Hướng dẫn iair bài tìm x 1 2x-1 3.25 năm 2024
- 1. tập các đề thi đại học 2002-2012 theo chủ đề Trường THPT Sơn Tây
- 2. Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT 3 1.1 Phương trình và bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Phương trình, bất phương trình hữu tỉ và vô tỉ . . . . . . . 3 1.1.2 Phương trình lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Phương trình,bất phương trình mũ và logarit . . . . . . . . 8 1.2 Hệ Phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Phương pháp hàm số, bài toán chứa tham số . . . . . . . . . . . . 12 Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Bất đẳng thức 17 2.1 Bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Giá trị nhỏ nhất- Giá trị lớn nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Nhận dạng tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 Hình học giải tích trong mặt phẳng 22 3.1 Đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3 Cônic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4 Tổ hợp và số phức 30 4.1 Bài toán đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
- 3. tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.3 Đẳng thức tổ hợp khi khai triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.4 Hệ số trong khai triển nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.5 Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5 Khảo sát hàm số 36 5.1 Tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.2 Cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.3 Tương giao đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.4 Bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6 Hình học giải tích trong không gian 44 6.1 Đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.2 Mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.3 Phương pháp tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . 51 Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 7 Tích phân và ứng dụng 57 7.1 Tính các tích phân sau: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 7.2 Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau: . . . . 59 7.3 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi hình phẳng [H] khi quay quanh Ox. Biết [H] được giới hạn bởi các đường sau: . . . . . . . 59 Đáp Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
- 4. PT-Hệ PT-Hệ BPT 1.1 Phương trình và bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Phương trình, bất phương trình hữu tỉ và vô tỉ . . . . . 3 1.1.2 Phương trình lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Phương trình,bất phương trình mũ và logarit . . . . . . 8 1.2 Hệ Phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Phương pháp hàm số, bài toán chứa tham số . . . . . . . . 12 Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1 Phương trình và bất phương trình 1.1.1 Phương trình, bất phương trình hữu tỉ và vô tỉ Bài 1.1 [B-12]. Giải bất phương trình √ √ x + 1 + x2 − 4x + 1 ≥ 3 x. Bài 1.2 [B-11]. Giải phương trình sau: √ √ √ 3 2 + x − 6 2 − x + 4 4 − x2 = 10 − 3x [x ∈ R]
- 5. PT-Hệ PT-Hệ BPT 4 Bài 1.3 [D-02]. Giải bất phương trình sau: √ [x2 − 3x] 2x2 − 3x − 2 ≥ 0. Bài 1.4 [D-05]. Giải phương trình sau: √ √ 2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4. Bài 1.5 [D-06]. Giải phương trình sau: √ 2x − 1 + x2 − 3x + 1 = 0. [x ∈ R] Bài 1.6 [B-10]. Giải phương trình sau: √ √ 3x + 1 − 6 − x + 3x2 − 14x − 8 = 0. Bài 1.7 [A-04]. Giải bất phương trình sau: 2[x2 − 16] √ 7−x √ + x−3> √ . x−3 x−3 Bài 1.8 [A-05]. Giải bất phương trình sau: √ √ √ 5x − 1 − x − 1 > 2x − 4. Bài 1.9 [A-09]. Giải phương trình sau: √ √ 2 3 3x − 2 + 3 6 − 5x − 8 = 0. Bài 1.10 [A-10]. Giải bất phương trình sau: √ x− x ≥ 1. 1− 2[x2 − x + 1] 1.1.2 Phương trình lượng giác √ Bài 1.11 [D-12]. Giải phương trình sin 3x + cos 3x˘ sin x + cos x = 2 cos 2x Bài 1.12 [B-12]. Giải phương trình √ √ 2[cos x + 3 sin x] cos x = cos x − 3 sin x + 1.
- 6. PT-Hệ PT-Hệ BPT 5 Bài 1.13 [A-12]. Giải phương trình sau: √ 3 sin 2x + cos 2x = 2 cos x − 1 Bài 1.14 [D-11]. Giải phương trình sau: sin 2x + 2 cos x − sin x − 1 √ = 0. tan x + 3 Bài 1.15 [B-11]. Giải phương trình sau: sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x Bài 1.16 [A-11]. Giải phương trình 1 + sin 2x + cos 2x √ = 2 sin x sin 2x. 1 + cot2 x Bài 1.17 [D-02]. Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng của phương trình: cos 3x − 4 cos 2x + 3 cos x − 4 = 0. Bài 1.18 [D-03]. Giải phương trình sau: x π x sin2 [ − ] tan2 x − cos2 = 0. 2 4 2 Bài 1.19 [D-04]. Giải phương trình sau: [2 cos x − 1][2 sin x + cos x] = sin 2x − sin x. Bài 1.20 [D-05]. Giải phương trình sau: π π 3 cos4 x + sin4 x + cos [x − ] sin [3x − ] − = 0. 4 4 2 Bài 1.21 [D-06]. Giải phương trình sau: cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0. Bài 1.22 [D-07]. Giải phương trình sau: x x 2 √ [sin + cos ] + 3 cos x = 2. 2 2
- 7. PT-Hệ PT-Hệ BPT 6 Bài 1.23 [D-08]. Giải phương trình sau: 2 sin x[1 + cos 2x] + sin 2x = 1 + 2 cos x. Bài 1.24 [D-09]. Giải phương trình sau: √ 3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0. Bài 1.25 [D-10]. Giải phương trình sau: sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0. Bài 1.26 [B-02]. Giải phương trình sau: sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x. Bài 1.27 [B-03]. Giải phương trình sau: 2 cot x − tan x + 4 sin 2x = . sin 2x Bài 1.28 [B-04]. Giải phương trình sau: 5 sin x − 2 = 3[1 − sin x] tan2 x. Bài 1.29 [B-05]. Giải phương trình sau: 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0. Bài 1.30 [B-06]. Giải phương trình sau: x cot x + sin x[1 + tan x tan ] = 4. 2 Bài 1.31 [B-07]. Giải phương trình sau: 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x. Bài 1.32 [B-08]. Giải phương trình sau: √ √ sin3 x − 3 cos3 x = sin x cos2 x − 3 sin2 x cos x. Bài 1.33 [B-09]. Giải phương trình sau: √ sin x + cos x sin 2x + 3 cos 3x = 2[cos 4x + sin3 x].
- 8. PT-Hệ PT-Hệ BPT 7 Bài 1.34 [B-10]. Giải phương trình sau: [sin 2x + cos 2x] cos x + 2 cos 2x − sin x = 0. Bài 1.35 [A-02]. Tìm ngiệm thuộc khoảng [0; 2π] của phương trình: cos 3x + sin 3x 5 sin x + = cos 2x + 3. 1 + 2 sin 2x Bài 1.36 [A-03]. Giải phương trình sau: cos 2x 1 cot x − 1 = + sin2 x − sin 2x. 1 + tan x 2 Bài 1.37 [A-05]. Giải phương trình sau: cos2 3x cos 2x − cos2 x = 0. Bài 1.38 [A-06]. Giải phương trình sau: 2[cos6 x + sin6 x] − sin x cos x √ = 0. 2 − 2 sin x Bài 1.39 [A-07]. Giải phương trình sau: [1 + sin2 x] cos x + [1 + cos2 x] sin x = 1 + sin 2x. Bài 1.40 [A-08]. Giải phương trình sau: 1 1 7π + = 4 sin [ − x]. sin x 3π 4 sin [x − ] 2 Bài 1.41 [A-09]. Giải phương trình sau: [1 − 2 sin x] cos x √ = 3. [1 + 2 sin x][1 − sin x] Bài 1.42 [A-10]. Giải phương trình sau: π [1 + sin x + cos 2x] sin [x + ] 1 4 = √ cos x. 1 + tan x 2
- 9. PT-Hệ PT-Hệ BPT 8 1.1.3 Phương trình,bất phương trình mũ và logarit Bài 1.43 [D-11]. Giải phương trình sau: √ √ log2 [8 − x2 ] + log 1 [ 1 + x + 1 − x] − 2 = 0 [x ∈ R] 2 Bài 1.44 [D-03]. Giải phương trình sau: 2 −x 2 2x − 22+x−x = 3. Bài 1.45 [D-06]. Giải phương trình sau: 2 +x 2 −x 2x − 4.2x − 22x + 4 = 0. Bài 1.46 [D-07]. Giải phương trình sau: 1 log2 [4x + 15.2x + 27] + 2 log2 [ ] = 0. 4.2x − 3 Bài 1.47 [D-08]. Giải bất phương trình sau: x2 − 3x + 2 log 1 ≥ 0. 2 x Bài 1.48 [D-10]. Giải phương trình sau: √ 3 √ 3 +4x−4 42x+ x+2 + 2x = 42+ x+2 + 2x [x ∈ R] Bài 1.49 [B-02]. Giải bất phương trình sau: logx [log3 [9x − 72]] ≤ 1. Bài 1.50 [B-05]. Chứng minh rằng với mọi x ∈ R, ta có: 12 x 15 x 20 x [ ] + [ ] + [ ] ≥ 3x + 4x + 5x . 5 4 3 Khi nào đẳng thức sảy ra? Bài 1.51 [B-06]. Giải bất phương trình sau: log5 [4x + 144] − 4 log2 5 < 1 + log5 [2x−2 + 1].
- 10. PT-Hệ PT-Hệ BPT 9 Bài 1.52 [B-07]. Giải phương trình sau: √ √ √ [ 2 − 1]x + [ 2 + 1]x − 2 2 = 0. Bài 1.53 [B-08]. Giải bất phương trình sau: x2 + x log0,7 [log6 [ ]] < 0. x+4 Bài 1.54 [A-06]. Giải phương trình sau: 3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = 0. Bài 1.55 [A-07]. Giải bất phương trình sau: 2 log3 [4x − 3] + log 1 [2x + 3] ≤ 2. 3 Bài 1.56 [A-08]. Giải phương trình sau: log2x−1 [2x2 + x − 1] + logx+1 [2x − 1]2 = 4. 1.2 Hệ Phương trình Bài 1.57 [D-12]. Giải hệ phương trình xy + x − 2 = 0 ; [x; y ∈ R] 2x3 − x2 y + x2 + y 2 − 2xy − y = 0 Bài 1.58 [A-12]. Giải hệ phương trình x3 − 3x2 − 9x + 22 = y 3 + 3y 2 − 9y 1 [x, y ∈ R]. x2 + y 2 − x + y = 2 Bài 1.59 [A-11]. Giải hệ phương trình: 5x2 y − 4xy 2 + 3y 3 − 2[x + y] = 0 [x, y ∈ R] xy[x2 + y 2 ] + 2 = [x + y]2
- 11. PT-Hệ PT-Hệ BPT 10 Bài 1.60 [D-02]. Giải hệ phương trình sau: 23x = 5y 2 − 4y x x+1 4 + 2 = y. 2x + 2 Bài 1.61 [D-08]. Giải hệ phương trình sau: xy + x + y = x2 − 2y 2 √ √ [x, y ∈ R]. x 2y − y x − 1 = 2x − 2y Bài 1.62 [D-09]. Giải hệ phương trình sau: x[x + y + 1] − 3 = 0 5 [x, y ∈ R]. [x + y]2 − 2 + 1 = 0 x Bài 1.63 [D-10]. Giải hệ phương trình sau: x2 − 4x + y + 2 = 0 [x, y ∈ R]. 2 log2 [x − 2] − log√2 y = 0 Bài 1.64 [B-02]. Giải hệ phương trình sau: √ √ 3 x−y = x−y √ x + y = x + y + 2. Bài 1.65 [B-03]. Giải hệ phương trình sau: 2 3y = y + 2 x2 2 3x = x + 2 . y2 Bài 1.66 [B-05]. Giải hệ phương trình sau: √ √ x−1+ 2−y =1 3 log9 [9x2 ] − log3 y 3 = 3. Bài 1.67 [B-08]. Giải hệ phương trình sau: x4 + 2x3 y + x2 y 2 = 2x + 9 [x, y ∈ R]. x2 + 2xy = 6x + 6
- 12. PT-Hệ PT-Hệ BPT 11 Bài 1.68 [B-09]. Giải hệ phương trình sau: xy + x + 1 = 7y [x, y ∈ R]. x2 y 2 + xy + 1 = 13y 2 Bài 1.69 [B-10]. Giải hệ phương trình sau: log2 [3y − 1] = x 4x + 2x = 3y 2 . Bài 1.70 [A-03]. Giải hệ phương trình sau: 1 1 x− =y− x y 2y = x3 + 1. Bài 1.71 [A-04]. Giải hệ phương trình sau: 1 log 1 [y − x] − log4 = 1 4 y x2 + y 2 = 25. Bài 1.72 [A-06]. Giải hệ phương trình sau: √ √+ y − √ = 3 x xy x + 1 + y + 1 = 4. Bài 1.73 [A-08]. Giải hệ phương trình sau: x + y + x3 y + xy 2 + xy = − 5 2 4 x4 + y 2 + xy[1 + 2x] = − 5 . 4 Bài 1.74 [A-09]. Giải hệ phương trình sau: log2 [x2 + y 2 ] = 1 + log2 [xy] 2 2 3x −xy+y = 81. Bài 1.75 [A-10]. Giải hệ phương trình sau: √ [4x2 + 1]x +√ − 3] 5 − 2y = 0 [y 4x2 + y 2 + 2 3 − 4x = 7.
- 13. PT-Hệ PT-Hệ BPT 12 1.3 Phương pháp hàm số, bài toán chứa tham số Bài 1.76 [D-11]. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 2x3 − [y + 2]x2 + xy = m [x, y ∈ R] x2 + x − y = 1 − 2m Bài 1.77 [D-04]. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: √ √ √+ y =1 x √ x x + y y = 1 − 3m. Bài 1.78 [D-04]. Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiệm: x5 − x2 − 2x − 1 = 0. Bài 1.79 [D-06]. Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: ex − ey = ln [1 + x] − ln [1 + y] y − x = a. Bài 1.80 [D-07]. Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm thực: x+ 1 +y+ 1 =5 x y x3 + 1 + y 3 + 1 = 15m − 10. x3 y3 Bài 1.81 [B-04]. Xác định m để phương trình sau có nghiệm √ √ √ √ √ m 1 + x2 − 1 − x2 = 2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2 . Bài 1.82 [B-06]. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: √ x2 + mx + 2 = 2x + 1. Bài 1.83 [B-07]. Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x2 + 2x − 8 = m[x − 2].
- 14. PT-Hệ PT-Hệ BPT 13 Bài 1.84 [A-02]. Cho phương trình: log2 x + 3 log2 x + 1 − 2m − 1 = 0 [m là tham số]. 3 1. Giải phương trình khi m = 2. √ 2. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3 3 ]. Bài 1.85 [A-07]. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: √ √ √4 3 x − 1 + m x + 1 = 2 x2 − 1. Bài 1.86 [A-08]. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt: √ 4 √ √ √ 2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m [m ∈ R]. Đáp số 1 0≤x≤ 4 1.9 x = −2 1.1 x≥4 √ 3− 5 1.10 x = 2 6 1.2 x = 5 π x = − 12 + k2π 1.11 x = 7π + k2π 12 x ≤ −1 2 1.3 x = 2 x = ± 2π + k2π 1.12 3 x≥3 x = k2π x = π + kπ 1.4 x = 3 2 1.13 x = k2π √ 1.5 x = 1 ∨ x = 2 − 2 x = 2π + k2π 3 π 1.14 x = 3 + k2π 1.6 x = 5 1 √ 1.15 cos x = −1; cos x = 2 1.7 x > 10 − 34 π x= 2 + kπ 1.16 π 1.8 2 ≤ x < 10 x= 4 + k2π
- 15. PT-Hệ PT-Hệ BPT 14 π 1.17 x = π ; x = 2 3π 2 ; x= 5π 2 ; x= 7π 2 1.30 x= 12 + kπ [k ∈ Z] 5π x= 12 + kπ x = π + k2π 1.18 π [k ∈ Z] 1.31 x = π + k π x = − + kπ 8 4 4 x = 18 + k 2π π 3 x = 5π + k 2π 18 3 x = ± π + k2π 1.19 3 [k ∈ Z] x = − π + kπ 4 x = π + kπ 1.32 4 2 [k ∈ Z] x = − π + kπ 3 π 1.20 x = + kπ [k ∈ Z] 4 x = − π + k2π 1.33 6 [k ∈ Z] x = kπ x = 42 + k 2π π 7 1.21 2π [k ∈ Z] x=± + k2π 1.34 x = π + kπ [k ∈ Z] 3 4 2 π x = π + k2π 1.35 x= 3 1.22 2 [k ∈ Z] 5π x = − π + k2π 6 x= 3 π x = ± 2π + k2π 1.36 x = 4 + kπ [k ∈ Z] 1.23 3 [k ∈ Z] x = π + kπ 4 1.37 x = k π 2 [k ∈ Z] π x = 18 + k π 1.24 3 [k ∈ Z] 1.38 x = 5π + k2π [k ∈ Z] x = −π + k π 6 2 4 x= π + k2π 1.39 x = − π + kπ 4 1.25 6 5π [k ∈ Z] x = π + k2π x= 6 + k2π 2 x = k2π kπ x= 1.26 9 kπ [k ∈ Z] 1.40 x = − π + kπ 4 x= 2 x = − π + kπ 8 x = 5π + kπ 1.27 x = ± π + kπ 3 [k ∈ Z] 8 π 1.41 x = − 18 + k 2π π 3 [k ∈ Z] x= + k2π 1.28 6 5π [k ∈ Z] x= + k2π 6 x = − π + k2π 1.42 6 [k ∈ Z] x = 7π + k2π 6 x= − π + kπ 1.29 4 [k ∈ Z] x= ± 2π + k2π 3 1.43 x = 0
- 16. PT-Hệ PT-Hệ BPT 15 x = −1 x=0 x=2 1.44 1.60 ∨ x=2 y=1 y=4 1.45 x = 0 ∨ x = 1 1.61 [x; y] = [5; 2] 1.46 x = log2 3 3 1.62 [x; y] = [1; 1]; [2; − ] 2 √ √ 1.47 S = [2 − 2; 1] ∪ [2; 2 + 2] 1.63 [x; y] = [3; 1] 1.48 x = 1 ∨ x = 2 1.64 [x; y] = [1; 1]; [ 3 ; 1 ] 2 2 1.49 log9 73 < x ≤ 2 1.65 x = y = 1 1.66 [x; y] = [1; 1]; [2; 2] 1.50 x = 0 1.67 [x; y] = [−4; 17 ] 4 1.51 2 < x < 4 1 1.68 [x; y] = [1; 3 ]; [3; 1] 1.52 x = 1 ∨ x = −1 1.69 [x; y] = [−1; 1 ] 2 1.53 S = [−4; −3] ∪ [8; +∞] √ √ 1.70 √ y] = [1; 1]; [ −1+ [x; √ 2 5 −1+ 5 ; 2 ] −1− 5 −1− 5 1.54 x = 1 [ 2 ; 2 ] 3 1.71 [x; y] = [3; 4] 1.55 4 0. Chứng minh rằng : 2 + a ≤ 2 a b 1 2 + b . 2 Bài 2.5 [D-05]. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng 1 + x3 + y 3 1 + y3 + z3 1 + z 3 + x3 √ + + ≥ 3 3. xy yz zx Khi nào đẳng thức xảy ra? 2.2 Giá trị nhỏ nhất- Giá trị lớn nhất Bài 2.6 [D-12]. Cho các số thực x, y thỏa mãn [x˘4]2 + [y˘4]2 + 2xy ≤ 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y 3 + 3[xy˘1][x + y˘2]. Bài 2.7 [B-12]. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 0 và x2 + y 2 + z 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x5 + y 5 + z 5 . Bài 2.8 [A-12]. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3|x−y| + 3|y−z| + 3|z−x| − 6x2 + 6y 2 + 6z 2 Bài 2.9 [B-11]. Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2[a2 + b2 ] + ab = [a + b][ab + 2]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a3 b 3 a2 b 2 P= 4 3 + 3 − 9 2 + 2 . b a b a Bài 2.10 [A-11]. Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y z P = + + 2x + 3y y + z z + x .
- 20. thức 19 Bài 2.11 [D-11]. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 2x2 + 3x + 3 trên đoạn [0; 2]. x+1 Bài 2.12 [A-07]. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x2 [y + z] y 2 [z + x] z 2 [x + y] P = √ √ + √ √ + √ √ . y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y Bài 2.13 [A-06]. Cho hai số thực x = 0, y = 0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện: [x + y]xy = x2 + y 2 − xy. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 A= 3 + 3. x y Bài 2.14 [B-10]. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức √ M = 3[a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ] + 3[ab + bc + ca] + 2 a2 + b2 + c2 . Bài 2.15 [B-09]. Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãm [x + y]3 + 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3[x4 + y 4 + x2 y 2 ] − 2[x2 + y 2 ] + 1. Bài 2.16 [B-08]. Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x2 + y 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2[x2 + 6xy] P = . 1 + 2xy + 2y 2 Bài 2.17 [B-07]. Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x 1 y 1 z 1 P =x + +y + +z + . 2 yz 2 zx 2 xy
- 21. thức 20 Bài 2.18 [B-06]. Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = [x − 1]2 + y 2 + [x + 1]2 + y 2 + |y − 2|. Bài 2.19 √ [B-03]. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 4 − x2 . Bài 2.20 [D-10]. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số √ √ y = −x2 + 4x + 21 − −x2 + 3x + 10. Bài 2.21 [D-09]. Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = [4x2 + 3y][4y 2 + 3x] + 25xy. Bài 2.22 [D-08]. Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức [x − y][1 − xy] P = . [1 + x]2 [1 + y]2 Bài 2.23 [D-03]. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x+1 √ trên đoạn [−1; 2]. x2 + 1 2.3 Nhận dạng tam giác Bài 2.24 [A-04]. Cho tam giác ABC không tù thỏa mãn điều kiện √ √ cos 2A + 2 2 cos B + 2 2 cos C = 3. Tính ba góc của tam giác ABC. Đáp số
- 22. thức 21 √ 17−5 5 √ 2.6 Amin = 4 2.13 Amax = 16 2.20 ymin = 2 √ 2.14 Mmin = 2 5 6 25 2.7 P = 2.21 Smax = 2 ; Smin = 36 9 191 2.15 Amin = 16 16 2.8 Pmin = 3 2.16 Pmax = 3; Pmin = 2.22 P = min 2.9 min P = − 23 −6 − 1 ; Pmax = 4 1 4 4 9 2.10 Pmin = 34 2.17 Pmin = √ 33 2 √ 2.23 ymax = 2; ymin = 2.11 GTLN là 17 ;GTNN 2.18 Amin = 2 + 3 0 3 là 3 √ 2.19 max y = 2 2 [−2;2] 2.24 A = 90o ; B = C = 2.12 Pmin = 2 min y = −2 45o [−2;2]
- 23. giải tích trong mặt phẳng 3.1 Đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3 Cônic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1 Đường thẳng Bài 3.1 [D-12]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Các đường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là x+3y = 0 và x˘y +4 = 0; đường thẳng BD đi qua điểm M [− 1 ; 1]. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật 3 ABCD. Bài 3.2 [A-12]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử M 11 ; 1 và đường thẳng AN có phương trình 2x − y − 3 = 0. Tìm tọa độ điểm 2 2 A. Bài 3.3 [D-11]. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B[−4; 1], trọng tâm G[1; 1] và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x − y − 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và C.
- 24. giải tích trong mặt phẳng 23 Bài 3.4 [B-11]. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆ : x−y −4 = 0 và d : 2x − y − 2 = 0. Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8. Bài 3.5 [A-10]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A[6;6], đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E[1;-3] nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. Bài 3.6 [A-09]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I[6;2] là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M[1;5] thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB. Bài 3.7 [A-06]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho các đường thẳng : d1 : x + y + 3 = 0, d2 : x − y − 4 = 0, d3 : x − 2y = 0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 . Bài 3.8 [A-05]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho hai đường thẳng : d1 : x − y = 0 và d2 : 2x + y − 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1 , đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành. Bài 3.9 [A-04]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho hai √ điểm A[0;2] và B[− 3; −1]. Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB. Bài 3.10 [A-02]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac √ vuông góc Oxy, xét tam √ giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là 3x − y − 3 = 0, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. Bài 3.11 [B-10]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C[-4;1], phân giác trong góc A có phương trình x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.
- 25. giải tích trong mặt phẳng 24 Bài 3.12 [B-09]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A[-1;4] và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ : x − y − 4 = 0. Xác định tọa độ các điểm B và C, biết rằng diện tích tam giác ABC bằng 18. Bài 3.13 [B-08]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H[-1;-1], đường phân giác trong của góc A có phương trình x − y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y − 1 = 0. Bài 3.14 [B-07]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho điểm A[2;2] và các đường thẳng : d1 : x + y − 2 = 0, d2 : x + y − 8 = 0. Tìm tọa độ điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. Bài 3.15 [B-04]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho hai điểm A[1;1], B[4;-3]. Tìm điểm C thuộc đường thẳng x − 2y − 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6. Bài 3.16 [B-03]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có AB=AC, BAC = 90o . Biết M[1;-1] là trung điểm cạnh BC và 2 G[ ; 0] là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. 3 Bài 3.17 [B-02]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho hình 1 chữ nhật ABCD có tâm I[ ; 0], phương trình đường thẳng AB là x − 2y + 2 = 0 2 và AB=2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm. Bài 3.18 [D-10]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho điểm A[0;2] và ∆ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên ∆. Viết phương trình đường thẳng ∆, biết rằng khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH. Bài 3.19 [D-09]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có M[2;0] là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao đi qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x − 2y − 3 = 0 và 6x − y − 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC. Bài 3.20 [D-04]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có các đỉnh A[-1;0]; B[4;0]; C[0;m] với m = 0. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G.
- 26. giải tích trong mặt phẳng 25 3.2 Đường tròn Bài 3.21 [D-12]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x˘y + 3 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho AB = CD = 2. Bài 3.22 [B-12]. Trong mặt phẳng có hệ tọa độ Oxy, cho các đường tròn [C1] : x2 + y 2 =, [C2] : x2 + y 2 − 12x + 18 = 0 và đường thẳng d : x − y − 4 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc [C2], tiếp xúc với d và cắt [C1] tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d. Bài 3.23 [D-11]. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A[1; 0] và đường tròn [C] : x2 + y 2 − 2x + 4y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt [C] tại điểm M và N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A. Bài 3.24 [B-11]. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B[ 1 ; 1]. 2 Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E, F. Cho D[3; 1] và đường thẳng EF có phương trình y − 3 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương. Bài 3.25 [A-11]. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : x + y + 2 = 0 và đường tròn [C] : x2 + y 2 − 4x − 2y = 0. Gọi I là tâm của [C], M là điểm thuộc ∆. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến [C] [A và B là các tiếp điểm]. Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10. Bài 3.26 [A-10]. √Trong mặt phẳng với √ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho hai hệ đường thẳng d1 : 3x + y = 0 và d2 : 3x − y = 0. Gọi [T] là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. √ 3 Viết phương trình của [T], biết rằng tam giác ABC có diện tích bằng và điểm 2 A có hoành độ dương. Bài 3.27 [A-09]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho đường tròn [C] : x2 + y 2 + 4x + 4y + 6 = 0 và đường thẳng ∆ : x + my − 2m + 3 = 0, với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn [C]. Tìm m để ∆ cắt [C] tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. Bài 3.28 [A-07]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có A[0;2], B[-2;-2], và C[4;-2]. Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N.
- 27. giải tích trong mặt phẳng 26 Bài 3.29 [B-09]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho đường 4 tròn [C]: [x − 2]2 + y 2 = và hai đường thẳng ∆1 : x − y = 0, ∆2 : x − 7y = 0. 5 Xác định tọa độ tâm K và bán kính của đường tròn [C1 ]; biết đường tròn [C1 ] tiếp xúc với các đường thẳng ∆1 , ∆2 và tâm K thuộc đường tròn [C]. Bài 3.30 [B-06]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho đường tròn [C]: x2 + y 2 − 2x − 6y + 6 = 0 và điểm M[-3;1]. Gọi T1 và T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến [C]. Viết phương trình đường thẳng T1 T2 . Bài 3.31 [B-05]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho hai điểm A[2;0] và B[6;4]. Viết phương trình đường tròn [C] tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của [C] đến điểm B bằng 5. Bài 3.32 [D-10]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A[3;-7], trực tâm là H[3;-1], tâm đường tròn ngoại tiếp là I[- 2;0]. Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương. Bài 3.33 [D-09]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho đường tròn [C]: [x − 1]2 + y 2 = 1. Gọi I là tâm của [C]. Xác định tọa độ điểm M thuộc [C] sao cho IM O = 30o . Bài 3.34 [D-07]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho đường tròn [C]: [x − 1]2 + [y + 2]2 = 9 và đường thẳng d: 3x − 4y + m = 0. Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới [C] [A, B là các tiếp điểm] sao cho tam giác PAB đều. Bài 3.35 [D-06]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho đường tròn [C]: x2 + y 2 − 2x − 2y + 1 = 0 và đường thẳng d: x − y + 3 = 0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn [C], tiếp xục ngoài với đường tròn [C]. Bài 3.36 [D-03]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho đường tròn [C]: [x − 1]2 + [y − 2]2 = 4 và đường thẳng d: x − y − 1 = 0. 1. Viết phương trình đường tròn [C’] đối xứng với đường tròn [C] qua đường thẳng d. 2. Tìm tọa độ các giao điểm của [C] và [C’]. 3.3 Cônic Bài 3.37 [B-12]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình
- 28. giải tích trong mặt phẳng 27 x2 + y 2 = 4. Viết phương trình chính tắc của elip [E] đi qua các đỉnh A, B, C, D của hình thoi. Biết A thuộc Ox. Bài 3.38 [A-12]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn [C] : x2 + y 2 = 8. Viết phương trình chính tắc elip [E], biết rằng [E] có độ dài trục lớn bằng 8 và [E] cắt [C] tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông. x2 y2 Bài 3.39 [A-11]. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip [E] : + = 1. Tìm 4 1 tọa độ các điểm A và B thuộc [E], có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất. Bài 3.40 [A-08]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, hãy viết √ 5 phương trình chính tắc của elip [E] biết rằng [E] có tâm sai bằng và hình chữ 3 nhật cơ sở của [E] có chu vi bằng 20. Bài 3.41 [B-10]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho điểm √ x2 y 2 A[2; 3] và elip [E]: + = 1. Gọi F1 và F2 là các tiêu điểm của [E] [F1 có 3 2 hoành độ âm], M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng AF1 với [E], N là điểm đối xứng của F2 qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AN F2 . Bài 3.42 [D-08]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho parabol [P]: y 2 = 16x và điểm A[1;4]. Hai điểm phân biệt B,C [B và C khác A] di động trên [P] sao cho góc BAC = 90o . Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định. Bài 3.43 [D-02]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho elip x2 y 2 [E] có phương trình + = 1. Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N 16 9 chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng MN luôn tiếp xúc với [E]. Xác định tọa độ của M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó. Bài 3.44 [D-05]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho điểm x2 y2 C[2;0] và elíp [E]: + = 1. Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc [E], biết rằng 4 1 A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều. Đáp số
- 29. giải tích trong mặt phẳng 28 3.1 A[−3; 1]; D[−1; 3].B[1; −3].C[3; −1] A[−2; 0], B[2; 2], C[3; 0], D[−1; −2] 3.17 √ √ 3.2 A[1; −1]; A[4; 5]. 3.18 [ 5 − 1]x ± 2 5 − 2y = 0 3.3 A[4; 3]; C[3; −1] 3.19 3x − 4y + 5 = 0 √ 3.4 N [0; −4], M [0; −2] 3.20 m = ±3 6 N [6; 2]; M [ 5 ; 2 ] 6 5 3.21 [x + 3]2 + [y + 3]2 = 10 3.5 B[0; −4], C[−4; 0] hoặc B[−6; 2], C[2; −6] 3.22 [C] : x2 + y 2 − 6x − 6y + 10 = 0 3.6 y − 5 = 0; x − 4y + 19 = 0 3.23 ∆ : y = 1; y = −3 3.7 M [−22; −11], M [2; 1] 3.24 A[3; 13 ] 3 3.8 A[1; 1], B[0; 0], C[1; −1], D[2; 0] 3.25 M [2; −4] và M [−3; 1] A[1; 1], B[2; 0], C[1; −1], D[0; 0] 1 2 3.26 [x + 2√3 ]2 + [y + 3 ]2 = 1 √ √ 3.9 H[ 3; −1], I[− 3; 1] 8 3.27 m = 0 ∨ m = 15 √ √ 3.10 G1 [ 7+4 3 ; 6+2 3 ] √ 3 −4 3−1 −6−2 3 √3 3.28 x2 + y 2 − x + y − 2 = 0 G2 [ 3 ; 3 ] √ 2 2 8 3.29 K[ 5 ; 4 ]; R = 5 5 3.11 3x − 4y + 16 = 0 3.30 2x + y − 3 = 0 3.12 B[ 11 ; 3 ]; C[ 3 ; − 5 ] 2 2 2 2 3 B[ 2 ; − 5 ]; C[ 11 ; 3 ] 2 2 2 3.31 [x − 2]2 + [y − 1]2 = 1 [x − 2]2 + [y − 7]2 = 49 3.13 C[− 10 ; 3 ] 3 4 √ 3.32 C[−2 + 65; 3] 3.14 B[−1; 3], C[3; 5] √ B[3; −1], C[5; 3] 3.33 M [ 3 ; ± 3 ] 2 2 3.15 C = [7; 3]; [− 11 ; − 27 ] 43 11 3.34 m = 19 ∨ m = −41 3.16 B, C = [4; 0]; [−2; −2] 3.35 M = [1; 4]; [−2; 1]
- 30. giải tích trong mặt phẳng 29 √ 2 3 2 4 3.36 [x − 3]2 + y 2 = 4 3.41 [x − 1]2 + [y − 3 ] = 3 A[1; 0], B[3; 2] 3.37 x2 + y2 =1 3.42 I[17; −4] 20 5 3.38 x2 + y2 16 =1 √ √ 16 3 3.43 M [2 7; 0]; N [0; 21] √ √ √ √ gtnn[M N ] = 7 3.39 A, B = [ 2; 22 ]; [ 2; − 22 ] √ √ x2 y2 3.40 9 + 4 =1 3.44 A, B = [ 7 ; 4 7 3 ]; [ 2 ; − 4 7 3 ] 2 7
- 31. và số phức 4.1 Bài toán đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.2 Công thức tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.3 Đẳng thức tổ hợp khi khai triển . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.4 Hệ số trong khai triển nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.5 Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.1 Bài toán đếm Bài 4.1 [B-12]. Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ. Bài 4.2 [B-05]. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miềm núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ? Bài 4.3 [B-04]. Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được
- 32. và số phức 31 bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải đủ 3 loại câu hỏi [khó, trung bình, dễ] và số câu hỏi dễ không ít hơn 2? Bài 4.4 [B-02]. Cho đa giác đều A1 A2 · · · A2n [n ≥ 2, n nguyên] nội tiếp đường tròn [O]. Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1 , A2 , · · · , A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1 , A2 , · · · , A2n , tìm n. Bài 4.5 [D-06]. Đội thanh nhiên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? 4.2 Công thức tổ hợp Bài 4.6 [B-08]. Cho n, k nguyên dương, k ≤ n. Chứng minh rằng n+1 1 1 1 k + k+1 = k . n+2 Cn+1 Cn+1 Cn Bài 4.7 [B-06]. Cho tập hợp A gồm n phần tử [n ≥ 4]. Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k ∈ {1, 2, · · · , n} sao cho tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất. A4 + 3A3 n+1 n Bài 4.8 [D-05]. Tính giá trị của biểu thức M = [n + 1]! 2 2 2 2 Biết rằng Cn+1 + 2Cn+2 + 2Cn+3 + Cn+4 = 149 [n là số nguyên dương]. 4.3 Đẳng thức tổ hợp khi khai triển Bài 4.9 [A-07]. Chứng minh rằng : 1 1 1 3 1 5 1 2n−1 22n − 1 C2n + C2n + C2n + · · · + C2n = 2 4 6 2n 2n + 1 [n là số nguyên dương].
- 33. và số phức 32 Bài 4.10 [A-05]. Tìm số nguyên dương n sao cho C2n+1 − 2.2C2n+1 + 3.22 C2n+1 − 4.23 C2n+1 + · · · + [2n + 1].22n C2n+1 = 2005. 1 2 3 4 2n+1 Bài 4.11 [B-03]. Cho n nguyên dương. Tính tổng 0 22 − 1 1 23 − 1 2 2n+1 − 1 n Cn + Cn + Cn + · · · + C . 2 3 n+1 n Bài 4.12 [D-08]. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 1 3 2n−1 C2n + C2n + · · · + C2n = 2048. 4.4 Hệ số trong khai triển nhị thức n−1 3 Bài 4.13 [A-12]. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cn = Cn . Tìm số hạng 2 n nx 1 chứa x5 trong khai triển nhị thức Niu-tơn − , x = 0. 14 x Bài 4.14 [A-08]. Cho khai triển [1 + 2x]n = a0 + a1 x + · · · + an xn , trong đó a1 an n ∈ N∗ và các hệ số a0 , a1 , · · · , an thỏa mãn hệ thức a0 + + · · · + n = 4096. 2 2 Tìm hệ số lớn nhất trong các số a0 , a1 , · · · , an . Bài 4.15 [A-06]. Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niuton n 1 của + x7 , biết rằng x4 1 2 C2n+1 + C2n+1 + · · · + C2n+1 = 220 − 1 n [n là số nguyên dương]. Bài 4.16 [A-04]. Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1 + x2 [1 − x]]8 . Bài 4.17 [A-03]. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niuton 1 √ n của + x 5 , biết rằng x3 n+1 n Cn+4 − Cn+3 = 7[n + 3] [n là số nguyên dương, x > 0].
- 34. và số phức 33 Bài 4.18 [A-02]. Cho khai triển nhị thức: x−1 −x n x−1 n x−1 n−1 −x x−1 −x n−1 −x n 0 1 n−1 n 2 2 +2 3 = Cn 2 2 +Cn 2 2 2 3 +· · ·+Cn 2 2 2 3 +Cn 2 3 . 3 1 [n nguyên dương]. Biết rằng trong khai triển đó Cn = 5Cn và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x. Bài 4.19 [B-07]. Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Niuton của [2 + x]n , biết: 3n Cn − 3n−1 Cn + 3n−2 Cn − 3n−3 Cn + · · · + [−1]n Cn = 2048 0 1 2 3 n [n là số nguyên dương]. Bài 4.20 [D-07]. Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của: x[1 − 2x]5 + x2 [1 + 3x]10 . Bài 4.21 [D-04]. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niuton của 7 √ 1 3 x+ √ với x > 0. 4 x Bài 4.22 [D-03]. Với n là số nguyên dương, gọi a3n−3 là hệ số của x3n−3 trong khai triển thành đa thức của [x2 + 1]n [x + 2]n . Tìm n để a3n−3 = 26n. 4.5 Số phức Bài 4.23 [D-12]. Giải phương trình z 2 + 3[1 + i]z + 5i = 0 trên tập hợp các số phức. 2[1 + 2i] Bài 4.24 [D-12]. Cho số phức z thỏa mãn [2 + i]z + = 7 + 8i. Tìm 1+i môđun của số phức w = z + 1 + i. √ Bài 4.25 [B-12]. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − 2 3iz − 4 = 0. Viết dạng lượng giác của z1 và z2 5[z + i] Bài 4.26 [A-12]. Cho số phức z thỏa = 2 − i. Tính môđun của số phức z+1 w = 1 + z + z2.
- 35. và số phức 34 Bài 4.27 [D-11]. Tìm số phức z, biết :z − [2 + 3i]z = 1 − 9i. Bài 4.28 [B-11]. √ 5+i 3 1. Tìm số phức z, biết: z − − 1 = 0. z √ 3 1+i 3 2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = . 1+i Bài 4.29 [A-11]. 1. Tìm tất cả các số phức z, biết z 2 = |z|2 + z. 2. Tính môđun của số phức z, biết: [2z − 1][1 + i] + [z + 1][1 − i] = 2 − 2i. Bài 4.30 [A-10]. − √ √ 1. Tìm phần ảo của số phức z, biết z = [ 2 + i]2 [1 − 2i]. √ − [1 − 3i]3 − 2. Cho số phức z thỏa mãn z = . Tìm môđun của số phức z + iz. 1−i Bài 4.31 [A-09]. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 2z + 10 = 0. Tính giá trị của biểu thức A = |z1 |2 + |z2 |2 . Bài 4.32 [B-10]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: |z − i| = |[1 + i]z|. √ − Bài 4.33 [B-09]. Tìm số phức z thỏa mãn: |z − [2 + i]| = 10 và z z = 25. Bài 4.34 [D-09]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phưc z thỏa mãn điều kiện |z − [3 − 4i]| = 2. √ Bài 4.35 [D-10]. Tìm số phức z thỏa mãn: |z| = 2 và z 2 là số thuần ảo. Đáp số
- 36. và số phức 35 443 4 4.21 C7 = 35 4.1 P = 506 1 4 2 4 1 4 4.2 C3 .C12 .C1 .C8 .C1 .C4 = 207900 4.22 n = 5 2 2 1 2 1 2 4.3 C15 .C10 .C5 + C15 .C10 .C5 + 4.23 z = −1˘2i; z = −2˘i 3 1 1 C15 .C10 .C5 = 56875 4.24 |w| = 5 4.4 n = 8 4.25 z1 = 2[cos 2π + i sin 2π ] 3 3 4 2 1 1 1 2 1 4.5 C12 − [C5 .C4 .C3 + C5 .C4 .C3 + z2 = 2[cos π + i sin π ] 3 3 1 1 2 C5 .C4 .C3 ] = 225 √ √ 4.26 ⇒ |w| = 4 + 9 = 13 4.7 k = 9 3 4.27 z = 2 − i 4.8 M = 4 4.10 n = 1002 4.28 √ √ n+1 3 −2 n+1 1. z = −1 − 3i; z = 2 − 3i 4.11 n+1 2. z = 2 + 2i 4.12 n = 6 4.29 z√= 0, z = − 1 ± 1 i 2 2 −35 5 4.13 16 .x |z| = 32 4.14 a8 = 28 C12 = 126720 8 √ 4.30 Phần ảo z là: − 2 − √ 6 |z + iz| = 8 2 4.15 C10 = 210 3 2 4 0 4.16 C8 .C3 + C8 .C4 = 238 4.31 A = 20 4 4.17 C12 = 495 4.32 x2 + [y + 1]2 = 2 4.18 n = 7, x = 4 4.33 z = 3 + 4i hoặc z = 5 4.19 C11 .21 = 22 10 4.34 [x − 3]2 + [y + 4]2 = 4 4.20 [−2]4 C5 + 33 .C10 = 3320 4 3 4.35 1 + i; 1 − i; −1 + i; −1 − i
- 37. hàm số 5.1 Tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.2 Cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.3 Tương giao đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.4 Bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.1 Tiếp tuyến −x + 1 Bài 5.1 [A-11]. Cho hàm số y = 2x − 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số đã cho. 2. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị [C] tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với [C] tại A và B. Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất. [2m − 1]x − m2 Bài 5.2 [D-02]. Cho hàm số : y= [1] [m là tham số]. x−1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số [1] ứng với m= −1.
- 38. hàm số 37 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong [C] và hai trục tọa độ. 3. Tìm m để đồ thị hàm số [1] tiếp xúc với đường thẳng y = x. 1 3 m 2 1 Bài 5.3 [D-05]. Gọi [Cm ] là đồ thị hàm số y = x − x + [*] [m là 3 2 3 tham số]. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số [*] ứng với m = 2. 2. Gọi M là điểm thuộc [Cm ] có hoành độ bằng −1 . Tìm m để tiếp tuyến của [Cm ] tại điểm M song song với đường thẳng 5x − y = 0. 2x Bài 5.4 [D-07]. Cho hàm số y= . x+1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số đã cho. 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc [C], biết tiếp tuyến của [C] tại M cắt hai trục Ox, Oy tại 1 A, B và tam giác OAB có diện tích bằng . 4 Bài 5.5 [D-10]. Cho hàm số y = −x4 − x2 + 6. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C], biết tiếp tuyến vuông góc với đường 1 thẳng y = x − 1. 6 1 Bài 5.6 [B-04]. Cho hàm số y = x3 − 2x2 + 3x [1] có đồ thị [C]. 3 1. Khảo sát hàm số [1]. 2. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của [C] tại điểm uốn và chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến của [C] có hệ số góc nhỏ nhất. x2 + x − 1 Bài 5.7 [B-06]. Cho hàm số y = x+2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số đã cho 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C], biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của [C]. Bài 5.8 [B-08]. Cho hàm số y = 4x3 − 6x2 + 1 [1]. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số [1]. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số [1], biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M[−1; −9].
- 39. hàm số 38 x+2 Bài 5.9 [A-09]. Cho hàm số y = [1]. 2x + 3 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số [1]. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số [1], biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O. 5.2 Cực trị Bài 5.10 [D-12]. Cho hàm số y = 2 x3 ˘mx2 ˘2[3m2˘1]x + 3 2 3 [1], m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số [1] khi m = 1. 2. Tìm m để hàm số [1] có hai điểm cực trị x1 vàx2 sao cho x1 .x2 +2[x1 +x2 ] = 1 Bài 5.11 [B-12]. Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 3m2 , [1], m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số [1] khi m = 1. 2. Tìm m để đồ thị hàm số [1] có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48. Bài 5.12 [A-12]. Cho hàm số y = x4 − 2[m + 1]x2 + m2 , [1] ,với m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số [1] khi m = 0. 2. Tìm m để đồ thị hàm số [1] có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông. Bài 5.13 [B-11]. Cho hàm số y = x4 − 2[m + 1]x2 + m, [1], m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số [1] khi m = 1. 2. Tìm m để đồ thị hàm số [1] có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.
- 40. hàm số 39 Bài 5.14 [B-02]. Cho hàm số : y = mx4 + [m2 − 9]x2 + 10 [1] [m là tham số]. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số [1] ứng với m= 1. 2. Tìm m để hàm số [1] có ba điểm cực trị. x2 + [m + 1]x + m + 1 Bài 5.15 [B-05]. Gọi [Cm ] là đồ thị của hàm số y = [*] x+1 [m là tham số]. 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số [*] khi m= 1. 2. Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị [Cm ] √ luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20. Bài 5.16 [B-07]. Cho hàm số: y = −x3 + 3x2 + 3[m2 − 1]x − 3m2 − 1 [1], m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số [1] khi m= 1. 2. Tìm m để hàm số [1] có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số [1] cách đều gốc tọa độ O. Bài 5.17 [A-02]. Cho hàm số: y = −x3 + 3mx2 + 3[1 − m2 ]x + m3 − m2 [1] [m là tham số]. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàn số [1] khi m = −1. 2. Tìm k để phương trình: −x3 + 3x2 + k 3 − 3k 2 = 0 có ba nghiệm phân biệt. 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số [1]. 1 Bài 5.18 [A-05]. Gọi[Cm ] là đồ thị của hàm số y = mx + [*] [m là tham x số]. 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số [*] khi m = . 4 2. Tìm m để hàm số [*] có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của [Cm ] đến 1 tiệm cận xiên của [Cm ] bằng √ . 2 x2 + 2[m + 1]x + m2 + 4m Bài 5.19 [A-07]. Cho hàm số y = [1], m là tham x+2 số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số [1] khi m = −1. 2. Tìm m để hàm số [1] có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.
- 41. hàm số 40 5.3 Tương giao đồ thị 2x + 1 Bài 5.20 [D-11]. Cho hàm số y = x+1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số đã cho 2. Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị [C] tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau. Bài 5.21 [D-03]. x2 − 2x + 4 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y= [1]. x−2 2. Tìm m để đường thẳng dm : y = mx + 2 − 2m cắt đồ thị hàm số [1] tại hai điểm phân biệt. Bài 5.22 [D-06]. Cho hàm số : y = x3 − 3x + 2. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số đã cho. 2. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A[3; 20] và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị [C] tại 3 điểm phân biệt. Bài 5.23 [D-08]. Cho hàm số : y = x3 − 3x2 + 4 [1]. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số [1]. 2. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I[1; 2] với hệ số góc k [k> −3] đều cắt đồ thị của hàm số [1] tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Bài 5.24 [D-09]. I. Cho hàm số y = x4 − [3m + 2]x2 + 3m có đồ thị là [Cm ], m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m= 0. 2. Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị [Cm ] tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. II. Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị hàm số x2 + x − 1 y= tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng x AB thuộc trục tung. Bài 5.25 [B-09]. I. Cho hàm số y = 2x4 − 4x2 [1]. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số [1].
- 42. hàm số 41 2. Với giá trị nào của m, phương trình x2 |x2 − 2| = m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt? II. Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị hàm số x2 − 1 y= tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB= 4. x 2x + 1 Bài 5.26 [B-10]. Cho hàm số y = . x+1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số đã cho. 2. Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị [C] tại hai điểm phân biệt A, B √ sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 [O là gốc tọa độ]. mx2 + x + m Bài 5.27 [A-03]. Cho hàm số y= [1] [mlà tham số]. x−1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số [1] khi m = −1. 2. Tìm m để đồ thị hàm số [1] cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương. −x2 + 3x − 3 Bài 5.28 [A-04]. Cho hàm số y= [1]. 2[x − 1] 1. Khảo sát hàm số [1]. 2. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số [1] tại hai điểm A, B sao cho AB= 1. Bài 5.29 [A-06]. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x3 − 9x2 + 12x − 4. 2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2|x3 | − 9x2 + 12|x| = m. Bài 5.30 [A-10]. Cho hàm số y = x3 − 2x2 + [1 − m]x + m [1], m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số [1] khi m = 1. 2. Tìm m để đồ thị của hàm số [1] cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x2 + x2 + x2 < 4. 1 2 3 5.4 Bài toán khác Bài 5.31 [D-04]. Cho hàm số : y = x3 − 3mx2 + 9x + 1 [1] [m là tham số]. 1. Khảo sát hàm số [1] ứng với m = 2. 2. Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số [1] thuộc đường thẳng y = x + 1.
- 43. hàm số 42 Bài 5.32 [B-03]. Cho hàm số : y = x3 − 3x2 + m [1] [m là tham số]. 1. Tìm m để đồ thị hàm số [1] có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số [1] ứng với m= 2. mx2 + [3m2 − 2]x − 2 Bài 5.33 [A-08]. Cho hàm số y = [1], với m là tham x + 3m số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số [1] khi m = 1. 2. Tìm các giá trị của tham số m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số [1] bằng 45o . Đáp số 5.1 m = −1 5.12 m = 0 √ 5.2 −1 + 4 ln 4 ; m = 1 5.13 m = 2 ± 2 2 3 5.3 m = 4 5.14 m < −3 or 0 < m < 3 5.15 M [−2; m − 3]; N [0; m + 1] 5.4 M [− 1 ; −2]; M [1; 1] 2 5.16 m = ± 1 2 5.5 y = −6x + 10 5.17 −1 < k < 3, k = 0, k = 2 8 5.6 y = −x + 3 y = 2x − m2 + m √ √ 5.7 y = −x+2 2−5; y = −x−2 2− 5.18 m = 1 5 √ 5.19 m = −4 ± 2 6 15 21 5.8 y = 24x + 15; y = 4 x − 4 5.20 k = −3 5.9 y = −x − 2 5.21 m > 1 2 5.10 m = 3 5.22 m > 15 ,m = 24 4 5.11 m = ±2 5.23
- 44. hàm số 43 5.24 I[− 1 < m < 1, m = 0]; II[m = 5.29 4 < m < 5 3 1] √ 5.30 − 1 < m < 1, m = 0 4 5.25 I[0 < m < 1]; II[m = ±2 6] 5.26 m = ±2 5.31 m = 0 or m = ±2 5.27 − 1 < m < 0 2 5.32 m > 0 √ 1± 5 5.28 m = 2 5.33 m = ±1
- 45. giải tích trong không gian 6.1 Đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.2 Mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.3 Phương pháp tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . . . 51 Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.1 Đường thẳng và mặt phẳng Bài 6.1 [D-12]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x−1 y+1 z = = và hai điểm A [1; -1; 2], B [2; -1; 0]. Xác định tọa độ 2 −1 1 điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M. Bài 6.2 [B-12]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A[0;0;3], M[1;2;0]. Viết phương trình mặt phẳng [P] qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM. Bài 6.3 [A-12]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x+1 y z−2 d: = = , mặt phẳng [P] :x + y − 2z + 5 = 0 và điểm A [1; -1; 2 1 1 2]. Viết phương trình đường thẳng δ cắt d và [P] lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN.
- 46. giải tích trong không gian 45 Bài 6.4 [D-11]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A[1; 2; 3] và x+1 y z−3 đường thẳng d : = = . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua 2 1 −2 điểm A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox. Bài 6.5 [B-11]. 1. Trong không gian hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng x−2 y+1 z ∆ : = = và mặt phẳng [P]: x + y + z − 3 = 0. Gọi I 1 −2 −1 là giao điểm của ∆ √ [P]. Tìm tọa độ điểm M thuộc [P] sao cho MI vuông và góc với ∆ và MI =4 14. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng x+2 y−1 z+5 ∆: = = và hai điểm A[−2; 1; 1]; B[−3; −1; 2]. Tìm 1 3 −2 điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho tam giác MAB có diện tích tọa độ √ bằng 3 5. Bài 6.6 [A-11]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A[2; 0; 1], B[0; −2; 3] và mặt phẳng [P ] : 2x − y − z + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc [P ] sao cho M A = M B = 3. Bài 6.7 [D-02]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng [P] : 2x − y + 2 = 0 và đường thẳng [2m + 1]x + [1 − m]y + m − 1 = 0 dm : mx + [2m + 1]z + 4m + 2 = 0 [m là tham số]. Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng [P]. Bài 6.8 [D-03]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng x + 3ky − z + 2 = 0 [P] : x − y − 2z + 5 = 0 và đường thẳng dk : [k là tham kx − y + z + 1 = 0 số]. Xác định k để đường thẳng dk vuông góc với mặt phẳng [P]. Bài 6.9 [D-04]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1 B1 C1 . Biết A[a;0;0], B[−a;0;0], C[0;1;0], B1 [−a;0;b], a> 0, b> 0. a] Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B1 C và AC1 theo a, b. b] Cho a, b thay đổi, nhưng luôn thỏa mãn a+b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa hai đường thẳng B1 C và AC1 lớn nhất.