Làm thế nào để chứng minh phân giác

Muốn chứng tỏ một tia nào đó [chẳng hạn tia Oz] là tia phân giác của một góc [chẳng hạn góc xOy] ta phải chứng tỏ nó thỏa mãn hai điều kiện:

- Tia Oz nằm giữa hai tia Oy và Ox

- $\widehat{xOz}$ = $\widehat{zOy}$ [hoặc một trong hai góc $\widehat{xOz}$; $\widehat{zOy}$ = $\frac{\widehat{xOy}}{2}$]

2. Vẽ tia phân giác của một góc cho trước:

- Nếu góc đã cho biết số đo [chẳng hạn vẽ tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$ = a$^{\circ}$]. Gọi Oz là tia phân giác của $\widehat{xOy}$. Ta có số đo của $\widehat{xOz}$ = $\frac{a^{\circ}}{2}$, trong đó tia Ox đã biết.

- Nếu góc đã cho là góc bất kì, không biết số đo, ta tiến hành theo hai cách sau:

Cách 1: Dùng thước đo góc để đo góc đó, biết số đo, ta tiến hành theo thứ tự các bước ở trên.

Cách 2: Gấp trang giấy [nếu là giấy trắng] : Cho cố định đỉnh O và gấp trang giấy sao cho tia Ox trùng với tia Oy, thì nếp gấp chính là tia phân giác của góc đó.

Ví dụ 1: Cho góc $\widehat{xOy}$ = 126$^{\circ}$. Vẽ tia phân giác của góc đó.

Hướng dẫn:

Gọi tia phân giác của góc đó là Oz, ta có:

$\widehat{xOz}$ = $\frac{\widehat{xOy}}{2}$ = $\frac{126^{\circ}}{2}$ = 63$^{\circ}$

Vẽ tia Oz hợp với tia Ox đã biết một góc $\widehat{xOz}$ = 63$^{\circ}$ sao cho tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy. 

Ví dụ 2: Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ các tia Oy, Oz và Ot sao cho $\widehat{xOy}$ = 20$^{\circ}$; $\widehat{xOz}$ = 40$^{\circ}$ ; $\widehat{xOt}$ = 80$^{\circ}$. Hãy chỉ ra tia Oy và Oz là tia phân giác của góc nào?

Hướng dẫn:

Ta có: $\widehat{xOy}$ < $\widehat{xOt}$ < $\widehat{xOz}$ suy ra tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz, tia Oz nằm giữa hai tia Oy và Ot

Ta có:

• Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz
• $\widehat{xOy}$ = $\frac{\widehat{xOz}}{2}$

Suy ra Oy là tia phân giác của $\widehat{xOz}$

• Oz nằm giữa hai tia Ot và Ox
• $\widehat{xOz}$ = $\frac{\widehat{xOt}}{2}$

Suy ra Oy là tia phân giác của $\widehat{xOz}$

B. Bài tập và hướng dẫn giải

1. Cho hình bên có góc AOD vuông. Biết $\widehat{AOB} = \widehat{BOC}=\widehat{COD}$, tia OE và OF là hai tia phân giác của $\widehat{AOB}$ và $\widehat{COD}$. Tính số đo của $\widehat{EOF}$

2. Hai góc $\widehat{xOy}$ và $\widehat{yOz}$ là hai góc kề bù nhau. Trong đó $\widehat{yOz}$ = 30$^{\circ}$. Trên nửa mặt phẳng bờ là xz có chứa tia Oy kẻ tia On. Giả sử $\widehat{xOn}$ = a$^{\circ}$. Tìm giá trị của a$^{\circ}$ để tia Oy là tia phân giác của $\widehat{xOz}$

3. Cho góc $\widehat{xOy}$ và Oz là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$, gọi Oz' là tia đối của tia Oz. Hãy so sánh số đo của $\widehat{xOz'}$ với số đo của $\widehat{yOz'}$

4. Cho góc $\widehat{AOB}$ = 60$^{\circ}$, $\widehat{AOC}$ = 30$^{\circ}$. Hai góc có chung đỉnh O và chung cạnh OA. Vẽ tia OF nằm giữa hai tia OA và OB sao cho $\widehat{BOF}$ = 45$^{\circ}$. Tia OF là tia phân giác của góc nào?

=> Xem hướng dẫn giải

Từ khóa tìm kiếm: giải toán lớp 6, các dạng toán lớp 6, phương pháp giải các dạng toán lớp 6, cách giải bài toán dạng Chứng minh tia phân giác của góc Toán lớp 6

§5. TÍNH CHẤT TIA PHẦN GIÁC CỦA MỘT GÓC A. Tóm tắt kiến thức Định lí 1. Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. > => MA = MB [h.3.42] / M c B Hỉnh 3.42 xOz = zOy M e Oz MA 1 Ox ; MB 1 Oy Định lí 2 Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó. Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó. B. Ví dụ giải toán Ví dụ. Cho tam giác ABC vuông tại A [AB < AC]. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ tam giác BCD vuông cân tại D. Chứng minh AD là tia phân giác BAC . Giải. [h.3.43] Hạ DI 1 AB; DH 1 AC. Ta có DI//AC nên DI 1DH. Hình 3.43 -Xét ABDI và ACDH có: ĩ = H = 90°, BD = DC [gt] Dị = D3 [cùng phụ với Dọ ] nên ABDI = ACDH suy ra DI - DH do đó AD là tia phân giác cùa BAC . Nhận xét Vì chưa có khoảng cách từ D đến AB và AC nên việc vẽ DI và DH là suy luận tự nhiên. Sai lầm có thể mắc là BD = CD thì kết luận ngay AD là tia phân giác của BAC . Sai lầm ở chỗ DB và DC không vuông góc với AB và AC. c. Hưỏng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa Bài 31. Bài 32. Giải. M cách đều hai cạnh Ox và Oy của góc xOy [hai khoảng cách đó bằng nhau vì đều là khoảng cách giữa hai cạnh song song cúa thước ]. Vậy theo định lí 2, điểm M thuộc tia phàn giác của góc xOy và OM là tia phân giác của góc xOy. Giải, [h.3.44] Gọi K là giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài CBx và BCy. Kẻ KD1 Bx , KE 1 BC , KF 1 Cy. K thuộc tia phàn giác của góc CBx nên KD = KE [1]. K thuộc tia phân giác của góc BCy nên KE = KF [2]. Từ [1] và [2] suy ra KD = KF. Do đó K thuộc tia phân giác của góc A. Nhận xét. Muốn chứng minh điểm K thuộc tia phàn giác của góc A thì cẳn chứng minh K cách đều hai cạnh của góc A [KD = KF]. Bài 33. Giải Ot và Ot' là các tia phân giác của hai góc kề bù xOy và xOy' nên tOt' = 90° . Chứng minh: xOt + xôt' = I xôy +1 xõy' = I [xôy + xOy'] = 1.180° = 90° . Suy ra tót' = 90°. Nếu M thuộc tia Ot thì M cách đều hai cạnh Ox, Oy của góc xOy. Nếu M thuộc tia đối của tia Ot thì M cách đều hai cạnh Ox'.Oy' của góc x'Oy'. Vậy nếu M thuộc đường thẳng Ot thì M cách đều hai đường tháng xx' và yy'. Tương tự, nếu M thuộc đường thẳng Ot' thì M cách đều hai đường thẳng xx' và yy'. Xét điểm M cách đều hai đường thẳng xx' và yyf: Nêu M nằm trong góc xOy thì M thuộc tia Ot. Nếu M nằm trong góc x'Oy' thì M thuộc tia đối của tia Ot. Nếu M năm trong góc xOy' thì M thuộc tia Ot'. Nếu M nằm trong góc x'Oy thì M thuộc tia đối của tia Ot'. Khi M = 0 thì khoáng cách từ M đến xx' và đến yy' đều bằng 0. Tập hợp các điếm cách đều hai đường thẳng cắt nhau xx', yy' là hai đường thẳng Ot và Ot', đó là các đường phân giác của các gồc tạo bới hai đường thẳng xx', yy'. Bài 34. Giai, [h.3.45] AOBC = AODA [c.g.c] => BC = AD. A OBC = A ODA [câu a] Hình 3:45 Cj - Aj IA = IC IB = ID. c2 — A 2. AIAB = AICD [g.c.g]: , c] A IOA - A IOC [c.c.c] => O| = o7 OI là tia phân giác cúa góc xOy. Bài 35. Giải, [h.3.46] Cách 1. Áp dụng bài 34 [SGK], dùng thước vẽ các điếm A, B, c, D, I [xem hình vẽ ở bài 34]. Tia OI là tia phàn giác của góc xOy. Cách 2. Dùng thước vẽ được các điểm A Hình 3.46 trên Ox, B trên Oy sao cho OA = OB. Dùng thước vẽ được trung điểm c của AB. AAOC = ABOC [c.c.c] => AOC = BOC nên oc cũng là đường phân giác của góc o. D. Bài tạp luyện thêm Cho góc nhọn xOy. Trên cạnh Ox lấy điểm A, trên cạnh Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Đường vuông góc với Ox kẻ từ A, cắt Oy tại c. Đường vuông góc với Oy kẻ từ B, cắt Ox tại D và cắt AC tại I. Đường vuông góc với Ox kẻ từ D, cắt Oy tại E. Đường vuông góc với Oy kẻ từ c, cắt Ox tại F và cắt DE tại K. Chứng minh ba điểm o. I, K thắng hàng. Cho tam giác ABC có góc A bằng 120°. Tia phán giác góc A cắt BC tại D, tia phân giác góc ADC cắt AC tại I. Gọi H, K là hình chiếu của I trên đường thẳng AB, BC. Chứng minh IH = IK. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ chứa AB không chứa điếm c, vẽ tia Ax. Trên nửa mặt phẳng bờ chứa AC không chứa điểm B, vẽ tia Ay sao cho xAB = yAC. Kẻ BD vuông góc với Ax [D e Ax], ké CE vuông góc với Ay [E e Ay]. Đường thắng BD và CE căt nhau tại K. Chứng minh rằng KA là tia phân giác của DKE. Cho tam giác ABC có A = 120°, đường phân giác AD. kẻ DI vuông góc với AB, DK vuông góc với AC chứng minh tam giác DIK đều. Lòi giải - Hướng dẫn - Đáp số 1. [h.3.47] AOAC = AOBD [g.c.g] =>OD = OC. AOAI= AOBI [cạnh huyền - cạnh góc vuông] => 1A = IB => I thuộc đường phân giác của xOy [1]. AODK = AOCK [cạnh huyền - cạnh góc vuông] => KD = KC => K thuộc đường phân giác cua xOy [2]. Từ [1] và [2] => I, K cùng thuộc đường phân giác của xOy =>O; I; K thẳng hàng. Nhận xét. Chúng ta có thêm một cách chứng minh những điểm thẳng hàng: Những điểm cùng nằm trên đường phân giác của một góc thì thắng hàng. 2. [h.3.48] Kẻ IE 1AD, ta có BAC = 120° => IAH = 60°, AD là tia phân giác BAC nên DAC = ị BAC = 60°. 2 Suy ra DAC - CAx, hay AC là tia phân giác của ADx nên IH = IE. DI là tia phàn giác của góc ADC nên IK = IE. Suy ra IH = IK. Nhận xét. Khi giải các bài toán về đường phân giác, bạn nên chú ý đến đường phân giác trong và ngoài của tam giác. AD là đường phân giác cua BAC => A, = = IbTc = 60° ; DI = DK. 1 - ? Tam giác AID có Âị = 60°; Ấĩò = 90° => D, = 30° Tam giác ADK có A ọ = 60°; AKD = 90° => D2 = 30° => IDK = DÌ + dỊ = 60° . Tam giác DIK có DI = DK: IDK = 60° =>tam giác DIK là tam giác đều.