Phép thử và biến cố là một trong những dạng toán được xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia. Đây là những khái niệm hoàn toàn mới cần các em phải chú ý. Để hiểu rõ và nắm chức kiến thức bài học bài, hôm nay chúng ta sẽ cùng đi tìm hiểu với Toppy nhé! Bài giảng được Toppy biên soạn chi tiết, dễ hiểu nhất, giúp các em tự tin nắm vững kiến thức và làm thành thạo các bài tập liên quan.
Lý thuyết cần nắm Phép thử và biến cố
Tổng hợp lý thuyết cơ bản và chi tiết nhất iToan biên soạn giúp các em nám vững kiến thức!
Phép thử và không gian mẫu
a. Phép thử
🌸Phép thử ngẫu nhiên [gọi tắt là phép thử] là một thí nghiệm hay một hành động mà:
- Kết quả của nó không đoán trước được;
- Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.
🌸Phép thử thường được kí hiệu bởi chữ T.
b. Không gian mẫu
🌸Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và được kí hiệu bởi chữ Ω [đọc là ô-mê-ga].
Ví dụ: Gieo một đồng tiền có hai mặt là mặt sấp và mặt ngửa [N]. Khi đó
Phép thử là: Gieo một đồng tiền
Không gian mẫu là: Ω={S,N} , trong đó S kí hiệu cho kết quả “Mặt sấp xuất hiện” và N kí hiệu cho kết quả “Mặt ngửa xuất hiện”.
Biến cố
Như vậy, biến cố A liên quan đến phép thử T là một tập hợp bao gồm các kết quả nào đó của phép thử.
Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được gọi là một kết quả thuận lợi cho A.
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là ΩA . Khi đó người ta nói biến cố A được mô tả bởi tập ΩA .
Tập ∅ được gọi là biến cố không thể [gọi tắt là biến cố không]. Còn tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn.
Phép toán trên các biến cố
• Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử. Tập Ω∖A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A¯¯¯¯.
Ví dụ: Phép thử: Gieo một con súc sắc.
Gọi B là biến cố “Xuất hiện mặt chẵn chấm” thì B¯¯¯¯ là biến cố “Xuất hiện mặt lẻ chấm”.
Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến phép thử. Ta có định nghĩa sau:
• Tập A∪B được gọi là hợp của các biến cố A và B. A∪B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra.
• Tập A∩B được gọi là giao của các biến cố A và B. A∩B xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra.
• Nếu A∩B=∅ thì ta nói A và B xung khắc. Vậy A và B xung khắc khi và chỉ khi chúng không khi nào cùng xảy ra.
Ta có bảng sau
Ví dụ: Xét phép thử: gieo một đồng tiền hai lần với các biến cố:
A: “Kết quả của hai lần gieo là như nhau”.
B: “Có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”.
C: “Lần thứ hai mới xuất hiện mặt sấp”.
D: “Lần đầu xuất hiện mặt sấp”.
Ta có:
A = {SS,NN}; B = {SN;NS;SS}; C = {NS}; D = {SS,SN}
Từ đó
C∪D = {SS;NS;SN} = B;
A∩D = {SS} là biến cố “cả hai lần đều xuất hiện mặt sấp”.
Giải bài tập SGK Đại số 11 Phép thử và biến cố
Bài 1 [trang 63 SGK Đại số 11]:
Gieo một đồng tiền 3 lần.
a.Mô tả không gian mẫu.
b.Xác định các biến cố:
A:”Lần đầu xuất hiện mặt sấp”
B:”Mặt sấp xảy ra đúng một lần”
C: “Mặt ngửa xảy ra ít nhất một lần”.
Lời giải:
a. Kí hiệu : S là đồng tiền ra mặt sấp và N là đồng tiền ra mặt ngửa
Không gian mẫu gồm 8 phần tử:
Ω = {SSS, SSN, NSS, SNS, NNS, NSN, SNN, NNN}
b.Xác định các biến cố:
A:”Lần đầu xuất hiện mặt sấp”
A ={SSS, SSN, SNS, SNN}
B: “Mặt sấp xảy ra đúng một lần”
B = {SNN, NSN, NNS}
C: “Mặt ngửa xảy ra ít nhất một lần”.
C = {SSN, NSS, SNS, NNS, NSN, SNN, NNN}
Bài 2 [trang 63 SGK Đại số 11]:
Gieo một con súc sắc hai lần.
a. Mô tả không gian mẫu
b. Phát biểu các biến cố sau dưới dạng mệnh đề:
A: = {[6,1], [6,2], [6,3], [6,4], [6, 5], [6, 6]}
B: = {[2, 6], [6, 2], [3, 5], [5, 3], [4, 4], [1, 7], [7, 1]}
C: = {[1, 1], [2, 2], [3, 3], [4, 4], [5, 5], [6, 6]}.
Lời giải:
a. Không gian mẫu gồm 36 phần tử:
Ω = {[i, j] | i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Trong đó [i, j] là kết quả “lần đầu xuất hiện mặt i chấm, lần sau xuất hiện mặt j chấm”.
b. Phát biểu các biến cố dưới dạng mệnh đề:
A = {[6,1], [6,2], [6,3], [6,4], [6, 5], [6, 6]}
– Đây là biến cố “lần đầu xuất hiện mặt 6 chấm khi gieo con súc sắc”.
B = {[2, 6], [6, 2], [3, 5], [5, 3], [4, 4]}
– Đây là biến cố ” cả hai lần gieo có tổng số chấm bằng 8″.
C = {[1, 1], [2, 2], [3, 3], [4, 4], [5, 5], [6, 6]}
– Đây là biến cố ” kết quả của hai lần gieo là như nhau”.
Bài 3 [trang 63 SGK Đại số 11]:
Một hộp chứa 4 cái thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4, lấy mẫu ngẫu nhiên 2 thẻ.
a. Mô tả không gian mẫu.
b. Xác định các biến cố sau:
A: “Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn”.
B: “Tích các số trên hai thẻ là số chẵn.”
Lời giải:
a. Do hai thẻ cần chọn không phân biệt thứ tự nên [i;j] với [j;i] là như nhau. Do đó không gian mẫu chỉ là:
Ω = {[1, 2], [1, 3], [1, 4], [2, 3], [2, 4], [3, 4]}
Trong đó [i, j] là kết quả “lần đầu lấy trúng thẻ i và lần 2 lấy trúng thẻ j”.
b. Xác định các biến cố sau:
A: “Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn”.
⇒ A = {[1, 3], [2, 4]}
B: “Tích các số trên hai thẻ là số chẵn”.
⇒ B = {[1, 2], [1, 4], [2, 3], [2, 4], [3, 4]}
Bài 4 [trang 64 SGK Đại số 11]:
Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Kí hiệu Ak là biến cố: “Người thứ K bắn trúng”, k = 1, 2.
a. Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố A1, A2;
A: “Không ai bắn trúng”
B: “Cả hai đều bắn trúng”
C: “Có đúng một người bắn trúng”
D: “Có ít nhất một người bắn trúng”
b. Chứng tỏ rằng A = D−; B và C xung khắc nhau.
Lời giải:
Ak là biến cố: “Người thứ k bắn trúng”
– A1 : “Người thứ nhất bắn trúng”
⇒
– A2 : “Người thứ hai bắn trúng”
⇒
Bài 5 [trang 64 SGK Đại số 11]:
Từ một hộp chứa 10 cái thẻ, trong đó các thẻ đánh số 1, 2, 3, 4, 5 màu đỏ, thẻ đánh số 6 màu xanh và các thẻ đánh số 7, 8, 9, 10 màu trắng. Lấy ngẫu nhiên một thẻ.
a.Mô tả không gian mẫu.
b.Kí hiệu A, B, C là các biến cố sau:
A: “Lấy được thẻ màu đỏ”
B: “Lấy được thẻ màu trắng”
C: “Lấy được thẻ ghi số chắn”.
Hãy biểu diễn các biến cố A, B, C bởi các tập hợp con tương ứng của không gian mẫu.
Lời giải:
a. Không gian mẫu gồm 10 phần tử:
Ω = {1, 2, 3, …, 10}
b. A, B, C “là các biến cố”.
+ A: “Lấy được thẻ màu đỏ”
⇒ A = {1, 2, 3, 4, 5}
+ B: “Lấy được thẻ màu trắng”
⇒ B = {7, 8, 9, 10}
+ C: “Lấy được thẻ ghi số chắn”.
⇒ C = {2, 4, 6, 8, 10}
Bài 6 [trang 64 SGK Đại số 11]:
Gieo một đồng tiền liên tiếp cho đến khi xuất hiện mặt sấp hoặc cả 4 lần ngửa thì dừng lại.
a. Mô tả không gian mẫu.
b. Xác định các biến cố.
A: “Số lần gieo không vượt quá 3”
B: “Số lần gieo là 4”
Lời giải:
a. Không gian mẫu của phép thử gồm 5 phần tử được mô tả sau:
Ω = {S, NS, NNS, NNNS, NNNN}
b. Xác định các biến cố:
+ A: “Số lần gieo không vượt quá 3”
A = {S, NS, NNS}
+ B: “Số lần gieo là 4”
B = {NNNS, NNNN}.
Bài 7 [trang 64 SGK Đại số 11]:
Từ một hộp chứa 5 quả cầu được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai lần mỗi lần một quả và xếp theo thứ tự từ trái sang phải.
a. Mô tả không gian mẫu.
b. Xác định các biến cố sau:
A: “Chữ số sau lớn hơn chữ số trước”
B: “Chữ số trước gấp đôi chữ số sau”
C: “Hai chữ số bằng nhau”.
Lời giải:
a. Không gian mẫu gồm 20 phần tử được mô tả như sau:
Ω = {[1; 2], [2; 1], [1; 3], [3; 1], [1; 4], [4; 1], [1; 5], [5; 1], [2; 3], [3; 2], [2; 4], [4; 2], [2; 5], [5; 2], [3; 4], [4; 3], [3; 5], [5; 3], [4; 5], [5; 4]}
b. Xác định các biến cố sau:
+ A: “Chữ số sau lớn hơn chữ số trước”
A = {[1; 2], [1; 3], [1; 4], [1; 5], [2; 3], [2; 4], [2; 5], [3; 4], [3; 5], 4; 5]}
+ B: “Chữ số trước gấp đôi chữ số sau”
B = {[2; 1], [4; 2]}
+ C: “Hai chữ số bằng nhau”.
C = ∅
Bài tập tự luyện Phép thử và biến cố
Sau khi học xong phần lý thuyết và làm bài tập sách giáo khoa, các bài tập tự luyện sẽ giúp các em củng cố và nâng cao kiến thức!
Phần câu hỏi
Câu 1: Trong các thí nghiệm sau thí nghiệm nào không phải là phép thử ngẫu nhiên:
A. Gieo đồng tiền xem nó mặt ngửa hay mặt sấp
B. Gieo đồng tiền và xem có mấy đồng tiền lật ngửa
C. Chọn bất kì 1 học sinh trong lớp và xem là nam hay nữ
D. Bỏ hai viên bi xanh và ba viên bi đỏ trong một chiếc hộp, sau đó lấy từng viên một để đếm xem có tất cả bao nhiêu viên bi.
Câu 2: Gieo một đồng tiền và một con súc sắc. Số phần tử của không gian mẫu là:
A. 24
B. 12
C. 6
D. 8
Câu 3: Gieo 2 con súc sắc và gọi kết quả xảy ra là tích số hai nút ở mặt trên. Số phần tử của không gian mẫu là:
A. 9
B. 18
C. 29
D. 39
Câu 4: Gieo đồng tiền hai lần. Số phần tử của biến cố để mặt ngửa xuất hiện đúng lần là:
A. 2
B. 4
C. 5
D. 6
Câu 5: Cho phép thử có không gian mẫu Ω={1,2,3,4,5,6} . Các cặp biến cố không đối nhau là:
A. A={1} và B={2,3,4,5,6} .
B. C={1,4,5} và D={2,3,6} .
C. E={1,4,6} và F={2,3}
D. Ω và ∅ .
Phần đáp án
Lời kết
Vậy là bài học với kiến thức về Phép thử và biến cố đã kết thúc. Ở bài học này, các em cần nắm vững kiến thức về không gian mẫu, tập hợp chúng và phép toán của biến cố.
Các em hãy luôn nỗ lực học tập, làm nền tảng cho kì thi THPT quốc gia sắp tới. Học tập là một quá trình dài, nếu em gặp bất kì khó khăn nào, có thể tìm đến sự trợ giúp của các thầy cô giáo Toppy.
Toppy là công ty Edtech về giáo dục trực tuyến, cung cấp trải nghiệm học tập cá nhân cho hàng trăm nghìn học sinh, sinh viên và nhà trường để giải đáp những yêu cầu trong việc học tập thông qua mạng lưới các chuyên gia và giáo viên khắp toàn cầu mà Toppy gọi là các gia sư học thuật quốc tế. Với kho tàng kiến thức khổng lồ theo từng chủ đề, bám sát chương trình sách giáo khoa, các thầy cô Toppy luôn nỗ lực mang đến cho các em những bài giảng hay, dễ hiểu nhất, giúp các em tiến bộ hơn từng ngày.
Chúc các em học tập tốt!