E,K,Sthuộc giao tuyến của hai mặt phẳng(SAD)và(SBC)nên ba điểmE,K,Sthẳng hàng.

Bài 44. Cho tứ diện ABCD . Gọi M là trung điểm AB, K là trọng tâm của tam giácACD.

1. Xác định giao tuyến của(AKM)và(BCD).

2. Tìm giao điểmHcủaMKvà mp(BCD). Chứng minhKlà trọng tâm của tam giácABH.

3. TrênBClấy điểmN. Tìm giao điểmP,QcủaCD, ADvới mp(MNK).4. Chứng minh 3 đường thẳngMQ,NP,BDđồng quy.

41

1. Xác định giao tuyến của(AKM)và(BCD).

Gọi G = AK ∩ CD (vì

AK,CD⊂(ACD)).

Ta có

®

G∈ AK,AK ⊂(AKM)G∈ CD,CD ⊂(BCD)

⇒ G ∈ (AKM) ∩

(BCD). (1)

B∈ (ABG)∩(BCD). (2)

Từ (1) và (2) suy ra

(ABG)∩(BCD)=BG.

2. Tìm giao điểmHcủaMKvàmp(BCD).

Trong mp(ABG), gọi H =

MK∩BG,có

®

H ∈ MK

H ∈ BG,BG⊂(BCD)⇒ H = MK∩(BCD).

A

F

EB

M

N

C PG

DK

Q

H

Chứng minhKlà trọng tâm của tam giác ABH.VìK là trọng tâm của tam giác ACD nên K chiađoạn AGthành ba phần bằng nhau.

GọiLlà điểm đối xứng củaKquaGthìKlà trungđiểm củaAL.

Trong 4ABL, MK là đường trung bình của tam
giác.

Ta có4BGL=4HGK(g.c.g)⇒ BG=HG.VậyKlà trọng tâm của tam giác ABH.

3. Tìm giao điểmP,QcủaCD,ADvớimp(MNK).Trong mp(ABC) gọi E = MN ∩ AC. Trongmp(ACD) đường thẳng EK cắt CD và AD lầnlượt tại P,Q, thì P và Q chính là giao điểm củaCDvàADvới mp(MNK).

A

B

M _K

HL

G

4. Chứng minhMQ,NP,BDđồng quy.Trong mp(MNK)gọiF =MQ∩NP, vì

®

F ∈ MQ⊂(ABD)

F ∈ NP ⊂(BCD) ⇒ F∈ (ABD)∩(BCD).
Tù đó suy raFthuộc giao tuyến củaBDvà hai mặt phẳng(ABD)và(BCD).

Vậy ba đường thẳng MQ,NP,BDđồng quy tại điểmF.

Bài 45. Cho hình chópS.ABCD có đáyABCD và hình bình hành. GọiG là trọng tâmcủa tam giácSAD, Mlà trung điểm củaSB.

1. Tìm giao điểm NcủaMGvà mặt phẳng(ABCD).

42 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1. Trong mặt phẳng chứa MG, gọi Nlà giao điểm của MG và BE. Vì BEthuộc mặt phẳng (ABCD), nên Nthuộc (ABCD). Vậy N là giao điểmcủaMGvà mặt phẳng(ABCD).2. Trong mặt phẳng (SBN), kẻ EF k

MN(FthuộcSB).

Trong tam giácSEFcóMGk EFnênSM

MF =SG

GE =2⇒SM =2MF ⇔BM =2MF.Vậy Flà trung điểm của BM.

S

AMF

B C

E D

NG

Trong 4BMN cóEF k MN nên BF

FM =BE

EN =1 ⇒ BE = EN. VậyElà trung điểm củaBN.

Dễ dàng chứng minh 4AEB =4DEN(c.g.c)⇒ ABE‘ =END.’

Hai góc này bằng nhau theo trường hợp so le trong nênABk DN, mà ABk CDnênC,D,Nthẳng hàng.

EDlà đường trung bình của tam giácNBCsuy raDlà trung điểm củaCN.

Bài 46. Cho hình chópS.ABCD, đáy ABCDlà hình bình hành tâmO. Gọi Mlà trungđiểm củaSC.

1. Xác định giao tuyến của(ABM)và(SCD).

2. Gọi N là trung điểm củaBO. Xác định giao điểm I của(AMN)với SD. Chứngminh SI

ID =2

3. Tìm thiết diện của hình chópS.ABCDcắt bởi mặt phẳng(AMN).

43

1. Xác định giao tuyến của(ABM)và(SCD).

Ta có





M∈ (ABM)∩(SCD)ABk CD

AB⊂(ABM),CD⊂(SCD)⇒ (ABM) ∩ (SCD) = MH(MH k ABkCD.)

2. Xác định giao điểm I của(AMN)vàSD.

Ta có (SAC) ∩ (SBD) = SO.

Gọi K = AM ∩ SO

(AM,SO ⊂(SAC)).

Tìm giao tuyến (AMN) và(SBD).

Ta có

®

N ∈(AMN)

N ∈ BD,BD⊂(SBD) ⇒N ∈(AMN)∩(SBD). (1)

®

K∈ AM,AM ⊂(AMN)

K∈ BD,BD⊂(SBD) ⇒K ∈ (AMN)∩(SBD). (2)

Từ (1) và (2) suy ra

(AMN) ∩ (SBD) = NK. NKcắt SD tại điểm I, thì I chính làgiao điểm của(AMN)vàSD.

S

A

B L C

O

DM

IH

K

Trong mặt phẳng (SBD), từ O dựng OP k N I(P ∈SD).

Trong4DN I, cóOP k DI nên có DOON =

DPPI =

21 =2⇒ DP=2PI. (3)

Trong 4SOP có KI k OP nên có SKKO =

SIPI =

21 =2 ⇒ SI = 2PI. (4)(K) là trọng tâm của 4SAC. Từ(3)và(4)suy ra IS

ID =23.

Thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng(AMN).

GọiLlà giao điểm của ANvàBC. Kết luận thiết diệnlà tứ giácALMI.

S

B N O D

IPK

Bài 47. Cho tứ diệnABCD. TrênADlấy điểmNsao cho AN =2ND, Mlà trung điểmcủa AC, trênBC lấy điểmQsao choBQ= 1

4BC.

1. Tìm giao điểm IcủaMN với(BCD). Tính tỷ số ICID.2. Tìm giao điểm JcủaBDvới(MNQ). Tính tỷ số JB

JD,JQ

44 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

1. Tìm giao điểm I của MN với(BCD).

Gọi I = MN ∩ CD (MN,CD ⊂

(ACD)).Vì

®

I ∈ MN

I ∈ CD,CD⊂(BCD) ⇒ I =MN∩(BCD).

A

C

J D

QB

I

M N

Tính tỷ số ICID.

Từ Dkẻ DGk I M(G∈ AC).

Trong4AGDcó AM

MG =AN

ND =2 ⇒ AM=2MG.Do G là trung điểm của CM suy ra DG là đườngtrung bình của tam giácCMI, suy raDlà trung điểmcủaCI. Vậy IC

ID =2.

A

C D I

M

G N

2. Tìm giao điểm J của BDvà(MNQ). Tính tỷ số JBJD,JQ

J I .

GọiJ = QI∩BD(QI,BD⊂(BCD)).Vì

®

J ∈ BD

J ∈ QI,QI ⊂(MNQ) ⇒ J =BD∩(MNQ).
Gọi E là trung điểm của BC, từ E kẻ đường thẳngsong song với QI cắt BD, IC lần lượt tại F vàH. Ta có QJ là đường trung bình của tam giácBEF ⇒BJ = JF. (1)

Trong 4CQI có CE

EQ =CH

H I = 2 ⇒ CH =2H I ⇒ CD+DH = 2H I ⇒ DI +DH = 2H I ⇒DH+H I+DH =2H I ⇒ H I =2DH.

Trong4DI Jcó DFFJ =

DHH I =

1

2 ⇒DF =1

2FJ. (2)Từ(1)và(2)suy ra JB

JD =23.

I

B Q E C

J

FH

D

Ta cóEF =2QJ, FH = 1

3I J vàEH =2

3IQ ⇒EF+FH =2

3(I J+JQ) ⇒2JQ+13I J =2

3(I J+JQ)⇒ I J =4JQ. VậyJQ

I J =
14.

45

1. Tìm giao điểm IcủaSDvà mặt phẳng(AME). Chứng minhEI kSB.2. Tìm giao điểm HcủaSDvà mặt phẳng(MNE).

3. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng(MNE).Lời giải.

Ta cóSO=(SAC)∩(SBD). GọiJ = AM∩SO(AM,SO ⊂(SAC))1. Tìm giao điểm I của SD và mặt

phẳng(AME).

Chọn mặt phẳng(SBD)chứaSD.Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(AME)và(SBD).

Có E là điểm chung thứ nhất, J làgiao điểm của AMvàSO. MàAM,SO lần lượt thuộc hai mặt phẳng(AME)và(SBD).

Vậy giao tuyến của chúng làEJ.Kéo dàiEJ cắtSDtại một điểm thìđó là điểm Icần tìm.

Chứng minhEI k SB.

VìJlà giao điểm củaAM,SOlà haiđường trung tuyến của tam giácSAC. Nên J là trọng tâm của tamgiácSAC.

Ta có OJOS =

OEOB =

13

⇒ EJ k SB(theo định lý đảo Talet),hayEI k SB.

2. Tìm giao điểm H của SD và mặtphẳng(MNE).

Chọn mặt phẳng(SBD)chứaSD.Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(N ME)và(SBD).

S

O

B L C

EAK

N

DM

FI

JH

GọiF= MN∩SO(MN,SO ⊂(SAC)).Ta có

®

F ∈ MN,MN ⊂(MNE)

F ∈ SO,SO⊂(SBD) ⇒ F∈ (MNE)∩(SBD) (1)

Ngoài raE∈ (MNE)∩(SBD) (2)

Từ (1) và (2) thìEF =(MNE)∩(SBD).

GọiH =EF∩SD(EF,SD ⊂(SBD))⇒ H=SD∩(MNE).3. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng(MNE).

Đầu tiên tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(MNE)và(ABCD).

Ta có: Elà điểm chung thứ nhất, cóMN k AC, mà hai đường thẳng MN, AClần lượtthuộc hai mặt phẳng(MNE)và(ABCD).

Vậy giao tuyến của chúng quaEvà song song vớiACcắt AB,BClần lượt tạiKvàL.Kết luận thiết diện cần tìm là đa giácKLMHN.

46 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

1. Tìm giao điểmKcủa đường thẳng MNvới mặt phẳng(SBD). Tính tỉ số KMKN.2. Gọi E là trung điểm của SA. Tìm giao điểm F của SD và mặt phẳng (EMN).

Chứng minh tứ giác MEFNlà hình thang.

3. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(EMN).Lời giải.

1. • Tìm giao điểm K của đường thẳng MNvới mặt phẳng(SBD).

Chọn mặt phẳng (SMC) chứa MN. Tìmgiao tuyến của(SMC)và(SBD).

Ta cóS ∈(SMC)∩(SBD) (1)

GọiI = MC∩BD(MC,BD⊂(ABCD)), tacó:

®

I ∈ MC,MC ⊂(SMC)

I ∈ BD,BD⊂(SBD) ⇒ I ∈ (SMC)∩

(SBD) (2)

Gọi K = MN ∩SI (MN,SI ⊂(SMC)) ⇒K = MN∩(SBD).

•Tính tỉ số KMKN.

Trong tam giác SMC kẻ NG k SI (G ∈CM).

Trong4CIScó NG k SI ⇒ CNNS =

CGGI =1⇒CG= GI.

S

PJ

F

G

A D

OIB

ME

K

CN

L

VìI là trọng tâm của tam giácABCnên suy raMI =IG =GC.

Trong4MNGcó: IKk NG⇒ MK

KN =
MI

IG =1⇒ MK =KN.

Vậy KM

KN =1.

2. •Tìm giao điểmFcủaSDvà mặt phẳng(EMN).

Chọn mặt phẳng(SBD)chứaSD, tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(SBD)và(MNE).GọiO= AC∩BD ⇒(SAC)∩(SBD)=SO.

GọiJ = EN∩SO(EN,SO⊂(SAC)). Ta có

®

J ∈ EN,EN ⊂(MNE)

J ∈ SO,SO⊂(SBD) ⇒ J ∈ (MNE)∩(SBD) (1)

Theo câu 1) thìKlà điểm chung thứ 2. (2)

Từ (1) và (2) thì(MNE)∩(SBD)=K J.GọiF=K J∩SD⇒K =SD∩(MNE).•Chứng minh tứ giác MEFNlà hình thang.Ta cóENlà đường trung bình của tam giácSAC.Dễ dàng chứng minh Jlà trung điểm của EN.

Trong tam giácMNE,K Jlà đường trung bình của tam giác nên:
K J = 1

2EM,K J k EM.

GọiLlà trung điểm củaSDcóOL = 1

47

Trong4SOLcó JFlà đường trung bình nên JF = 1

2OL.

MàOL= 1

2SB⇒ JF =1

4SB. (5)

VàK J = 1

2MEmà ME=1

2SB ⇒K J=1

4SB. (6)

Từ (5) và (6) suy ra:KF= 1

2SB⇒KF =EM.Vậy tứ giácEMKFlà hình bình hành.

Tứ giác MNFElà hình thang vì cóEFk MN.

3. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(EMN).Ta có:

®

M∈ (MNE)∩(ABCD)

EN k AC ⇒(MNE)∩(ABCD)= MP(MPk AC k EN, P∈ BD).Thiết diện cần tìm là ngũ giácMPNFE.

Bài 50. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành,Mlà điểm trên cạnhADsao cho AM=2MD,Klà trung điểm cạnhSB.

1. Tìm giao điểmFcủaDKvới mặt phẳng(SMC). Tính tỉ số DFDK.2. GọiElà điểm trênSC sao cho SE

SC =1

3, gọi Hlà giao điểm củaKEvà mặt phẳng(SAD). Tính tỉ số HE

HK.

3. GọiIlà điểm trên cạnhSD(DI >SI),Plà giao điểm củaAKvà(SDC),Qlà giaođiểm củaCI và(SAB). Chứng minhP,Q,Sthẳng hàng.

Lời giải.

S H

Q

P

x

y

GE

J

B C

F

OA

KN

DI

48 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

1. Tìm giao điểmFcủaDKvới mặt phẳng(SMC). Tính tỉ số DFDK.

Gọi J là trung điểm của AM, W là trung điểm củaOD ⇒ MW là đường trung bìnhcủa4DJO.

Trong mặt phẳng(SBD)dựng đường thẳngd k SW vàdđi quaO. Đường thẳngdcắtDKvàSBlần lượt tạiGvàN.WFlà đường trung bình của4DGO ⇒Flà trung điểmcủaDG.

Trong4BSW có:ON kWS:BNBS =BOBW =23 ⇔

BK+KN2KS =

2
3 ⇔

BK2KS +

KN2KS =

23 ⇔

12 +

KN2KS =

23 ⇒KNKS =13.Trong4KSFcóGN k FSnên: KN

KS =KGKF =

1

3 ⇒KF=3KG ⇒GF =2KG.Kết luận: DF

DK =2KG5KG =

25.2. Tính tỉ số HE

HK.Có:

S∈ (SBC)∩(SAD)BC k AD

BC ⊂(SBC),AD⊂(SAD)

⇒(SBC)∩(SAD) =Sx Sxk BC k AD.Gọi H = KE∩ Sx (KE,Sx⊂(SBC)) ⇒ H = KE∩

(SAD).

Vẽ lại mặt phẳng (SBC) như hình bên. Gọi L là trungđiểm của EC, KE đường trung bình của tam giác SBLnênKE= 1

2BL (1)

Ta có:S“₁ =Cc₁(so le trong);c

E1 =cE₂(đối đỉnh),c

E2 =cL₁(đồng vị)⇒cE₁ =cL₁.

Từ đó suy ra:4SEH =4CLB(g.c.g)⇒BL= HE. (2)Từ (1) và (2) ta có HE

HK =23.11121S HLB CZK E

3. Chứng minhP,Q,Sthẳng hàng.Ta có:

S ∈(SAB)∩(SCD)BA k CD

AB⊂(SAB),CD⊂(SCD)

⇒(SAB)∩(SCD)=Sy Syk ABk CD.GọiP= AK∩Sy AK,Sy ⊂(SAB)⇒ P= AK∩(SCD);

GọiQ=CI∩Sy CI,Sy ⊂(SCD)

⇒Q=CI∩(SAB);

Vì ba điểmP,S,Qcùng nằm trên giao tuyếnSynên chúng thẳng hàng.

Bài 51. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành. GọiM,N lần lượt làtrung điểm của ABvàSC.

1. Tìm giao điểm Icủa ANvà(SBD). Tính I AI N.2. Tìm giao điểmKcủaMNvà(SBD). Tính KM

KN.3. Chứng tỏB, I,Kthẳng hàng. Tính IB

49

của(MNE)và hình chóp.Lời giải.

S

I

B L

OK

A

ME

DN

CH

F1. Tìm giao điểm IcủaAN và(SBD).

S ∈(SAC)∩(SBD) (1)

®

O ∈ AC,AC ⊂(SAC)

O ∈ BD,BD⊂(SBD) ⇒O ∈(SAC)∩(SBD) (2)Từ (1) và (2)⇒SO=(SAC)∩(SBD).

GọiI =SO∩AN (SO,AN ⊂(SAC)).Suy ra I = AN∩(SBD).

VìSO, ANlà hai trung tuyến của tam giácSAC⇒ I là trọng tâm của tam giácSAC.Do đó I A

I N =2.

2. Tìm giao điểmKcủaMNvà(SBD).Chọn mặt phẳng(ABN)chứaMN.Ta có:

®

I ∈ SO,SO ⊂(SBD)

I ∈ AN,AN ⊂(ABN) ⇒ I ∈ (ABN)∩(SBD). (3)B∈ (ABN)∩(SBD) (4)Từ (3) và (4)⇒BI =(ABN)∩(SBD).

GọiK = MN∩BI ⇒K= MN∩(SBD).Vẽ lại tam giácABNnhư bên.

GọiQlà trung điểm của AI. Ta có AQ=QI = I N.Xét4N MQ, ta có:IKlà đường trung bình của tam giác.VậyKlà trung điểm của MN.

Suy ra KMKN =1.

B

A Q I N

50 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN3. Theo cách tìm giao tuyến của câu b) thì3điểmB,K, I thẳng hàng.

Trong4N MQ, ta có: IK = 1

2QM.Trong4ABI, ta có:QM = 1

2BI ⇒ IB =4IK ⇔IBIK =4.

Hai mặt phẳng(MNE)và(ABCD)cóMlà điểm chung và cóNEk ACnên giao tuyếndcủa chúng quaMvàd k ACk NE.

GọiF=d∩CD(d,CD ⊂(ABCD)); gọiH = FN∩SD(FN,SD⊂(SCD)).

Vậy thiết diện của mặt phẳng(MNE)cắt hình chópS.ABCDlà đa giácEMLNH.

Chương 2.

QUAN HỆ SONG SONG

Bài 1. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG

THẲNG SONG SONG

A.

Tóm tắt lý thuyết

Định nghĩa 1. Hai đường thẳng được gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trongmột mặt phẳng.

Hai đường thẳng được gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng.

Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và khơng có điểm chung.Định lí 1.

Trong khơng gian, qua một điểm khơng nằm trênđường thẳng cho trước, có một và chỉ một đườngthẳng song song với đường thẳng đã cho.

M

d
d0

Định lí 2. Nếu ba mặt phẳng phân biệt đơi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệtthì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đơi một song song với nhau.

α

β

γ

bc

a

α

β

γ

bc

a

Hệ quả 1. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đườngthẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song songvới hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

α

β

d00dd0

α

β

d00d

d0

α

β

d00d0d

Định lí 3.

52 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song vớiđường thẳng thứ ba thì song song với nhau

α

β

γ

bc

a

Bài 2.

ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

A.

Tóm tắt lý thuyết

Định lí 1.

Nếu đường thẳngdkhơng nằm trong mặt phẳng(α)và đường thẳngdsong song với đường thẳngd0nằm trong(α)thìdsong song vớiα.

d

d0

αβ

Định lí 2.

Nếu đường thẳngasong song với mặt phẳng(α).Nếu mặt phẳng (β) chứa a và cắt (α) theo giaotuyếnbthìbsong song vớia.

a

b

αβ

Hệ quả 1.

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mộtđường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũngsong song với đường thẳng đó.

dd0

α

β

2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 53

Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một
mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song vớiđường thẳng kia.

M b0

b

aα

B.

Bài tập rèn luyện

DẠNG 2.1. Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng, đường thẳngsong song với mặt phẳng. . .

Phương pháp giải:

Chứng minh hai đường thẳng song song thì dựa vào hình học phẳng: Định lý Thalesđảo, đường trung bình. . .

Muốn chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng(P), ta phải chứng minhđường thẳngdsong song với một đường thẳng thuộc mp(P).

Tìm giao tuyến cách 2: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng, tìm trong hai mặtphẳng lần lượt có hai đường thẳng song song với nhau. Giao tuyến cần tìm đi quađiểm chung và song song với hai đường thẳng song song vừa tìm.

Bài 1. Cho tứ diệnABCD. GọiI,Jlần lượt là trọng tâm các tam giácABC,ABD. Chứngminh I J k CD.

Lời giải.

Gọi E là trung điểm AB. Ta có

®

I ∈ CE

J ∈ DE ⇒ I J và CDđồng phẳng.

Do có EIEC =

EJED =

1

3 (tính chất trọng tâm), nên theođịnh lý Thales suy raI J kCD.

A

J

DI

B

E

C

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với hai đáy AB và CD(AB >CD). GọiM,N lần lượt là trung điểm của các cạnhSA,SB.

1. Chứng minhMN k CD.

2. Tìm giao điểmPcủaSC với(ADN).

54 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG

Lời giải.

1. Chứng minhMN k CD.

Trong tam giácSAB, ta có MN k AB(vìMNlà đường trung bình). MàAB kCD(ABCDlà hình thang). VậyMN k CD.2. Tìm giao điểm củaSCvới(ADN).

Chọn mặt phẳng phụ (SBC) chứa SC.Tìm giao tuyến của(SBC)và(ADN).Ta có N là điểm chung của (SBC) và(ADN) (1).

Trong(ABCD), gọiE= AD∩BC. Ta có

®

E∈ AD⊂(ADN)

E∈ BC ⊂(SBC) ⇒E ∈(ADN)∩(SBC) (2).Từ (1) và (2) suy ra (ADN)∩(SBC) =

NE.

Trong(SBC), gọiP =SC∩NE. Khi đó

®

P∈ SC

P∈ NE ⊂(ADN) ⇒ P=SC∩(ADN).3. Chứng minh SI k AB k CD. Tứ giác

SABI là hình gì?

S ∈(SAB)∩(SCD) (3)và

®

I ∈ AN ⊂(SAB)

I ∈ DP ⊂(SCD) ⇒ I ∈ (SAB)∩
(SCD) (4).

S I

N

B

C

EPA

DM

Từ(3)và(4)suy raSI =(SAB)∩(SCD).Ta có





SI =(SAB)∩(SCD)AB⊂(SAB),CD ⊂(SCD)ABk CD

⇒SI k ABkCD.

Xét tam giácSAIcóSI k MN(vì cùng song song với AB) vàMtrung điểm củaAB. VậyMNlà đường trung bình của tam giác. Suy raSI =2MN.

Ta có

®

SI k ABSI =2MN,AB=2MN ⇒

®

SI k ABSI =AB.

Vậy tứ giácSABIlà hình bình hành.

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang (đáy lớn là AB). Gọi I,Jlần lượt là trung điểm của các cạnhAD,BC,Klà điểm trên cạnhSBsao choSK = 2

3SB.1. Tìm giao tuyến của(SAB)và(I JK).

2. Tìm thiết diện của (I JK)với hình chóp S.ABCD. Tìm điều kiện để thiết diện làhình bình hành.

2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 55

1. Tìm giao tuyến của(SAB)và(I JK).TừKkẻKL k AB(L∈ SA). Ta có





K ∈(SAB)∩(I JK)ABk I JAB⊂(SAB),I J ⊂(I JK)(vì I Jlà đường trung bình của hình thang).

Suy ra(SAB)∩(I JK) = KL (vì KL k AB k I J,K ∈SA).

2. Tìm thiết diện của(I JK)với hình chópS.ABCD.Ta có

®

(I JK)∩(ABCD)= I J, (I JK)∩(SBC)= JK(I JK)∩(SAB)=KL, (I JK)∩(SAD)= LI.Vậy thiết diện cần tìm là hình thang I JKL (vì I J kLK k AB).

Do I J là đường trung bình của hình thang ABCD
nên I J = AB+CD

2 .

Xét tam giác SAB có LKAB =

SKSB =

2

3, suy raLK = 2

3AB.

Để I JKL là hình bình hành ⇔ I J = KL ⇔AB+CD

2 =2

3AB⇔ AB=3CD.

Vậy thiết diện I JKL là hình bình hành ⇔ AB =

3CD.

S

B

CJKA

DI

L

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N,P,Q lầnlượt là các điểm nằm trên các cạnhBC,SC,SD,ADsao choMN k BS,NP kCD,MQkCD

1. Chứng minhPQkSA.

2. GọiK = MN∩PQ. Chứng minh điểmK nằm trên đường thẳng cố định khi Mdi động trên cạnhBC.

56 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG

1. Chứng minhPQk SA.

Xét ∆SCD có NP k CD ⇒ DP

DS =CN

CS (1).

Xét ∆SCB có N M k SB ⇒ CM

CB =CN

CS (2).

Xét hình thang ABCD có MQ k CD ⇒CM

CB =DQDA (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra DPDS =

DQDA. VậyPQk SA.

2. Chứng minh điểm K nằm trên đườngthẳng cố định khi Mdi động trên cạnhBC.

Ta có



BC k ADBC ⊂(SBC),AD ⊂(ADS)S∈ (SBC)∩(SAD)

⇒(SBC)∩ (SAD) = St với (St k AD kBC).

MàK= MN∩PQvà

®

MN ⊂(SBC)PQ⊂(SAD).Suy raK ∈(SBC)∩(SAD)hayK ∈ St.Vì S cố định và BC cố định nên St cốđịnh. VậyK ∈ Stcố định khiMdi độngtrên cạnhBC.

S K t

P

D

A _N

B M C

Q

Bài 5. Cho hình chóp tứ giácS.ABCD. Gọi M,N,E,Flần lượt là trung điểm các cạnhSA,SB,SC,SD. Chứng minh rằng

1. MEk AC,NF k BD.

2. Ba đường thẳngME,NF,SO(vớiOlà giao điểm củaACvàBD) đồng qui.3. Bốn điểmM,N,E,Fđồng phẳng.

2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 57

1. Chứng minhMEk AC,NF k BD.

MElà đường trung bình của tam giácSAC ⇒MEk AC.

FN là đường trung bình của tam giác SBD ⇒FN k BD.

2. Ba đường thẳng ME,NF,SO (với O là giao
điểm củaAC vàBD) đồng qui.

Trong tam giácSAC, gọiK= ME∩SO. Suy raKlà trung điểm củaSO.

Trong tam giácSDOcóFKlà đường trung bìnhcủa tam giác⇒ FKk DO ⇔FKk BD (1).Trong tam giácSBDcóFNlà đường trung bìnhcủa tam giác⇒ FN k BD (2).

Từ (1) và (2) thì K thuộc NF. Vậy ba đườngthẳngME,NF,SOđồng qui tại điểmK.

3. Bốn điểm M,N,E,F đồng phẳng. Từ chứngminh ở câu 2) thì ME và NF cắt nhau tại K.Suy ra bốn điểm M,N,E,Fđồng phẳng.

S

EF

D

CA

M

N
K

B

O

Bài 6. Cho tứ diệnABCD, gọiI, Jlần lượt là trung điểm củaBCvàBD,Elà một điểmthuộc cạnh AD.

a) Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mp(I JE).b) Tìm vị trí củaEtrênADđể thiết diện là hình bình hành.

c) Tìm điều kiện của tứ diệnABCDvà vị trí điểmEtrênADđể thiết diện là hình thoi.Lời giải.

a) Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mp(I JE).

Ta có I J là đường trung bình của 4BCD nênI J k CD.

®

(I JE)∩(ACD)=E

I J ⊂(I JE), CD ⊂(ACD) ⇒ (I JE) ∩(ACD) =Ex.

VớiExk CD k I J. GọiF =Ex∩AC.Vậy thiết diện cần tìm là hình thangEFI J.b) Để I JEFlà hình bình hành thì I J = EF.

VậyEphải là trung điểm của AD.

c) Khi EFI J là hình bình hành thì EJ là đườngtrung bình của tam giác DAB, suy ra EJ =

12AB.

Vậy: để I JEF là hình thoi thì I J = EJ ⇔ AB =

CD.

Kết luận: Để thiết diệnI JEFlà hình thoi thìElàtrung điểm củaADvàAB=CD.

A

DI

JB

E

58 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG

Bài 7. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà tứ giác lồi. Gọi M,N lần lượt là trọngtâm của tam giácSABvàSAD,Elà trung điểm củaCB.

a) Chứng minh MN k BD.

b) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(MNE).

c) Gọi H, L lần lượt là các giao điểm của mp(MNE)với các cạnh SBvà SD. ChứngminhLH k BD.

Lời giải.

a) Chứng minh MN k BD.GọiKlà trung điểm củaSA.Theo tính chất trọng tâm ta có

KMKB =

KNKD =

1

3 ⇒ MN k BD.b) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi

mp(MNE).

E là điểm chung của(MNE)và(ABCD)nên giao tuyến của chúng quaEvà songsong vớiMN và song song vớiBD. Giaotuyến này cắtABvàCDlần lượt tạiFvàG.

Trong mặt phẳng (SAB) đường thẳngFMcắtSAvàSBlần lượt tạiPvàH. Còntrong(SAD)đường thẳngPN cắtSDtạiL. Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là ngũgiácEHPLG.

c) Chứng minhLH k BD.Ta có





HL =(MNE)∩(SBD)MN k BD

MN ⊂(MNE), BD⊂(SBD)⇒ HL k MN k BD.

S

NK

A

BMP

D

CH

L

EF

G

Bài 8. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành. Gọi M, N lần lượt làtrung điểm của các cạnh ABvàCD.

a) Chứng minh MN k (SBC), MN k (SAD).

b) Gọi P là trung điểm của cạnhSA. Chứng minh rằng SBvàSC đều song song với(MNP).

c) Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC vàSBC. Chứng minh G1G2 k

2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 59

a) Chứng minh MN k(SBC).Ta có

®

MN k BC, MN 6⊂(SBC)BC ⊂(SBC) ⇒MN k(SBC).

Ta có

®

MN k AD, MN 6⊂ (SAD)AD⊂(SAD) ⇒MN k(SAD).

b) Chứng minhSBvàSCđều song song với(MNP).

Tìm giao tuyến của mặt phẳng(SAD)và(MNP).

Ta có



P∈ (MNP)∩(SAD)MN k AD

MN ⊂(MNP), AD ⊂(SAD)⇒ (PMN)∩(SAD) = PQ(PQ k MN kAD, Q ∈ SD).

Xét4SAD ta có PQ k ADvà P là trungđiểm củaSA, suy raQlà trung điểm củaSD.

Xét4SCDta cóQN k SC (QNlà đườngtrung bình của tam giácSCD).

Ta có

®

SC 6⊂(PMN), SC k QN

QN ⊂(PMN) ⇒ SC k(PMN).

S

MA

D

Q _G2

B

CP

N

IG1

c) Chứng minhG1G2 k (SAB).

Xét tam giácSAIta có IG1I A =

IG2

IS =1

3 (Tính chất trọng tâm)⇒G1G2 k SA.Có

®

G1G2 6⊂(SAB), G1G2 kSA

SA⊂(SAB) ⇒G1G2k (SAB).

Bài 9. Cho hình chópS.ABCDcó đáy(ABCD)là hình thang. ADlà đáy lớn và AD =

2BC. GọiOlà giao điểm của ACvàBD,Glà trọng tâm của tam giácSCD.a) Chứng minhOGk(SBC).

b) Gọi Mlà trung điểm của cạnhSD. Chứng minh rằngCM k(SAB).c) Giả sử điểm I trên đoạnSCsao choSC = 3

2SI. Chứng minh SAk (BID).d) Xác định giao điểmKcủaBGvà mặt phẳng(SAC). Tính KB

KG.

60 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONGVìADk BC ⇒ 4OBCv4ODA(g-g).

Vậy OBOD =

OCOA =

BCAD =

12.a) Gọi Hlà trung điểm củaSC.

Trong4DHBta có DGDH =

DODB =

2

3 ⇒OGkBH.

Ta có

®

OG k BH

BH ⊂(SBC), OG6⊂ (SBC) ⇒ OG k(SBC).

b) Gọi N là trung điểm của SA. Ta có MN làđường trung bình của tam giácSAD.

Nên MN k ADvàMN = 1

2AD.

Mà theo đề bài ta lại có BC k AD và BC =

12AD.

Vậy BC k MN và BC = MN. Vậy tứ giácBCMNlà hình bình hành.

Ta có

®

CM k BN

BN ⊂(SAB), CM 6⊂(SAB) ⇒CM k(SAB).

S

IKA

N

B

H

C

DM

G

O

c) Trong4SACcó COCA =

CICS =

1

3 ⇒OI k SA.Có

®

SAk OI

OI ⊂(BID), SA 6⊂(BID) ⇒SA k(BID).

d) Ta cóOvàHlà hai điểm chung của hai mặt phẳng(BDH)và(SAC).Vậy(SAC)∩(BDH)=OH.

Trong(BDH), gọiK =BG∩OH ⇒K =BG∩(SAC).Ta có:4KOGv4KHB(g-g)⇒ KG

KB =OGHB =

23 (Vì

OGBH =

DGDH =

23).Kết luận: KB

KG =32.

Bài 10. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF khơng cùng nằm trong một mặtphẳng.

a) GọiOvàO0 lần lượt là tâm của ABCDvàABEF. Chứng minh rằngOO0song songvới(ADF)và(BCE).

b) Gọi M,N lần lượt là trọng tâm của 4ABD và 4ABE. Chứng minh rằng MN k(CEF).

2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 61

a) Chứng minh rằngOO0 song song với(ADF)và(BCE).

Ta cóOO0 k DF (OO0 là đường trungbình4BDF).

MàDF⊂(ADF) ⇒OO0 k (ADF).Ta cóOO0 k CE(OO0 là đường trungbình4ACE).

MàCE ⊂(BCE)⇒OO0 k (BCE).b) Chứng minh rằngMN k (CEF).

GọiHlà trung điểm của AB.

Trong 4HDE ta có HM

HD =
HN

HE =1

3 ⇒MN k DE.

Mà DE ⊂ (CEFD) ≡ (CEF). VậyMN k(CEF).

EF

O0

A B

N

O

D C

HM

Bài 11. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành. Gọi M,Nlần lượt làtrọng tâm của hai tam giácSABvàSAD.

a) Chứng minh MN k (ABCD).

b) GọiElà trung điểm củaBC. Xác định thiết diện của hình chópS.ABCDcắt bởi mặtphẳng(MNE).

Lời giải.

a) Chứng minh MN k(ABCD).

Gọi I,J lần lượt là trung điểm của ABvàAD.

Theo tính chất trọng tâm có SMSI =

SNSJ =2

3 ⇒MN k I J (tính chất Talet đảo).Mà I J thuộc mặt phẳng (ABCD), suy raMN k(ABCD).

b) Trong mặt phẳng đáy, qua E kẻ đườngthẳng song song I J cắt AC tại F, cắt CDtạiG.EGlà giao tuyến của(MNE)và đáy(ABCD).

GọiK = I J∩ AC(I J, AC ⊂(ABCD)).
Ta cóSK =(SI J)∩(SAC), gọi L= MN∩SK.

Suy ra FL = (MNE)∩(SAC), gọi O =

SA∩FL(SA,FL⊂(SAC)).

Vậy OM = (MNE) ∩ (SAB), ON =

(MNE)∩(SAD).

GọiP=OM∩AB, Q =ON∩SD.Kết luận: thiết diện cần tìm là đa giácOPEGQ.

S

N

Q

A

BP

MO

G
E

K

FJL

I

D

62 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG

Bài 12. Cho tứ diện ABCD. GọiGlà trọng tâm tứ diện ABCD.

a) Chứng minh rằng đường thẳngdđi quaGvà một đỉnh của tứ diện sẽ đi qua trọngtâm của mặt đối diện với đỉnh đấy.

b) Gọi A0là trọng tâm của tam giácBCD. Chứng minh rằngGA =3GA0.Lời giải.

GọiM, N lần lượt là trung điểm củaABvàCD.GọiGlà trung điểm của MN.

Suy raGlà trọng tâm của tứ diệnABCD.

a) Bước 1: Tìm giao điểm của AG và mặt phẳng
(BCD).

Chọn mặt phẳng(ABN)chứaAGvàBN.Trong mặt phẳng(ABN)gọiA0 =AG∩BN.Có

®

A0 ∈ AG

A0 ∈ BN,BN ⊂(BCD) ⇒ A

0 _{= AG∩}

(BCD).

Bước 2: Chứng minh A0 là trọng tâm của tamgiácBCD.

Trong mặt phẳng (ABN) kẻ MI song song vớiAA0(Với IthuộcBN).

Xét 4ABA0 có MI là đường trung bình củatam giác, nên I là trung điểm của BA0. Suy raBI = I A0.

Xét4I MNcóGA0là đường trung bình của tamgiác, nênA0 là trung điểm củaI N.

Suy ra A0N = I A0.

Ngoài ta trong tam giác BCD có BN là đườngtrung tuyến, kết hợp lại ta cóBA0 = 2

3BN.Vậy A0là trọng tâm của tam giácBCD.

b) Vì MI là đường trung bình của tam giác ABA0nên MI = 1

2AA

0_.

VìGA0 là đường trung bình của tam giácI MNnênGA0 = 1

2MI.Từ đó ta cóGA0 = 1

4AA

0 _{⇔ AA}0 _=4GA0_.

MàAA0 = AG+GA0 ⇒ AG=3GA0.Kết luậnGA=3GA0.

A

D

NA0

IB

M

CG

Bài 13. Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,CDvàGlà trung điểm của đoạnMN.

a) Tìm giao điểm A0của đường thẳng AGvà mặt phẳng(BCD).

2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 63

c) Chứng minhGA =3GA0.

Lời giải.

a) Chọn(ABN)chứaAG.

Hai mặt phẳng (ABN) và (BCD) có hai điểmchung là Bvà N. Suy ra giao tuyến của chúnglàBN,BN cắtAGtại A0 thìA0 = AG∩(BCD).b) Vì Mx k AA0, mà AA0 ⊂ (ABN) và M ∈

(ABN) ⇒Mx ⊂(ABN).

GọiM0 = Mx∩BN ⇒ M0 = Mx∩(BCD).Từ đó suy ra ba điểmB, M0, A0thẳng hàng.Có MM0 là đường trung bình của 4BAA0 ⇒BM0 = M0A0(1).

Và GA0 là đường trung bình của 4N MM0 ⇒M0A0 = A0N(2).

Từ(1)và(2)suy raBM0 = M0A0 = A0N.c) Từ chứng minh câu b) có:

GA0 = 1

2MM

0 _và

MM0 = 1

2AA

0 _⇒

GA0 =

1
4AA

0 _{⇒ AG=3GA}0_.

A

D

NA0

M0B

Mx

CG

DẠNG 2.2. Thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng(α)và song song với mộtđường thẳng cho trước. Tính diện tích thiết diện

Dạng tốn này các bạn phải nhớ kĩ tính chất:

®

M ∈(α)∩(P)

(α)k d,d⊂(P) ⇒(α)∩(P)= Mx(Mx kd).

Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có AD đáy lớn. Gọi Mtrung điểm củaCD,(α)là mặt phẳng quaMvà song song vớiSAvàBC.

a) Hãy xác định thiết diện của hình chópS.ABCDvới mặt phẳng(α).

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và(SAC). Chứng minh giao tuyến vừa tìmđược song song với mặt phẳng(SAD).

Lời giải.

64 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONGXác định thiết diện của hình chópS.ABCDvới mặt

phẳng(α).

Mlà điểm chung của hai mặt phẳng(α)và(ABCD),có (α) k BC nên giao tuyến của chúng qua M vàsong song vớiBC, giao tuyến này cắtABtạiE.Elà điểm chung của hai mặt phẳng(α)và(SAB), có(α) k SA nên giao tuyến của chúng qua E và songsong vớiSA, giao tuyến này cắtSBtạiF.

Flà điểm chung của hai mặt phẳng(α)và(SBC), có(α) k BC nên giao tuyến của chúng qua F và songsong vớiBC, giao tuyến này cắtSCtạiG.

Kết luận mặt phẳng(α)cắt hình chópS.ABCDtheo
một thiết diện là hình thang MEFG, vì có ME vàFGcùng song song với BC.

B C

HS

A D

E M

GF

b) Gọi Hlà giao điểm của MEvàAC, ta có HvàGlà hai điểm chung của hai mặt phẳng(α)và mặt phẳng(SAC). Vậy (α)∩(SAC) = HG. Vì(α) k SAnên giao tuyến HG k SA, màSAthuộc mặt phẳng(SAD)nên giao tuyến HGk (SAD).

Bài 15. Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm Mlà một điểm thuộc miền trong của tam giácBCD. Gọi(α)là mặt phẳng quaMvà song song vớiACvàBD. Hãy xác định thiết diệncủa mặt phẳng(α)với tứ diện ABCD. Thiết diện là hình gì?

Lời giải.

Mlà điểm chung của hai mặt phẳng(α)và(BCD), có(α)kBDnên giao tuyến của chúng quaMvà song song vớiBD,giao tuyến này cắtBCtạiEvà cắtCDtạiF.

Elà điểm chung của hai mặt phẳng(α)và(ABC), có(α)kACnên giao tuyến của chúng quaEvà song song vớiAC,giao tuyến này cắt ABtạiH.

Hlà điểm chung của hai mặt phẳng(α)và(ABD), có(α)kBDnên giao tuyến của chúng quaHvà song song vớiBD,giao tuyến này cắtADtạiG.GvàFlà hai điểm chung củahai mặt phẳng(α)và mặt phẳng(ACD).

Vậy giao tuyến của chúng là FG.

Vì mặt phẳng(α)k AC, nên giao tuyếnFG k AC.

Kết luận: thiết diện cần tìm là hình bình hành EFGH, vìcóEFk HGk BDvàHEk FGk AC.

A

H G

C

E M F

B D

Bài 16. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành. Lấy một điểm Mdi
động trên cạnhSC. Gọi(α)là mặt phẳng chứaAMvà song song vớiBD.

a) Chứng minh rằng mặt phẳng(α)luôn đi qua một đường thẳng cố định khi Mthayđổi.

b) Mặt phẳng(α)cắtSBvàSDtạiEvàF. Hãy nêu cách dựngEvàF.

c) Gọi I là giao điểm của ME vàCB, J là giao điểm của MF vàCD. Chứng minh bađiểmI, J, Athẳng hàng.

2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 65S

JF

E

M

A

B C

I

OG

D

a) Alà một điểm chung của hai mặt phẳng(α)và(ABCD), có(α) k BD, nên giao tuyến củachúng quaAvà song song vớiBD.

Vậy(α)∩(ABCD)= Ax(Axk BD).

VìAxlà đường thẳng cố định khiMthay đổi.Kết luận: mp(α)luôn đi qua đường cố định Ax.b) GọiO= AC∩BD.

Ta có:SOlà giao tuyến của hai mặt phẳng(SAC)và(SBD).GọiG = AM∩SO(AM,SO⊂(SAC)).

Ta có: G là điểm chung của mặt phẳng (α) và mặt phẳng(SBD), có (α) k BD nên giaotuyến của chúng quaGvà song song với BD, giao tuyến này cắtSBvàSDlần lượt tạiEvàF.

c) I vàFlà hai điểm chung của mặt phẳng(α)và mặt phẳng đáy(ABCD), nên I vàFphảithuộc giao tuyếnAxcủa hai mặt phẳng.

Vậy ba điểmI, J, Athẳng hàng.

Bài 17. Cho hình bình hành ABCD và điểm S khơng nằm trong mặt phẳng chứaABCD.

a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau(SAC)và(SBD),(SAB)và(SCD).b) Một mặt phẳng(α)quaBC, cắtSAtại Mvà cắtSDtạiN. Chứng minh MN k BC.

c) Chứng tỏ giao điểm củaBN vàCM luôn luôn ở trên một đường thẳng cố định khiMdi động trênSA.

d) Gọi Glà trọng tâm tam giácSAB,Klà điểm trên cạnhACsao cho AKAC =

1

3. ChứngminhGKsong song với mặt phẳng(SCD).

66 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG

a) Ta cóS ∈(SAC)∩(SBD)(1).

GọiO= AC∩BD⇒O∈ (SAC)∩(SBD)(2).Từ (1) và (2) suy ra:(SAC)∩(SBD)=SO.Ta có:





S ∈(SAC)∩(SBD)ABk CD

AB⊂(SAB),CD ⊂(SCD)

⇒ (SAB)∩(SCD)=Sx(Sxk ABk CD).

b) Vì



(α)∩(SAD)= MNBC k AD

BC ⊂(α),AD ⊂(SAD)

⇒ MN k AD k

BC.

c) Gọi I = BN∩CM(BN,CM ⊂(α)).Vì

®

I ∈ BN,BN ⊂(SBD)

I ∈ CM,CM ⊂(SAC)) ⇒ I ∈ (SAC)∩(SBD).

Suy raIthuộc giao tuyếnSOcố định của hai mặtphẳng(SAC)và(SBD).

SMG

A

B

F

CO

Ix

KE

DN

d) GọiEvàFlần lượt là trung điểm củaSAvàAD.

VìKchia đoạn ACthành ba phần bằng nhau vàAK chiếm 1 phần, từ đó ta cóKlà trọngtâm của tam giácABD.

Theo tính chất trọng tâm có: BGBE =

BKBF =

2

3. Ngồi raGK((SCD)nênGK k EF(3).MàEFlà đường trung bình của tam giácADS ⇒ EFk SD(4).

Từ(3)và(4)cóGKk SD ⊂(SCD)⇒ GKk(SCD).

Bài 18. Cho tứ diện ABCD, gọi M, Nlần lượt là trung điểm củaBC vàBD.a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(AMN)và(ACD).

b) Một mặt phẳng (P) qua CD và cắt AM, AN lần lượt tại F và E. Tứ giác CDEF làhình gì?

c) CFvàDEcắt nhau tạiK. Chứng tỏA, B,Kthẳng hàng.

d) Chứng tỏ giao điểm I của CEvà DFluôn nằm trên một đường thẳng cố định khi(P)thay đổi.

2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 67

a)




A∈ (AMN)∩(ACD)MN kCD

MN ⊂(AMN),CD ⊂(ACD).

⇒(AMN)∩(ACD)= Ax(Axk MN kCD)

b)



(P)∩(AMN) =EFMN kCD

MN ⊂(AMN),CD ⊂(P)

⇒ EFk MN kCD.VìCD k MNsuy raCDEFlà hình thang.

c) Ta có AB là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và(ABD).

VìK = CF∩DE, mà

®

K ∈ CF,CF⊂(ABC)

K ∈ DE,DE⊂(ABD) ⇒ K ∈(ABC)∩(ABD).

VìKlà điểm chung của hai mặt phẳng(ABC)và(ABD)nên K thuộc giao tuyến. Vậy ba điểm A, B, K thẳnghàng.

A

CM

NOx

B

KF

EI

D

d) Trong mặt phẳng(BCD)gọiOlà giao tuyến củaCN vàDM.

Ta có AvàOlà hai điểm chung của hai mặt phẳng(ANC)và(AMD), nên giao tuyến củachúng là AO.

GọiIlà giao điểm củaCEvàDF.

Ta có:

®

I ∈ CE,CE⊂(ANC)

I ∈ FE,DF⊂(AMD) ⇒ I ∈(ANC)∩(AMD).

Suy ra Ithuộc giao tuyến AOcủa hai mặt phẳng.

Vì hai điểmAvàOcố định nên điểm I thuộc đoạnAOcố định.

Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm trên AB, CD. Mặt phẳng (α) quaMN và song song vớiSA.

a) Tìm các giao tuyến của(α)với(SAB)và(SAC).b) Xác định thiết diện của hình chóp với(α).

c) Tìm điều kiện của MNđể thiết diện là hình thang.

68 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG

a) Tìm các giao tuyến của(α)với(SAB):Ta có:

®

M ∈(α)∩(SAB)(α)k SA,SA ⊂(SAB)

⇒(α)∩(SAB)= MP(với MP kSA,P∈ SB).Tìm các giao tuyến của(α)với(SAC):

GọiR= MN∩AC(MN,AC⊂(ABCD)).Ta có:

®

R∈ (α)∩(SAC)(α) kSA,SA⊂(SAC)

⇒(α)∩(SAC) =RQ(vớiRQk SA,Q ∈ SC).

b) Xác định thiết diện của hình chóp với(α).
Theo câu a) thiết diện là tứ giácMPQN.

c) Tìm điều kiện của MNđể thiết diện là hình thang:Ta có: MPQNlà hình thang⇒

đ

MPk QN(1)MN k PQ. (2)

Xét(1), ta cóMPk QR, màQRkhơng song songQNnên(1)vơ lí.

Do đó:

®

SA k QN

QN ⊂(SCD) ⇒SA k(SCD)(vơ lí).Xét (2), ta có

®

BC =(ABCD)∩(SBC)

MN ⊂(ABCD),PQ⊂(SBC) ⇒ MN kBC.

Ngược lại, nếuMN k BCthì

®

PQ=(α)∩(SBC)

MB⊂(α),BC ⊂(SBC) ⇒MN k PQ.

Vậy để thiết diện là hình thang thìMN k BC.

S

CR

A

BM

P

DNQ

Bài 20. Cho tứ diệnABCD. Trên cạnhADlấy trung điểmM, trên cạnhBClấy điểmNbất kỳ. Gọi(α)là mặt phẳng chứa đường thẳng MNvà song song vớiCD.

a) Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng(α)với tứ diệnABCD.

b) Hãy xác định vị trí củaN trênBCsao cho thiết diện là hình bình hành.

2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 69

a) Xác định thiết diện của mặt phẳng (α) với tứ diệnABCD.

Ta có:



(α)k CDCD⊂(ACD)M∈ (α)∩(ACD)

⇒ (α) ∩ (ACD) =MP(MPk CD,P∈ AC) (1).

Ta có:



(α)k CDCD ⊂(BCD)N ∈(α)∩(BCD)

⇒(α)∩(BCD) =NQ(NQ kCD,Q∈ BD) (2).

Và(α)∩(ABD)= MQ(3);(α)∩(ABC)= PN(4).Từ(1)và(2), ta được:MPk NQ. Vậy thiết diện là hình

thangMPNQ.

b) Xác định vị trí củaNtrênBCsao cho thiết diện là hìnhbình hành.

Ta có: MP k NQ; MP = 1

2CD (MP là đường trungbình4ACD).

MNPQ là hình bình hành ⇔

®

MP k NQMP =NQ ⇔





MPk NQMP= NQ= 1

2CD.Do đóNlà trung điểmBC.

Vậy Nlà trung điểmBCthìMNPQlà hình thang.

A

C

QN

BP

DM

Bài 21. Cho hình thangABCDcó đáy lớnABvàSlà một điểm ở ngồi mặt phẳng củahình thang. Gọi Mlà một điểm trênCD,(α)là mặt phẳng qua Mvà song song vớiSAvàBC.

a) Hãy tìm thiết diện của mặt phẳng(α)với hình chópS.ABCD. Thiết diện là hình gì?b) Tìm giao tuyến của(α)với mặt phẳng(SAD).

Lời giải.

a) Tìm thiết diện của mặt phẳng(α)với hình chópS.ABCD.

Ta có:

®

(α)k BC,BC ⊂(ABCD)M∈ (α)∩(ABCD)

⇒ (α) ∩(ABCD) = MN (với MN k BC và N ∈ AB)(1).

Ta có:

®

(α)k SA,SA ⊂(SAB)N ∈ (α)∩(SAB)

⇒(α)∩(SAB) =NP(vớiNP k SAvàP ∈ SB).

Có:

®

(α)k BC,BC ⊂(SBC)P∈ (α)∩(SBC)

⇒ (α)∩ (SBC) =PQ(vớiPQk BCvàQ∈ SC)(2).

Từ (1)và(2), ta được MN k PQ. Vậy thiết diệnlà hình thang MNPQ.

CD

I

tS

A B

PQM

70 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONGb) Tìm giao tuyến của(α)với mặt phẳng(SAD).

Trong(ABCD), gọiI =AD∩MN ⇒ I là điểm chung của(α)và(SAD).Ta có:

®

(α)k SA,SA ⊂(SAD)

I ∈ (α)∩(SAD) ⇒(α)∩(SAD) =It(với It k SA).

Bài 22. Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC vuông tại A, ’ABC = 60◦,AB = a.

Gọi O là trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài mặt phẳng (α) sao cho SB = a vàSB ⊥OA. Gọi Mlà một điểm trên cạnh AB. Mặt phẳng βqua Msong song với SBvàOA, cắtBC,SC,SAlần lượt tạiN,P,Q. Đặtx =BM(0

1. Chứng minhMNPQlà hình thang vng.

2. Tính diện tích của hình thang theoavàx. Tínhxđể diện tích này lớn nhất.Lời giải.

1. Chứng minhMNPQlà hình thang vng.

Có

®

βkOA,OA ⊂(ABC)

MN = β∩(ABC) ⇒ MN k

OA (1)

Và

®

β kSB,SB⊂(SAB)

MQ= β∩(SAB) ⇒ MQ k

SB (2)

Ta có

®

β kSB,SB⊂(SBC)

NP = β∩(SBC) ⇒ NP k

SB (3)

Từ(2)và(3)suy raMQk NP k SB (4)suy raMNPQlà hình thang.

Từ (1) và(4) ta có



OA⊥SBMN kOAMQk NP k SB.

⇒

®

MN ⊥MQMN ⊥NP.

VậyMNPQlà hình thang vng, đườngcaoMN.

S

O

A

NB

Q

M

CP

2. Tính diện tích của hình thang theoavàx.Ta cóSMNPQ = 1

2(MQ+NP)MN.TínhMN:

Xét tam giácABC, ta có:cosB= AB

BC ⇒ BC =AB

cosB ⇒ BC =2a⇒ BO=1

2BC =a.DoBb=60◦vàBA =BOnên 4ABOđều.

Trong4ABOcóMN k AO⇒ MN

AO =BM

AB =BN

BO ⇒ MN = MB= BN =x.Tính MQ : Xét 4SAB, ta có MQ k SB nên MQ

SB =AM

AB ⇒ MQ = AM·SBAB =(a−x)· a

a = a−x.

Tính NP : Xét 4SBC, ta có NP k SBnênNPSB =

CN

CB ⇒ NP = CN·SB

2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 71a

2a =

2a−x2 .Do đóSMNPQ =

x(4a−3x)4 =

1

12·3x·(4a−3x).

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho 2 số dương3xvà(4a−3x)ta có3x(4a−3x)≤

Å

3x+4a−3x2

ã2

⇔3x(4a−3x)≤4a2 ⇔SMNPQ ≤a2

3 .Đẳng thức xảy ra khi3x =4a−3x ⇔x = 2a

3 .Kết luận khix = 2a

3 thìSMNPQ đạt giá trị lớn nhất.

Bài 23. Cho hình vng ABCD cạnha, tâmO. GọiSlà một điểm ngồi ở mặt phẳng(ABCD)sao choSB =SD.Gọi Mlà một điểm tùy ý trên AOvới AM =x.Mặt phẳng(α)quaMsong song vớiSAvàBDcắtSO,SB,ABtạiN,P,Q.

1. Tứ giác MNPQlà hình gì?

2. ChoSA =a.Tính diện tích MNPQtheoavàx.Tìmxđể diện tích lớn nhất.Lời giải.

1. Tứ giác MNPQlà hình gì?

SB=SD ⇒∆SBC =∆SDC (c.c.c)⇒ SCB‘ =’SCD.

Gọi I là trung điểm SC thì ∆IBC =

∆IDC c.g.c

⇒ IB = ID. Vậy ∆IBDcân tạiI ⇒ IO⊥BD,mà

OI k SA ⇒SA ⊥BD(∗)

Ta có



(α)k BDBD⊂(ABO)

(α)∩(ABO)= MQ

⇒ MQ k

BD (1)

Tương tự:



(α)k BDBD⊂(SBO)

(α)∩(SBO)= NP

⇒ NP k

BD (2)

Từ(1)và(2), suy raMQk NPk BD. (3)

S

MOA

BP

Q

I

D

CN

Ta có:



(α) kSASA ⊂(SAO)

(α)∩(SAO)= MN

⇒ MN kSA (4)

Tương tự:



(α)k SASA⊂(SAB)

(α)∩(SAB) =PQ

⇒PQk SA (5)

Từ(4)và(5), suy raMN k PQk SA (6)

72 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG2. Tính diện tích MNPQtheoavàx:

Ta có:SMNPQ = MQ·MN.TínhMQ:Xét tam giácAQM.

Ta cóA =45◦,Q =45◦,M=90◦ ⇒∆AQMcân tại M.Vậy MQ= AM =x.TínhMQ.Xét∆SAO,ta có

MN k SA⇒ MNAS =

OM

OA ⇒MN = AS·OM

OA =aa√2

2 −xa√2

2

=a−x√2

⇒SMNPQ = MQ·MN = x·

Ä

a−x√2ä= √12x

√

2·Äa−x√2ä.

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dươngx√2vàÄa−x√2ä :

x√2Äa−x√2ä ≤

Ç

x√2+a−x√22

å2

⇔ x√2Äa−x√2ä ≤ a

2

4 ⇔SMNPQ ≤a24√2.Đẳng thức xảy ra khi

x√2= a−x√2⇔x = a

2√2 =a√2

4 ⇔ Mlà trung điểm của AO.

Vậy:x= a

√2

4 thìSMNPQđạt giá trị lớn nhất.

Bài 24. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vng cạnh a. Trên cạnh AB lấy mộtđiểm Mvới AM =x. Gọi(α)là mặt phẳng quaMvà song song với mặt phẳng(SAD)cắtSB,SC,vàCDlần lượt tạiN,P,Q.

1. Tìm thiết diện của(α)với mặt phẳng hình chóp. Thiết diện là hình gì?2. Tìm quĩ tích giao điểmI củaMNvàPQkhiMdi động trên đoạnAB.

3. Cho ’SAD = 90◦ vàSA = a. Tính diện tích của thiết diện theoa và x. Tìm x để

diện tích thiết diện bằng 3a

2

8 .Lời giải.

1. Tìm thiết diện của(α)với mặt phẳng hình chóp:

2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 73

• Tìm giao tuyến của mặt phẳng(α)và mặt phẳng(ABCD).

CóM là điểm chung của hai mặtphẳng(α)và(ABCD), vì mp(α)kAD nên giao tuyến của chúngquaMvà song song với AD, giaotuyến này cắt CD tại điểm Q.Tương tự:

• Mặt phẳng (α) và mặt phẳng(SAB) có M là điểm chung và(α) k SA nên giao tuyến của

chúng là MN với MN k SA và

N ∈SB. (1)

• Mặt phẳng (α) và mặt phẳng(SBC)cóNlà điểm chung và(α)k

AD k BC nên giao tuyến của

chúng là NP với NP k BC và

P ∈ SC. (2)

• Mặt phẳng (α) và mặt phẳng(SCD) có 2 điểm chung là P,Q.Vậy giao tuyến của chúng làPQ.

S I S0

A

D

P

B

CN

Q

M

Suy ra thiết diện cần tìm là MNPQ. Từ (1) và(2)thì MQ k PN. Vậy MNPQ là hìnhthang.

2. Tìm quĩ tích giao điểmIcủa MNvàPQkhiMdi động trên đoạnAB.Ta có:





ABk DC

AB⊂(SAB) ,DC ⊂(SCD)S∈ (SAB)∩(SCD)

⇒(SAB)∩(SCD)=Sx Sx k ABk CD

Mà

®

I ∈ PQ⊂(SCD)

I ∈ MN ⊂(SAB) ⇒ I ∈ (SAB)∩(SCD). Vậy I ∈ Sx.

Giới hạn quĩ tích: Khi M≡ AthìI ≡S. Cịn khi M≡BthìI ≡S0.

3. Tính diện tích của thiết diện theoavàx.

Ta có:SMNPQ =S4I MQ−S4I NP =S4SAD−S4I NP Vì4I MQ=4SAD c·g·c

.TínhS4SAD. Ta có4SADvng cân tạiA, do đóSSAD = 1

2a

2_.

TínhS4I NP: Xét tam giácSBC, tam giácSBS0và tam giácSAB.có:

N I k S0B⇒

N IS0B

= SN

SB (1)

PNk BC ⇒ PNBC =

SN

SB (2)

MN k SA⇒ AMAB =

SN

SB (3)

Từ(1), (2)và(3), ta được N IS0B

= PN

BC =AM

AB ⇒ N I= PN = AM= x.⇒ 4I NPvuông cân tạiN, vìN I k SA,PN k ADvàSA ⊥AD.Do đóS4I NP =

12x

2_.

Vậy diện tích thiết diệnSMNPQ = 1

2a

2₋1

2x

2 ₌ 1

2 a

74 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG

ĐểSMNPQ = 3a

2

8 thì12 a

2_−x2

= 3a

2

8 ⇔x

2 _=a2₋3a2

4 ⇔x

2₌ a2

4 ⇔x =a2.

Bài 25. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = CD = a và AB vng góc với CD. LấyM thuộc đoạn AC với AM = x(0 α) qua M và song song vớiAB,CDcắtBC,BD,ADlần lượt tạiN,P,Q.

1. Chứng minhMNPQlà hình chữ nhật.2. Tính diện tích MNPQtheoavàx.

3. Tínhxđể diện tíchMNPQlớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.4. ĐịnhxđểMNPQlà hình vng.

Lời giải.1.

Ta có:

®

MN =(α)∩(ABC)

(α)k AB ⇒ MN k AB.Ta có:

®

MQ=(α)∩(ACD)(α)k CD

⇒ MQk CD.Ta có:

®

NP =(α)∩(BCD)(α)k CD

⇒ NP k CD.Ta có:

®

PQ=(α)∩(ABD)(α)k AB

⇒ PQk AB.

Tứ giác MNPQ có hai cặp cạnh đối song songvới nhau nênMNPQlà hình bình hành.

Vì

®

ABk MN,CDk NP

AB⊥CD ⇒ MN ⊥ NP.Vậy MNPQlà hình chữ nhật.

A

CPM

BN

DQ

2. Trong4ACDcóMQk CD⇒ AM

AC =MQ

CD ⇒ MQ=x.Trong4ABCcóMN k AB.

Suy ra CMCA =

MN

AB ⇒ MN =CM

CA ·AB=a−x

a ·a=a−x.SMNPQ = MN·MQ=(a−x)·x.

3. Ta có(a−x)+x=a= (hằng số). Nên để diện tích này lớn nhất khia−x= x⇔ x= a

2.4. ĐểMNPQlà hình vng thìMN = MQ⇔a−x= x⇔ x= a

2.

Bài 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình hình hành với AB = a, AD = 2a.Mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại A. Trên cạnh AD lấy điểm M với AM = x(0< x<2a), mặt phẳng(α)quaMsong song vớiSAvàCDcắtBC,SC,SDlần lượt tạiN,P,Q.

2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 75

c) Tìm tập hợp giao điểm I củaMQvàNPkhiMchạy từ AđếnD.Lời giải.

S I K

B N C

A

P

Q

DM

2axa

a

t

a) Vì mặt phẳng(α) k ABnên(α)cắt mặt phẳng(ABCD)theo giao tuyếnMN k ABk CD.Mặt phẳng (α) k SA nên (α) cắt mặt phẳng (SAD) theo giao tuyến MQ k SA. Mặtphẳng(α) k CDnên (α)cắt mặt phẳng(SCD)theo giao tuyến QP k CD. Suy ra thiếtdiện mặt phẳng(α)cắt hình chópS.ABCDlà hình thang MNPQ(1).

Mặt khácAB⊥ AS, MN k ABvàMQk SAnên MN ⊥MQ(2).Từ(1)và(2)suy raMNPQlà hình thang vng.

b) Trong mặt phẳng(SAD)cóMQk ASsuy raDM

DA =DQ