Tổng hợp lý thuyết và hướng dẫn cách giải bài tập cấp số cộng - bài 3 - Toán 11 chi tiết ngắn gọn, đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm bắt các kiến thức cơ bản và nâng cao hiệu quả nhất. Cùng Vuihoc.vn tìm hiểu để dễ dàng giải các bài tập về cấp số cộng nhé!
Là 1 dãy số hữu hạn hoặc vô hạn, trong đó từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi là công sai d [d được gọi là công sai của cấp số cộng].Dãy số [un] được xác định bởi:
$\left\{\begin{matrix} u_{1}=a& \\ u_{n+1}=u_{n}+d
\end{matrix}\right.$
$n\in N^{*}$
Lưu ý: Trường hợp đặc biệt khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi [tất cả các số hạng đều bằng nhau].
Ví dụ: Dãy số tự nhiên chẵn 2,4,6,8,...2n,... Là một cấp số cộng với công sai d=2
Dãy số 2,5,8,11,14,17,20,23,26,29 là một cấp số cộng với công sai 3.
1.2. Công thức cấp số cộng
1.2.1. Công thức số hạng tổng quát
Với cấp số cộng có số hạng đầu $u_{1}$ và công sai d thì số hạng tổng quát $u_{n}$ của nó được xác định bằng với công thức cấp số cộng sau: $u_{n}=u_{1}+[n-1]d$.
Ví dụ: Cho cấp số cộng un có $u_{1}$=2, công sai d= 3, tính $u_{13}$
Ta có: $u_{13}=u_{1}+[13-1]d=38$
1.2.2. Tính tổng của cấp số hạng
Giả sử $u_{n}$ là một cấp số cộng, với mọi số nguyên dương n, gọi $S_{n}$ là tổng n số hạng đầu tiên của nó, [$S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+...+u_{n}$]. Khi đó ta có: $S_{n}=\frac{[u_{1}+u_{2}]n}{2}$
Kết hợp với công thức: $u_{n}=u_{1}+[n-1]d$, ta có:
$S_{n}=\frac{\left [ 2u_{1}+[n-1]d \right ]n}{2}= nu_{1}+\frac{n[n-1]}{2}d$
Ví dụ: Cho cấp số cộng $u_{n}$ có số hạng đầu tiên $u_{1}=3$ công sai d=5, tính tổng 20 số hạng đầu tiên.
Áp dụng công thức tính tổng cấp số cộng ta có:
$S_{20}=\frac{\left [ 2.3+[20-1].5 \right ]20}{2}=1010$
1.3. Tính chất của cấp số cộng
Trong 1 cấp số cộng, trừ số hạng đầu và số hạng cuối thì mỗi số hạng đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó:
2. Hướng dẫn giải bài tập cấp số cộng chi tiết và dễ hiểu nhất
2.1. Tìm cấp số cộng, các yếu tố trong bài tập cấp số cộng
Phương pháp giải bài tập cấp số cộng dạng xác định cấp số cộng và các yếu tố của cấp số cộng như sau:
+ Dãy số [$u_{n}$] là một cấp số cộng ⇔ $u_{n+1}-u_{n}=d$ không phụ thuộc vào n và d là công sai.
+ Để xác định một cấp số cộng, ta cần tìm số hạng đầu $u_{1}$ và công sai d. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua $u_{n}$ và d.
Ta cùng xét các ví dụ bài tập cấp số cộng có lời giải sau đây:
VD1: Cho 1 cấp số cộng $u_{n}$ biết rằng số hạng đầu $u_{1}$=13 ; và $u_{8}$=26. Cấp số cộng có công sai bằng bao nhiêu?
Lời giải:
VD2:Tìm công sai của một cấp số cộng biết số hạng đầu $u_{1}$= – 6 và số hạng $u_{9}$= 50.
Áp dụng công thức: $u_{n}=u_{1}$+d[n-1]
$u_{1}$=6, n=9, $u_{9}$=50
Vậy đáp án là d=7
VD3: Tìm 4 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng biết tổng của chúng là 20 và tổng bình phương của chúng là 120.
Lời giải:
VD4: Cấp số cộng: 2; 5; 8; 11; 14;...Tìm d, tổng của 20 số hạng đầu tiên.
Lời giải:
Ta có $-5=-2+[-3]; -8=-5+[-3]; -11=-8+[-3]; -14=-11+[-3];...d=-3$
Áp dụng công thức $S_{n}=nu_{1}+\frac{n[n-1]}{2}d$, ta có: $S_{20}=-610
2.2. Tìm điều kiện để dãy số là một cấp số cộng
Phương pháp: Lập cấp số cộng của dãy số a,b,c
VD1: Cho phương trình sau: $x^{3}-3x^{2}-9x+m=0$, tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Lời giải:
VD2: Cho cấp số cộng $u_{n}$ với a, b, c theo thứ tự là một cấp số cộng, đẳng thức nào đúng:
A. $a^{2}+c^{2}=2ab+2bc+2ac$ B. $a^{2}-c^{2}=2ab+2bc-2ac$ C. $a^{2}+c^{2}=2ab+2bc-2ac$
D. $a^{2}-c^{2}=2ab-2bc+2ac$
Lời giải:
Đáp án là C
VD3: Xác định x để 3 số:1+2x, $2x^{2}-1$, -2x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Lời giải:
Trên đây là toàn bộ lý thuyết và các dạng giải bài tập cấp số cộng thường gặp. Để đạt được kết quả cao các em nên làm thêm nhiều dạng bài khác nữa. Hy vọng với bài viết này, các em học sinh có thể giải các bài tập từ cơ bản đến nâng cao thật thành thục. Để học và ôn tập nhiều hơn, các em truy cập Vuihoc.vn và đăng ký khóa học ngay từ hôm nay nhé!
Cấp số cộng là dạng toán cơ bản của kiến thức lớp 11 có rất nhiều trong các đề thì tốt nghiệp và đại học. Tuy nhiên, có rất nhiều các bạn học sinh không nắm chắc được tính chất cấp số cộng, công thức tính tổng cấp số cộng, công thức cấp số cộng,..Chính vì vậy, chúng tôi sẽ tổng hợp chi tiết lý thuyết về cấp số cộng và bài tập chi tiết trong bài viết dưới đây.
Cấp số cộng là gì?
Trong toán học, cấp số cộng là một dãy số [hữu hạn hoặc vô hạn] trong đó kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0.
[un] là cấp số cộng ⇔ ∀n ∈ N∗, Un+1 = Un+ d
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng
d = Un+1– un
Tính chất cấp số cộng
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng [trừ số hạng đầu và cuối] đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với với nó, nghĩa là
Công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng
Nếu 1 cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bằng công thức sau:
un= u1 + [n – 1]d [ n ≥ 2].
Công thức tính tổng cấp số cộng
Giả sử [un] là một cấp số cộng, với mọi số nguyên dương n, gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của nó, [Sn = u1+u2+u3+…un]. Khi đó ta có:
Kết hợp với công thức: un= u1 + [n – 1]d, ta có:
Tham khảo
Bài tập về cấp số cộng có lời giải chi tiết
Ví dụ 1: Dãy số 1; 3; 5; 7 là một cấp số cộng. Vì 3=1+2; 5=3+2; 7=5+2 nên đây là cấp số cộng với công sai d=2, u1= 1.
Ví dụ 2: Tìm số hạng thứ 2 của cấp số cộng biết số hạng thứ 7 là 100 và công sai là 2.
Lời giải:
Áp dụng công thức: un= u1 + [n – 1]d
u2 = u7 + [ 2 – 7 ]d = 100 – 5.2 = 90
Ví dụ 3: Cho ba số 3; x; 9 theo thứ đó lập thành một CSC. Tìm x.
Ta có:
Vậy x = 6 .
Ví dụ 4: Cho cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 và công sai bằng 2. Tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng.
Áp dụng công thức:
Ta có:
Ví dụ 5: Một xưởng có đăng tuyển công nhân với đãi ngộ về lương như sau: Trong quý đầu tiên thì xưởng trả là 6 triệu đồng/quý và kể từ quý thứ 2 sẽ tăng lên 0,5 triệu cho 1 quý. Hỏi với đãi ngộ trên thì sau 5 năm làm việc tại xưởng, tổng số lương của công nhân đó là bao nhiêu?
Lời giải
Giả sử công nhân làm cho xưởng n quý thì mước lương khi đó kí hiệu [un] [triệu đồng]
Quý đầu: u1 = 6
Các quý tiếp theo: un+1 = un + 0,5 với ∀n ≥ 1
Mức lương của công nhân mỗi quý là 1 số hạng của dãy số un. Mặt khác, lương của quý sau hơn lương quý trước là 0,5 triệu nên dãy số un là một cấp số cộng với công sai d = 0,5.
Ta biết 1 năm sẽ có 4 quý => 5 năm sẽ có 5.4 = 20 quý. Theo y/c của đề bài ta cần tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng [un].
Lương tháng quý 20 của công nhân: u20 = 6 + [20 – 1].0,5 = 15,5 triệu đồng
Tổng số lương của công nhân nhận được sau 5 năm làm việc tại xưởng:
Ví dụ 6:
Ví dụ 7 Cho CSC [un] thỏa mãn
1. Xác định công sai?
2. Tính tổng S = u5 + u7 +…+ u2011
Lời giải
2. Ta có u5,u7,…,u2011 lập thành CSC với công sai d = 6 và có 1003 số hạng nên
Hy vọng với những thông tin mà chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp các bạn nắm được cấp số cộng là gì? Công thức cấp số cộng để vận dụng giải các bài tập nhé
Đánh giá bài viết
XEM THÊM
Định lý Sin, Cos và công thức sin cos trong tam giác chi tiết từ A – Z
Tập xác định của hàm số mũ, lũy thừa, logarit cực đơn giản [VD minh họa]