Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sin cos
Phương pháp giải b) Cách giải:
Đây là phương trình bậc hai theo tan ta đã biết cách giải. Cách giải 2: Dùng công thức hạ bậc sin2x=1−cos2x2;cos2x=1+cos2x2;sinx.cosx=sin2x2 đưa phương trình đã cho về phương trình: b.sin(2x) + (c – a)cos(2x) = d – c - a Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải *Chú ý: Đối với phương trình đẳng cấp bậc n (n ≥ 3) với dạng tổng quát A(sinnx,cosnx,sinkxcoshx)=0 trong đó k + h = n; k, h, n ∈ N Khi đó ta cũng làm theo 2 bước :
Ví Dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải phương trình : 23√cos2x+6sinx.cosx=3+3√ (1) Giải Cách 1: Phương trình (1) ⇔3√(1+cos2x)+3sin2x=3+3√⇔cos2x+3√sin2x=3√⇔12cos2x+3√2sin2x=3√2⇔cos(2x−π3)=3√2 ⇔[2x−π3=π6+k2πx−π3=−π6+k2π⇔[x=π4+k2πx=π12+k2πk∈Z Vậy phương trình có hai họ nghiệm. Cách 2: +) Thử với cosx=0⇔x=π2+k2πk∈Z vào phương trình (1) ta có 0=3+3√ → vô lí. Vậy x=π2+k2πk∈Z không là nghiệm của phươngtrình. +)Với cos(x) ≠ 0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta được 23√+6tanx=(3+3√)(1+tan2x)⇔(3+3√)tan2x−6tanx+3−3√=0 ⇔[tanx=1tanx=3−3√3+3√=tanα⇔[x=π4+kπx=α+kπk∈Z Vậy phương trình có hai họ nghiệm * Chú ý: Không phải phương trình nào cũng ở dạng thuần nhất ta phải thực hiện một số phép biến đổi thích hợp Ví Dụ 2: Giải phương trình: sin3(x−π4)=2√sinx (2) Giải Ta nhận thấy sin(x−π4) có thể biểu diễn được qua sin(x) – cos(x). Luỹ thừa bậc ba biểu thức sin(x) – cos(x).ta sẽ đưa phương trình về dạng thuần nhất đã biết cách giải Phương trình (2) ⇔22√sin3(x−π4)=4sinx⇔[2√sin(x−π4)]3=4sinx ⇔(sinx−cosx)3=4sinx +) Xét với cosx=0⇔x=π2+k2πk∈Z. Khi đó phương trình có dạng ⇔sin3(π2+kπ)=4sin(π2+kπ)⇒mâu thuẫn Vậy phương trình không nhận x = π/2 + k2π làm nghiệm +) Với cos(x) ≠ 0. Chia cả hai vế của phương trình (2) cho cos3x ta được : (tanx−1)3=4(1+tan2x)tanx⇔3tan3x+3tan2x+tanx−1=0. Đặt t = tan(x) phương trình có được đưa về dạng: 3t3+3t2+t−1=0⇔(t+1)(3t2+1)=0⇔t=1⇔x=−π4+kπk∈Z Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện của phương trình . Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm *Chú ý: Ngoài phương pháp giải phương trình thuần nhất đã nêu ở trên có những phương trình có thể giải bằng phương pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất ,khoa học nhất. Ví Dụ 3: Giải phương trình: 1−tanx1+tanx=1+sin2x (3) Giải Điều kiện {cosx≠0tanx=−1⇔{x≠π2+kπx≠−π4+kπk∈ZCách 1: Biến đổi phương trình về dạng : cosx−sinxcosx+sinx=(cosx+sinx)2⇔cosx−sinx=(cosx+sinx)3 Chia cả hai vế của phương trình (3) cho cos3x≠0 ta được : 1+tan2x−(1+tan2x)tanx=(1+tanx)3⇔tan3x+tan2x+2tanx=0⇔(tan2x+tanx+2)tanx=0(∗) (do tan2x+tanx+2=0 vô nghiệm) nên: Phương trình (*)⇔tanx=0⇔x=kπ(k∈Z) Vậy phương trình có một họ nghiệm Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng cosx−sinxcosx+sinx=(cosx+sinx)2⇔cos(x+π4)sin(x+π4)=2sin2(x+π4)⇔cot(x+π4)=21+cot2(x+π4) Đặt t=cot(x+π4) ta được : t=21+t2⇔t3+t−2=0⇔(t−1)(t2+t+2)=0⇔t=1haycot(x+π4)=1⇔x+π4=π4+kπ⇔x=kπ(k∈Z) Vậy phương trình có một họ nghiệm Bài tập rèn luyện Giải các phương trình sau : Bài tập 1) 3sinx−4sinx.cosx+cos2x=0 Bài tập 2) 2cos3x+sin3x−11sin2x−3cosx=0 Bài tập 3) 4sinx+6cosx=1cosx Bài tập 4) sin3x=2sin3x Bài tập 5) sin3x−5sin2xcosx+7sinxcos2x−2cos3x=0 Bài tập 6) sin2xsinx+sin3x=6cos3x Bài tập 7) 8cosx=3√sinx+1cosx Bài tập 8) (sin2x−4cosx)(sin2x−2sinx.cosx)=2cos4x Bài tập 9) cos3x−sin3x=sinx−cosx Page 2
|