Phương trình 2 mặt phẳng song song

13:58:0220/04/2019

HayHocHoi.Vn đã giới thiệu tới các em các dạng toán về phương trình đường thẳng trong không gian, bài tập về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian gần như liên hệ chặt chẽ với nhau. Vì vậy mà trong bài viết này, chúng ta sẽ hệ thống lại các dạng toán về phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz.

I. Sơ lược lý thuyết về phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

- Vec tơ 

 là vec tơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng (P) nếu giá của  ⊥ (P).

- Nếu 

 là VTPT của (P) thì k cũng là VTPT của (P).

2. Cặp vec tơ chỉ phương của mặt phẳng

- Hai vectơ 

không cùng phương là cặp vectơ chỉ phương (VTCP) của (P) nếu các giá của chúng song song hoặc nằm trên (P).

- Nếu 

 là cặp VTCP của (P) thì  là VTPT của (P).

3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

- Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 > 0.

• Nếu (P) có PT: Ax + By + Cz + D = 0 thì 

 là một VTPT của (P).

• Phương trình mặt phẳng đi qua M(x0, y0, z0) và có một VTPT 

 là: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0;

* Lưu ý:

- Nếu trong phương trình mặt phẳng (P) không chưa ẩn nào thì (P) song song hoặc chứa trục tương ứng, ví dụ: Phương trình mp (Oyz): x = 0; mp (Oxy) là: z = 0; mp (Oxz) là: y = 0.

- Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, (P) đi qua A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c):   

 ,(a.b.c≠0)

4. Khoảng cách từ 1 điểm tới mặt phẳng

- Trong không gian Oxyz cho điểm M(xM, yM, zM) và mp(P): Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó khoảng cách từ điểm M tới mp(P) được tính theo công thức:

 

5. Vị trí tương đối giữa 2 mặt phẳng

- Trong không gian cho mp(P): Ax + By + Cz + D = 0 và mp(Q): A'x + B'y + C'z + D' = 0

 ◊ (P)≡(Q) ⇔ 

 ◊ (P)//(Q) ⇔ 

 ◊ (P)∩(Q) ⇔ 

 hoặc 

 ◊ (P)⊥(Q) ⇔ 

6. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

- Trong không gian cho mp(P): Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu (S): (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2. Để xét vị trí giữ (P) và (S) ta thực hiện như sau:

◊ Bước 1: Tính khoảng cách d từ tâm I của (S) đến (P).

◊ Bước 2: so sánh d với R

  ° Nếu d[I,(P)]>R thì (P) không cắt (S).

  ° Nếu d[I,(P)]=R thì (P) tiếp xúc với (S) tại H, khi đó H được gọi là tiếp điểm đồng thời là hình chiếu vuông góc của I lên (P) và (P) được gọi là tiếp diện.

  ° Nếu d[I,(P)]

  

 

  Bán kính (C) là: 

, tâm J của (C) là hình chiếu vuông góc của I lên (P).

7. Góc giữa 2 mặt phẳng

- Trong không gian cho mp(P): Ax + By + Cz + D = 0 và mp(Q): A'x + B'y + C'z + D' = 0. Góc giữa (P) và (Q) bằng hoặc bù với 2 VTPT

, . Tức là:

 

 

II. Các dạng toán Phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz.

• Dạng 1: Phương trình mặt phẳng

* Phương pháp

- Phương trình: Ax + By + Cz + D = 0 là phương trình của một mặt phẳng ⇔ A2 + B2 + C2 > 0.

- Chú ý: Đi kèm với họ mặt phẳng (Pm) thường có thêm các câu hỏi phụ:

 Câu hỏi 1: Chứng minh rằng họ mặt phẳng (Pm) luôn đi qua một điểm cố định.

 Câu hỏi 2: Cho điểm M có tính chất K, biện luận theo vị trí của M số mặt phẳng của họ (Pm) đi qua M.

 Câu hỏi 3: Chứng minh rằng họ mặt phẳng (Pm) luôn chứa một đường thẳng cố định.

* Ví dụ: Cho phương trình: mx + m(m - 1)y - (m2 - 1)z - 1 = 0. (*)

 a) Tìm điều kiện của m để phương trình (*) là phương trình của một mặt phẳng, gọi là họ (Pm).

 b) Tìm điểm cố định mà họ (Pm) luôn đi qua.

 c) Giả sử (Pm) với m ≠ 0, ±1 cắt các trục toạ độ tại A, B, C.

  ° Tính thể tích tứ diện OABC.

  ° Tìm m để ΔABC nhận điểm G(1/9;1/18;1/24) làm trọng tâm.

* Lời giải:

a) Để (*) là PTMP thì: m2 + [m(m-1)]2 + [-(m2-1)]2 > 0

 ⇔ m2 + m2(m-1)2 + (m2-1)2 > 0

- Ta thấy: 

 nên m2 + m2(m-1)2 + (m2-1)2 ≥ 0 ∀ m,

 dấu = xảy ra khi và chỉ khi 

 hệ này vô nghiệm

 nên: m2 + [m(m-1)]2 + [-(m2-1)]2 > 0, ∀ m

⇒ PT (*) là PT mặt phẳng với mọi giá trị của m

b) Để tìm điểm cố định mà họ mặt phẳng (Pm) luôn đi qua ta thực hiện theo các bước:

 + Bước 1: Giả sử M(x0; y0; z0) là điểm cố định của họ (Pm), khi đó Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0, ∀m.

 + Bước 2: Nhóm theo bậc của m rồi cho các hệ số bằng 0, từ đó nhận được (x0; y0; z0).

 + Bước 3: Kết luận.

- Từ PT(*) ta có: mx + m(m - 1)y - (m2 - 1)z - 1 = 0

⇔ mx + m2y - my - m2z + z - 1 = 0

⇔ (y - z)m2 + (x - y)m + z - 1 = 0

⇒ Điểm mà họ Pm đi qua không phụ thuộc vào m nên ta có:

⇒ Họ Pm luôn đi qua điểm M(1;1;1).

c) Ta có ngay tọa độ các điểm A,B,C là:

 

- Khi đó thể tích tứ diện OABC được tính theo công thức:

 

- Điểm 

 là trọng tâm của ABC khi:

 

• Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua 1 điểm và biết VTPT hoặc cặp VTCP

* Phương pháp:

 ♦ Loại 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) khi đã biết vectơ pháp tuyến 

 và một điểm M0(x0; y0; z0) thuộc (P)

⇒ Phương trình (P) có dạng : A(x – x0) + B(y – y0 ) + C(z – z0) = 0 ;

- Khai triển, rút gọn rồi đưa về dạng tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0, với D = -(Ax0 + By0 + Cz0).

♦ Loại 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ba điểm M, N, I không thẳng hàng

- Tìm vectơ pháp tuyến của (P):

;

- Viết PT mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến là 

  như Loại 1.

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;5;-7) có VTPT là 

 =(5;-2;-3).

* Lời giải:

- Mặt phẳng (P) đi qua M(2;5;-7) có vectơ pháp tuyến là 

=(5;-2;-3) có phương trình:

 5(x - 2) - 2(y - 5) - 3(z + 7) = 0

 ⇔ 5x - 2y - 3z - 21 = 0.

 Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;5;-7) và lấy vectơ  

=(1;-2;3) và  = (3;0;5) làm VTCP.

* Lời giải:

- Ta tìm VTPT của (P): 

 

   

- Mặt phẳng (P) đi qua M(2;5;-7) có vectơ pháp tuyến là  

=(5;-2;-3) có phương trình:

 5(x - 2) - 2(y - 5) - 3(z + 7) = 0 ⇔ 5x - 2y - 3z - 21 = 0.

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(2;-1;3), B(4;0;1), C(-10;5;3).

* Lời giải:

- Ta có 

 = (2;1;-2);  = (-12;6;0).

- Gọi  

  =(12;24;24)=12(1;2;2).

- Ta chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là 

=(1;2;2).

⇒ Phương trình của mặt phẳng (P) là:

 1.(x – 2) + 2(y + 1) + 2(z – 3) = 0 ⇔ x + 2y + 2z – 6 = 0.

• Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua 1 điểm và song song mp(Q)

* Phương pháp:

- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm M0(x0; y0; z0) và song song với mặt phẳng (Q) : Ax + By + Cz + D = 0

– Phương trình (P) có dạng : Ax + By + Cz + D’ = 0 (*)

– Thay toạ độ điểm M0 vào (*) ta tìm được D’.

 Ví dụ: Cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x + 3y - 4z - 2 = 0 và điểm A(0;2;0). Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với (P).

* Lời giải:

- Vì (Q) song song với (P) nên phương trình mặt phẳng (Q) có dạng:

 2x + 3y - 4z + D = 0.   (*)

- Điểm A thuộc (Q) nên thay toạ độ của A vào (*) ta được: 2.0 + 3.2 - 4.0 + D = 0 ⇒ D = -6.

⇒ Vậy phương trình của mặt phẳng (Q) là : 2x + 3y - 4z - 6 = 0.

• Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua 2 điểm và vuông góc với mp(Q)

* Phương pháp:

- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm M, N và vuông góc với mặt phẳng (Q):

Ax + By + Cz + D = 0

– Tìm vectơ pháp tuyến của (P):

 

– Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến là 

như Loại 1.

 Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x + 3y - 4z - 2 = 0 và điểm A(0;2;0).Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua OA và vuông góc với (P) với O là gốc toạ độ.

* Lời giải:

- Hai vectơ có giá song song hoặc được chứa trong (α) là :

 

= (0;2;0) và p=(2;3;-4).

⇒ (α) có vectơ pháp tuyến 

=[,p] = (-8;0;-4).

⇒ Mặt phẳng (α) đi qua điểm O(0;0;0) và có vectơ pháp tuyến là

 = (-8;0;-4) có PT:

 -8x – 4z = 0 ⇔ 2x + z = 0.

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1;0;0), B(0;-3;0), C(0;0;-2).

* Lời giải:

- Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ta được phương trình (P) có dạng:

 

 ⇔  ⇔ 6x - 2y - 3z - 6 = 0.

• Dạng 5: Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng

* Phương pháp:

- Sử dụng các kiến thức phần vị trí tương đối của 2 mặt phẳng ở trên.

Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình tổng quát sau đây :

a) (P): x + 2y + 3z + 4 = 0 và (Q): x + 5y - z - 9 = 0.

b) (P): x +  y + z + 5 = 0 và (Q): 2x + 2y + 2z + 6 = 0.

* Lời giải:

a) (P): x + 2y + 3z + 4 = 0 và (Q): x + 5y - z - 9 = 0.

- Gọi

,  là VTPT của (P) và (Q), ta có: =(1;2;3) , =(1;5;-1)

- Ta thấy:

, vậy (P) cắt (Q).

b) (P): x +  y + z + 5 = 0 và (Q): 2x + 2y + 2z + 6 = 0.

- Gọi 

,  là VTPT của (P) và (Q), ta có: =(1;1;1) , =(2;2;2)

- Ta thấy:

 , vậy (P)//(Q).

 Ví dụ 2: Xác định giá trị của m và n để cặp mặt phẳng sau đây song song với nhau:

(P): 2x + my + 3z – 5 = 0,

(Q) : nx – 8y – 6z + 2 = 0.

* Lời giải:

- Để (P)//(Q) thì: 

• Dạng 6: Khoảng cách từ 1 điểm tới mặt phẳng

* Phương pháp

♦ Loại 1: Tính khoảng cách từ điểm M(xM, yM, zM) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0, ta dùng công thức:

 

♦ Loại 2: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Ta lấy điểm M thuộc (P) khi đó khoảng cách từ (P) tới (Q) là khoảng cách từ M tới (Q) và tính theo công thức như ở loại 1.

 Ví dụ 1. Cho hai điểm A(1;-1;2), B(3;4;1) và mặt phẳng (P) có phương trình : x + 2y + 2z - 10 = 0. Tính khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng (P).

* Lời giải:

- Ta có: 

- Tương tự:

 Ví dụ 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) cho bởi phương trình sau đây :

(P): x + 2y + 2z + 11 = 0.

(Q): x + 2y + 2z + 2 = 0.

* Lời giải:

- Ta lấy điểm M(0;0;-1) thuộc mặt phẳng (P), kí hiệu d[(P),(Q)] là khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta có:

 

⇒ d[(P),(Q)] = 3.

Ví dụ 3. Tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A(2;3;4) và mặt phẳng (P): 2x + 3y + z - 17 = 0.

* Lời giải:

- Xét điểm M(0;0;z) ∈ Oz, ta có :

- Điểm M cách đều điểm A và mặt phẳng (P) là:

 

⇒ Vậy điểm M(0;0;3) là điểm cần tìm.

 Ví dụ 4: Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2) lần lượt có phương trình là (P1): Ax + By + Cz + D = 0 và (P2): Ax + By + Cz + D' = 0 với D ≠ D'.

a) Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P1) và (P2).

b) Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng (P1) và (P2).

* Áp dụng cho trường hợp cụ thể với (P1): x + 2y + 2z + 3 = 0 và (P2): 2x + 4y + 4z + 1 = 0.

* Lời giải:

a) Ta thấy rằng (P1) và (P2) song song với nhau, lấy điểm M(x0; y0; z0) ∈ (P1), ta có:

 Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 ⇒ (Ax0 + By0 + Cz0) = -D  (1)

- Khi đó, khoảng cách giữa (P1) và (P2) là khoảng cách từ M tới (P2):

  (theo (1))

b) Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng đã cho sẽ có dạng (P): Ax + By + Cz + E = 0. (2)

- Để (P) cách đều hai mặt phẳng (P1) và (P2) thì khoảng cách từ M1(x1; y1; z1) ∈ (P1) đến (P) bằng khoảng cách từ M2(x2; y2; z2) ∈ (P2) đến (P) nên ta có:

 

  (3)

mà (Ax1 + By1 + Cz1) = -D ; (Ax2 + By2 + Cz2) = -D' nên ta có:

(3) 

 vì E≠D, nên: 

⇒ Thế E vào (2) ta được phương trình mp(P):  Ax + By + Cz + ½(D+D') = 0

* Áp dụng cho trường hợp cụ thể với (P1): x + 2y + 2y + 3 = 0 và (P2): 2x + 4y + 4z + 1 = 0.

a) Tính khoảng cách giữa (P1) và (P2):

- mp(P2) được viết lại: x + 2y + 2z + ½ = 0

 

b) Ta có thể sử dụng 1 trong 3 cách sau:

- Cách 1: áp dụng kết quả tổng quát ở trên ta có ngay phương trình mp(P) là:

- Cách 2: (Sử dụng phương pháp qũy tích): Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm, điểm M(x; y; z) ∈ (P) khi:

 

 

 

- Cách 3: (Sử dụng tính chất): Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng đã cho sẽ có dạng:

 (P): x + 2y + 2z + D = 0.

 + Lấy các điểm

∈ (P1) và  ∈ (P2), suy ra đoạn thẳng AB có trung điểm là 

 + Mặt phẳng (P) cách đều (P1) và (P2) thì (P) phải đi qua M nên ta có: 

 

III. Luyện tập bài tập Viết phương trình mặt phẳng

Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng (P), biết:

a) (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB với A(1; 1; 2) và B(1; −3; 2).

b) (P) đi qua điểm C(1; 2; −3) và song song với mặt phẳng (Q) có phương trình x − 2y + 3z + 1 = 0.

c) (P) đi qua điểm D(1; 1; 2) và có cặp vtcp 

(2; -1, 1), (2; -1; 3).

d) (P) đi qua điểm E(3; 1; 2) và vuông góc với hai mặt phẳng (R1): 2x + y + 2z - 10 = 0 và (R2): 3x + 2y + z + 8 = 0.

Bài 2: Cho hai điểm A(1; −1; 5), B(0; 0; 1).

a) Tìm điểm M thuộc Oy sao cho ΔMAB cân tại M.

b) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với trục Oy.

Bài 3: Cho hai điểm A(2; 1; −3), B(3; 2; −1) và mặt phẳng (Q) có phương trình (Q): x + 2y + 3z − 4 = 0.

a) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (Q).

b) Tìm tọa độ điểm I thuộc (Q) sao cho I, A, B thẳng hàng.

Bài 4: Cho điểm M1(2; 1; −3) và hai mặt phẳng (P1), (P2) có phương trình:

(P1): x + y + 2z + 3 = 0 và (P2): x + (m − 2)y + (m − 1)z − 3m = 0.

1) Tìm m để (P1) song song với (P2).

2) Với m tìm được ở câu 1) hãy:

 a. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P1) và (P2).

 b. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng (P1) và (P2).

 c. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P1), (P2)) và d[(Q), (P1)] = 2d[(Q), (P2)].

Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua điểm G(1; 2; 3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm ΔABC.

b) Đi qua điểm H(2; 1; 1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm ΔABC.

c) Đi qua điểm M(1; 1; 1) cắt chiều dương của các trục toạ độ tại ba điểm A, B, C sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất.

Bài 6: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình là: (P): x - 3y - 3z + 5 = 0 và (Q): (m2 + m + 1)x − 3y + (m + 3)z + 1 = 0. Với giá trị nào của m thì:

a) (P)//(Q)?     b) (P)≡(Q)?

c) (P) cắt (Q)?   d) (P)⊥(Q)?