Lập được bao nhiêu số chia hết cho 15
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \(\overline {abcd} \,\,\left( {a;b;c;d \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\},\,\,a \ne b \ne c \ne d} \right)\). Vì \(\overline {abcd} \,\, \vdots \,\,15\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overline {abcd} \,\, \vdots \,\,5 \Rightarrow d \in \left\{ {0;5} \right\}\\\overline {abcd} \,\, \vdots \,\,3\end{array} \right.\). + TH1: \(d = 0\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc0} \) \( \Rightarrow a + b + c\,\, \vdots \,\,3\). Các bộ ba chữ số chia hết cho 3 là \(\left\{ {1;2;3} \right\};\,\,\left\{ {1;3;5} \right\};\,\,\left\{ {2;3;4} \right\};\,\,\left\{ {3;4;5} \right\}\). \( \Rightarrow \) có \(4.3! = 24\) cách chọn \(a,\,\,b,\,\,c\). \( \Rightarrow \) Có 24 số thỏa mãn. TH2: \(d = 5\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc5} \) \( \Rightarrow a + b + c + 5\,\, \vdots \,\,3\) \( \Rightarrow a + b + c\) chia 3 dư 1. Các bộ ba chữ số chia 3 dư 1 là \(\left\{ {0;1;3} \right\};\,\,\left\{ {1;2;4} \right\};\,\,\left\{ {0;3;4} \right\}\). Chọn C Gọi số cần tìm là N = abcd¯ . Do N chia hết cho 15 nên N phải chia hết cho 3 và 5, vì vậy d có 1 cách chọn là bằng 5 và a + b + c + d chia hết cho 3. Do vai trò các chữ số a, b, c như nhau, mỗi số a và b có 9 cách chọn nên ta xét các trường hợp: TH1: a + b + d chia hết cho 3, khi đó c ⋮ 3 => c ∈{3;6;9}, suy ra có 3 cách chọn c. TH2: a + b + d chia 3 dư 1, khi đó c chia 3 dư 2 => c∈{2;5;8}, suy ra có 3 cách chọn c. TH3: a + b + d chia 3 dư 2, khi đó c chia 3 dư 1 => c ∈ {1;4;7} suy ra có 3 cách chọn. Vậy trong mọi trường hợp đều có 3 cách chọn c nên có tất cả: 9.9.3.1 = 243 số thỏa mãn. Ta có • TH1. Nếu d = 0 thì a + b + c chia hết cho 3 Mỗi bộ sau đều lập được 6 số: (1;2;3),(1;2;6),(1;3;5),(1;5;6),(2;3;7),(2;6;7),(3;5;7),(5;6;7) • TH2. Nếu d = 5 thì a + b + c + 5 chia hết cho 3 Mỗi bộ sau đều lập được 4 số: (0;1;3);(0;1;6);(0; 3; 7); (0;6;7). Mỗi bộ sau đều lập được 6 số: (1;2;7);(1;3;6); (3;6;7) Tóm lại có tất cả 6.8+4.4+6.3=82 số thỏa mãn. Chọn B. Phương pháp giải: - Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5. - Xét các trường hợp sau: TH1: \(d = 0\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc0} \). + \(a,\,\,b,\,\,c \equiv 3\,\,\left( {\bmod 1} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {1;4;7} \right\}\). + \(a,\,\,b,\,\,c \equiv 3\,\,\left( {\bmod 2} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {2;5;8} \right\}\). + Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2. TH2: \(d = 5\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc5} \). + Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 2 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1. + Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 3. + Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2. Lời giải chi tiết: Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \(\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0} \right)\). Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5. \( \Rightarrow d \in \left\{ {0;5} \right\}\). TH1: \(d = 0\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc0} \). Để số cần tìm chia hết cho 3 thì \(a + b + c\,\, \vdots \,\,3\). Ta có các nhóm: \(\left\{ \begin{array}{l}\left\{ {0;9} \right\}\,\, \equiv \,\,3\left( {\bmod 0} \right)\\\left\{ {1;4;7} \right\} \equiv 3\,\,\left( {\bmod 1} \right)\\\left\{ {2;8} \right\} \equiv 3\,\,\left( {\bmod 2} \right)\end{array} \right.\) |