Phương pháp chứng minh đường kính

Định lí 1 :

 Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

Định lí 2 :

Trong đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm dây ấy.

Định lí 3 :

Trong đường tròn, đường kính đi qua trung điểm với một dây không qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

==============================================

BÀI TẬP SGK

BÀI 10 TRANG 104 :
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, kẻ hai đường cao BD và CE 

1. Chứng minh bốn Điểm B, E,  D, C cùng thuộc một đường tròn
2. Chứng minh DE < BC.

GIẢI.

 1.B, E,  D, C nằm trên đường tròn

Xét  ΔBCE vuông tại E [gt]

= > ΔBCE nội tiếp đường tròn đường kính BC [1].

Hay B, E, C nằm trên đường tròn đường kính BC[1].

Xét  ΔBCD vuông tại D [gt]

= > ΔBCD nội tiếp đường tròn đường kính BC

Hay D, B,C  nằm trên đường tròn đường kính BC [2].

Từ [1] và [2] : B, E, D, C nằm trên đường tròn đường kính BC .

2.Chứng minh DE < BC . 

Xét đường tròn đường kính BC, ta có :

DE là dây cung [D, E nằm trên đường tròn đường kính BC  ]

=> DE < BC [định lí ]

BÀI 10 TRANG 104 :

Kẻ đường kính OM CD tại M

=> MC = MD

AH  // OM // BK [cùng vuông góc CD]

Xét tứ giác ABKH, ta có :

AH  // BK [cmt]

=> tứ giác ABKH là hình thang.

Xét hình thang ABKH, ta có :

OA = OB [AB là đường kính]

AH  // OM // BK [cmt]

=> MH = MK

Hay HC + CM = MD + DK

MÀ : MC = MD [cmt]

=> CH = DK.

BÀI 2 :

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn [O] đường kính AD. H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh :

a] BHCD là hình bình hành.

b] Kẻ đường kính OI vuông góc BC tại I, chứng minh : I, H, D thẳng hàng.

c] AH = 2OI

a] BHCD là hình bình hành.

Xét 𝛥 ACD nt đường tròn [O] đường kính AD

=> 𝛥 ACD vuông tại C

=> CD AC

Mà : BH AC [H là trực tâm]

=> CD // BH [cùng vuông góc AC]

Cmtt, ta được : BD // CH

Xét tứ giác BHCD , ta có :

BHCD là hình bình hành

CD // BH [cmt]

BD // CH [cmt]

tứ giác BHCD là hình bình hành.

b]I, H, D thẳng hàng.

đường kính OI BC tại I

=> IB = IC

Mà : hai đường chéo HD và BC của hình bình hành BHCD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

=> IH = ID

Hay I, H, D thẳng hàng.

c] AH = 2OI

Xét 𝛥 ABC có H là trực tâm

=> AH BC

Mà : OI BC

=> OI // AH

Xét 𝛥 AHD, ta có :

OA = OD [AD là  đường kính của [O]]

OI // AH [cmt]

=> OI là đường trung bình trong 𝛥 AHD

=> AH = 2OI

 =================================================

BÀI 1 :

Cho đường tròn [O] có AB là đường kính. Vẽ hai dây AD và BC song song nhau. Chứng minh rằng :

a]      AD = BC.

b]      CD là đường kính của [O].

BÀI 1 :

Cho tam giác ABC [AB < AC]. Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a]      Chứng minh rằng : B, D, C, E cùng nằm trên đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này.

b]      Chứng minh rằng : AB .AE = AC.AD

c]      Gọi K là điểm đối xứng của H qua I. chứng minh rằng : BHCK là hình bình hành.

d]     Xác định tâm I của đường tròn qua A, B, K, C.

e]      Chứng minh rằng : OI  AH.

BÀI 3 :

Cho điểm A nằm trên đường tròn [O] có CB là đường kính [AB < AC]. Vẽ dây AD vuông góc BC tại H.

a]      Chứng minh : tam giác ABC vuông tại A.

b]      H là trung điểm AD;  AC = CD; BC là tia phân giác góc ABD.

c]     

Các phương pháp chứng minh tiếp tuyến

I . Phương pháp chứng minh :

Để chứng minh đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn [O;R] ta dùng các cách sau đây:

Cách 1 : Chứng minh khoảng cách từ O đến d bằng R. Hay nói cách khác ta vẽ \[OH\bot d\], chứng minh \[OH=R\].

Cách 2:  Nếu biết d và [O] có một giao điểm là A, ta chỉ cần chứng minh \[OA\bot d\].

Trên đây là hai cách chủ yếu, ngoài ra còn có các cách sau.    

Cách 3: Cách này dựa trên bài toán phụ sau:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn [O]. Tia Ax thỏa \[\widehat{xAB}=\widehat{ACB}\] [Ax cùng phía với tia AC đối với đường thẳng AB]. Khi đó Ax là tia tiếp tuyến của [O].

Cách này thường dùng để chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Cách 3 trên là một ví dụ cho phương pháp chứng minh trùng khít – một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh các bài toán đảo. Và phương pháp này cũng được dùng nhiều trong các bài toán chứng minh tiếp tuyến.

II . Bài toán ví dụ:

Bài toán 1:Cho đường tròn [O] đường kính AB. C là một điểm thay đổi trên đường tròn [O] . Tiếp tuyến của [O] tại C cắt AB tại D.Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với phân giác góc ODC, đường này cắt CD tại M. Chứng minh rằng đường thẳng d qua M song song với AB luôn tiếp xúc với [O] khi C thay đổi.

Giải:

Ta thấy rằng đường thẳng d và [O] chưa có giao điểm nào, do đó ta dùng cách 1 để giải bài toán này.

Vẽ \[OH\bot d[H\in d]\].  Ta cần chứng minh OH = OC.

Ta có tam giác   DMO cân tại D, suy ra  \[\widehat{DMO}=\widehat{DOM}\]. Mà  \[\widehat{HMO}=\widehat{DOM}\][So le trong].

Nên ta có \[\widehat{DMO}=\widehat{HMO}\].

Từ đó ta có \[\Delta CMO=\Delta HMO\], suy ra OH = OC. Vậy d là tiếp tuyến của [O].

Bài toán 2: Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và  F. BF và CE cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm AI. Chứng minh: MF là tiếp tuyến của [O].

Giải

Ta thấy F là giao điểm của MF và [O]. Ta sẽ sử dụng cách 2 để chứng minh. Tức là ta cần chứng minh \[\widehat{MFO}=90{}^\circ \].

Ta chứng minh được I là trực tâm của tam giác ABC.

Trong tam giác vuông AFI có FM là trung tuyến nên MF = FA = BI, suy ra tam giác MFA cân tại M, suy ra \[\widehat{MFA}=\widehat{FAM}\].

Ta cũng có:

\[\widehat{CFO}=\widehat{OCF}\]

[Tam giác OCF cân tại O].

Từ đó: \[\widehat{MFA}+\widehat{CFO}=\widehat{FAM}+\widehat{OCF}=90{}^\circ \]. Suy ra \[\widehat{MFA}=90{}^\circ \] . Vậy \[FO\bot FM,F\in [O]\] nên MF là tiếp tuyến của [O].

III . Bài tập tự luyện :

Bài 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Ax, By là hai tiếp tuyến của [O] [Ax ,By cùng phía đối với đường thẳng AB]. Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho AC.BD = \[\frac{1}{4}.A{{B}^{2}}\] . Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm [O].

Bài 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Trên đoạn AB lấy điểm M, gọi H là trung điểm AM. Đường thẳng qua H vuông góc với AB cắt [O] tại C. Đường tròn đường kính MB cắt CB tại I. Chứng minh HI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MI.

Bài 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, M là một điểm trên đoạn OB. Đường thẳng qua M vuông góc với AB tại M cắt [O] tại C và D, AC cắt BD tại P, AD cắt BC tại Q, AB cắt PQ tại I. Chứng minh IC và ID là tiếp tuyến của [O].

Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, A thuôc nửa đường tròn. Vẽ \[CH\bot AB[H\in AB]\]. M là trung điểm CH, BM cắt tiếp Ax của [O] tại P. Chứng minh PC là tiếp tuyến của đường tròn [O].

Bài 5: Cho tam giác đều ABC cạnh a ngoại tiếp đường tròn [O]. Trên các cạnh AB và AC lấy các điểm M, N sao cho chu vi tam giác AMN bằng a. Chứng minh MN tiếp xúc với [O].

Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC [ AB < AC], T là một điểm thuộc đoạn OC. Đường thẳng qua T vuông góc với BC cắt AC tại H và cắt tiếp tuyến tại A của [O] tại P, BH cắt [O] tại D. Chứng minh PD là tiếp tuyến của [O].

Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn [O]. Phân giác góc BAC cắt BC tại D và cắt [O] tại M. Chứng minh BM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

Bài 8: Cho đường tròn [O] và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến [O] [B, C là hai tiếp tuyến ]. Gọi D là điểm đối xứng của B qua O, AD cắt [O] tại E. Chứng minh OA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE.

Bài viết gợi ý: