Phương trình vi phân thông thường được gọi là phương trình chứa một hoặc nhiều đạo hàm của hàm mong muốn y = y [x]. Chúng có thể được viết dưới dạng
Trong đó x là biến độc lập.
Bậc cao nhất n của đạo hàm trong phương trình được gọi là bậc của phương trình vi phân.
Các phương pháp giải phương trình vi phân thông thường có thể được chia thành các nhóm sau: đồ thị, giải tích, gần đúng và số.
Phương pháp đồ thị sử dụng các cấu trúc hình học.
Phương pháp giải tích được tìm thấy trong quá trình lập phương trình vi phân. Đối với phương trình bậc nhất [với các biến phân tách, thuần nhất, tuyến tính, v.v.], cũng như đối với một số loại phương trình bậc cao [ví dụ, tuyến tính với hệ số không đổi], có thể nhận được nghiệm dưới dạng công thức. bằng các phép biến đổi phân tích.
Các phương pháp gần đúng sử dụng các đơn giản hóa khác nhau của bản thân các phương trình bằng cách loại bỏ hợp lý một số thuật ngữ có trong chúng, cũng như bằng sự lựa chọn đặc biệt của các lớp của các hàm mong muốn.
Phương pháp số để giải phương trình vi phân hiện là công cụ chính trong nghiên cứu các vấn đề khoa học và kỹ thuật được mô tả bằng phương trình vi phân. Đồng thời, cần nhấn mạnh rằng các phương pháp này đặc biệt hiệu quả khi kết hợp với việc sử dụng máy tính hiện đại.
Phương pháp số đơn giản nhất để giải bài toán Cauchy cho ODE là phương pháp Euler. Xét phương trình ở vùng lân cận của các nút [i = 1,2,3,…] và thay đạo hàm bên trái bằng hiệu bên phải. Trong trường hợp này, các giá trị của hàm tại các nút sẽ được thay thế bằng các giá trị của hàm lưới:
Giá trị gần đúng thu được của DE là bậc đầu tiên, vì sai số được phép thay thế bằng.
Lưu ý rằng nó tuân theo phương trình
Do đó, nó là một tìm kiếm gần đúng về giá trị của hàm tại một điểm bằng cách sử dụng khai triển trong chuỗi Taylor với việc loại bỏ các số hạng của bậc thứ hai trở lên. Nói cách khác, số gia của một hàm được giả sử là bằng vi phân của nó.
Giả sử i = 0, sử dụng quan hệ, chúng ta tìm thấy giá trị của hàm lưới tại:
Giá trị được yêu cầu ở đây được đưa ra bởi điều kiện ban đầu, tức là
Tương tự, có thể tìm thấy các giá trị của hàm lưới tại các nút khác:
Thuật toán đã xây dựng được gọi là phương pháp Euler
Hình - 19 Phương pháp Euler
Giải thích hình học của phương pháp Euler được đưa ra trong hình. Hai bước đầu tiên được hiển thị, tức là việc tính toán hàm lưới tại các điểm được minh họa. Các đường cong tích phân 0,1,2 mô tả các nghiệm chính xác của phương trình. Trong trường hợp này, đường cong 0 tương ứng với lời giải chính xác của bài toán Cauchy, vì nó đi qua điểm đầu A [x 0, y 0]. Điểm B, C nhận được là kết quả của nghiệm số của bài toán Cauchy bằng phương pháp Euler. Độ lệch của chúng so với đường cong 0 đặc trưng cho sai số của phương pháp. Khi thực hiện từng bước, chúng ta thực sự đi đến một đường cong tích phân khác. Đoạn AB là đoạn tiếp tuyến của đường cong 0 tại điểm A, hệ số góc của nó được đặc trưng bởi giá trị của đạo hàm. Lỗi xuất hiện bởi vì sự gia tăng giá trị của hàm trong quá trình chuyển đổi từ x 0 sang x 1 được thay thế bằng một gia số trong bậc của tiếp tuyến với đường cong 0 tại điểm A. Tiếp tuyến BC đã được vẽ thành một đường cong tích phân khác 1 Như vậy, sai số của phương pháp Euler dẫn đến thực tế là trên mỗi bước, nghiệm gần đúng lại chuyển sang một đường cong tích phân khác.
Nghiệm số của phương trình vi phân
Nhiều vấn đề của khoa học và công nghệ được rút gọn thành việc giải các phương trình vi phân thông thường [ODE]. ODE là những phương trình chứa một hoặc nhiều đạo hàm của hàm mong muốn. Nói chung, ODE có thể được viết như sau:
Trong đó x là một biến độc lập, là đạo hàm cấp i của hàm mong muốn. n là bậc của phương trình. Nghiệm tổng quát của ODE bậc n chứa n hằng số tùy ý, tức là giải pháp chung có dạng.
Để chọn một giải pháp duy nhất, cần đặt thêm n điều kiện. Tùy thuộc vào cách quy định các điều kiện bổ sung, có hai dạng bài toán khác nhau: bài toán Cauchy và bài toán giá trị biên. Nếu các điều kiện bổ sung được chỉ định tại một điểm, thì một bài toán như vậy được gọi là bài toán Cauchy. Các điều kiện bổ sung trong bài toán Cauchy được gọi là điều kiện ban đầu. Nếu các điều kiện bổ sung được chỉ định tại nhiều hơn một điểm, tức là đối với các giá trị khác nhau của biến độc lập, thì một bài toán như vậy được gọi là bài toán biên. Bản thân các điều kiện bổ sung được gọi là điều kiện biên hoặc biên.
Rõ ràng là với n = 1 người ta chỉ có thể nói về vấn đề Cauchy.
Ví dụ về đặt vấn đề Cauchy:
Ví dụ về vấn đề giá trị biên:
Chỉ có thể giải những bài toán này bằng phương pháp giải tích đối với một số dạng phương trình đặc biệt.
Các phương pháp số để giải bài toán Cauchy cho ODE bậc nhất
Công thức của vấn đề. Tìm giải pháp cho ODE đơn hàng đầu tiên
Trên phân đoạn với điều kiện
Khi tìm ra lời giải gần đúng, ta sẽ giả sử rằng các phép tính được thực hiện với một bước tính toán, các nút tính toán là các điểm khoảng [ x 0 , x N ].
Mục tiêu là xây dựng một bảng
những thứ kia. các giá trị gần đúng của y được tìm kiếm tại các nút lưới.
Tích phân phương trình trên khoảng, ta được
Cách khá tự nhiên [nhưng không phải là duy nhất] để có được một nghiệm số là thay thế tích phân trong nó bằng một số công thức tích phân số vuông góc. Nếu chúng ta sử dụng công thức đơn giản nhất của các hình chữ nhật bên trái của bậc đầu tiên
sau đó chúng tôi nhận được Công thức rõ ràng của Euler:
Thủ tục giải quyết:
Biết, chúng ta tìm, rồi cứ thế tiếp tục.
Giải thích hình học của phương pháp Euler:
Tận dụng lợi thế của những gì tại thời điểm x 0 giải pháp đã biết y[x 0]= y 0 và giá trị của đạo hàm của nó, bạn có thể viết phương trình của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số mong muốn tại điểm:. Với một bước đủ nhỏ h tọa độ của tiếp tuyến này, nhận được bằng cách thay thế vào phía bên phải của giá trị, sẽ khác một chút so với tọa độ y[x 1] giải pháp y[x] của bài toán Cauchy. Do đó, giao điểm của tiếp tuyến với đường x = x 1 có thể được coi là điểm bắt đầu mới. Thông qua điểm này, chúng tôi một lần nữa vẽ một đường thẳng, gần đúng phản ánh hoạt động của tiếp tuyến tại điểm. Thay thế ở đây [tức là phần giao nhau với đường thẳng x = x 2], chúng tôi nhận được một giá trị gần đúng y[x] tại điểm x 2: v.v. Kết quả là, cho tôiđiểm thứ, chúng tôi nhận được công thức Euler.
Phương pháp Euler rõ ràng có độ chính xác hoặc gần đúng bậc nhất.
Nếu chúng ta sử dụng công thức của hình chữ nhật vuông:
Phương pháp này được gọi là phương pháp euler ngầm, vì để tính một giá trị chưa biết từ một giá trị đã biết, cần phải giải một phương trình, trong trường hợp chung là một phương trình phi tuyến.
Phương pháp Euler ngầm định có độ chính xác bậc nhất hoặc tính gần đúng.
Trong phương pháp này, việc tính toán bao gồm hai giai đoạn:
Lược đồ này còn được gọi là phương pháp dự đoán-sửa chữa [dự đoán-điều chỉnh]. Ở giai đoạn đầu tiên, giá trị gần đúng được dự đoán với độ chính xác thấp [h] và ở giai đoạn thứ hai, dự đoán này được hiệu chỉnh để giá trị kết quả có độ chính xác bậc hai.
Phương pháp Runge – Kutta:ý tưởng xây dựng các phương thức Runge – Kutta rõ ràng P-thứ tự là để có được giá trị gần đúng y[x tôi+1] theo công thức của biểu mẫu
…………………………………………….
Đây một N , b nj , P N, là một số số cố định [tham số].
Khi xây dựng các phương thức Runge – Kutta, các tham số của hàm [ một N , b nj , P N] được chọn theo cách để có được thứ tự ước lượng mong muốn.
Lược đồ Runge – Kutta của bậc chính xác thứ tư:
Ví dụ. Giải quyết vấn đề Cauchy:
Hãy xem xét ba phương pháp: phương pháp Euler rõ ràng, phương pháp Euler sửa đổi, phương pháp Runge-Kutta.
Giải pháp chính xác:
Công thức tính toán cho phương pháp Euler rõ ràng cho ví dụ này:
Công thức tính toán của phương pháp Euler đã sửa đổi:
Công thức tính toán cho phương pháp Runge-Kutta:
y1 là phương pháp Euler, y2 là phương pháp Euler sửa đổi, y3 là phương pháp Runge Kutta.
Có thể thấy rằng phương pháp Runge-Kutta là chính xác nhất.
Các phương pháp số để giải quyết các hệ thống ODE bậc nhất
Các phương pháp đã xét cũng có thể được sử dụng để giải hệ phương trình vi phân bậc nhất.
Hãy trình bày điều này đối với trường hợp của một hệ hai phương trình bậc nhất:
Phương thức Euler rõ ràng:
Phương pháp Euler đã sửa đổi:
Lược đồ Runge-Kutta của bậc chính xác thứ tư:
Các bài toán Cauchy cho phương trình bậc cao cũng được rút gọn để giải các hệ phương trình ODE. Ví dụ, hãy xem xét bài toán Cauchy cho một phương trình bậc hai
Hãy giới thiệu hàm chưa biết thứ hai. Sau đó, vấn đề Cauchy được thay thế bằng như sau:
Những thứ kia. xét về vấn đề trước:.
Ví dụ. Tìm giải pháp cho vấn đề Cauchy:
Trên đường cắt.
Giải pháp chính xác:
Thật sự:
Hãy giải bài toán bằng phương pháp Euler tường minh, được sửa đổi bằng phương pháp Euler và Runge-Kutta với bước h = 0,2.
Hãy giới thiệu một chức năng.
Sau đó, chúng tôi nhận được bài toán Cauchy sau đây cho một hệ thống hai ODE bậc nhất:
Phương thức Euler rõ ràng:
Phương pháp Euler đã sửa đổi:
Phương pháp Runge-Kutta:
Lược đồ Euler:
Phương pháp Euler đã sửa đổi:
Sơ đồ Runge - Kutta:
Max [lý thuyết y-y] = 4 * 10 -5
Phương pháp sai phân hữu hạn để giải quyết vấn đề giá trị biên cho ODE
Công thức của vấn đề: tìm nghiệm của một phương trình vi phân tuyến tính
thỏa mãn các điều kiện biên:. [2]
Định lý.Để cho được . Sau đó, có một giải pháp duy nhất cho vấn đề.
Ví dụ, vấn đề xác định độ lệch của một chùm, được bản lề ở các đầu, được rút gọn thành bài toán này.
Các giai đoạn chính của phương pháp sai phân hữu hạn:
1] vùng thay đổi liên tục của đối số [] được thay thế bằng một tập hợp các điểm rời rạc được gọi là các nút:.
2] Hàm mong muốn của đối số liên tục x được thay thế gần đúng bằng hàm của đối số rời rạc trên lưới đã cho, tức là . Hàm được gọi là lưới.
3] Phương trình vi phân ban đầu được thay thế bằng phương trình sai phân đối với hàm lưới. Sự thay thế như vậy được gọi là một xấp xỉ chênh lệch.
Do đó, nghiệm của một phương trình vi phân được rút gọn để tìm các giá trị của hàm lưới tại các nút của lưới, được tìm thấy từ nghiệm của phương trình đại số.
Tính gần đúng của các dẫn xuất.
Để tính gần đúng [thay thế] đạo hàm đầu tiên, bạn có thể sử dụng các công thức:
Đạo hàm chênh lệch trung tâm.
tức là có thể có nhiều cách tính gần đúng đạo hàm.
Tất cả các định nghĩa này đều tuân theo khái niệm đạo hàm như một giới hạn:
Dựa trên xấp xỉ hiệu của đạo hàm thứ nhất, chúng ta có thể xây dựng một xấp xỉ sai khác của đạo hàm thứ hai:
Tương tự, các dẫn xuất bậc cao hơn có thể được tính gần đúng.
Sự định nghĩa. Sai số xấp xỉ của đạo hàm thứ n là sự khác biệt:.
Khai triển chuỗi Taylor được sử dụng để xác định bậc của xấp xỉ.
Hãy xem xét xấp xỉ chênh lệch phải của đạo hàm đầu tiên:
Những thứ kia. đạo hàm sai biệt bên phải có đầu tiên của h thứ tự xấp xỉ.
Điều này cũng đúng với đạo hàm sai phân bên trái.
Đạo hàm chênh lệch trung tâm có xấp xỉ bậc hai.
Tính gần đúng của đạo hàm cấp hai theo công thức [3] cũng có tính gần đúng bậc hai.
Để làm gần đúng một phương trình vi phân, cần phải thay thế tất cả các đạo hàm trong đó bằng các giá trị gần đúng của chúng. Xem xét vấn đề [1], [2] và thay thế các đạo hàm trong [1]:
Kết quả là, chúng tôi nhận được:
Thứ tự xấp xỉ của bài toán ban đầu là 2, bởi vì các đạo hàm thứ hai và thứ nhất được thay thế bằng bậc 2, và phần còn lại là chính xác.
Vì vậy, thay vì các phương trình vi phân [1], [2], một hệ phương trình tuyến tính thu được để xác định tại các nút lưới.
Lược đồ có thể được biểu diễn dưới dạng:
tức là, chúng ta có một hệ phương trình tuyến tính với một ma trận:
Ma trận này là tam giác, tức là tất cả các phần tử không nằm trên đường chéo chính và hai đường chéo kề với nó đều bằng không.
Bằng cách giải hệ phương trình kết quả, chúng ta có được lời giải cho bài toán ban đầu.
Giới thiệu
Khi giải quyết các vấn đề khoa học và kỹ thuật, thông thường cần phải mô tả một cách toán học bất kỳ hệ thống động lực nào. Điều này được thực hiện tốt nhất dưới dạng phương trình vi phân [ DU] hoặc hệ phương trình vi phân. Thông thường, một vấn đề như vậy nảy sinh khi giải các bài toán liên quan đến mô hình hóa động học của các phản ứng hóa học và các hiện tượng truyền khác nhau [nhiệt, khối lượng, động lượng] - truyền nhiệt, trộn, làm khô, hấp phụ, khi mô tả chuyển động của các hạt vĩ mô và vi hạt.
Trong một số trường hợp, phương trình vi phân có thể được chuyển đổi sang dạng trong đó đạo hàm cao nhất được biểu diễn một cách rõ ràng. Dạng viết này được gọi là phương trình được giải theo đạo hàm cao nhất [trong trường hợp này, đạo hàm cao nhất không có ở vế phải của phương trình]:
Nghiệm của một phương trình vi phân thông thường là một hàm y [x], với x bất kỳ, thỏa mãn phương trình này trong một khoảng hữu hạn hoặc vô hạn nhất định. Quá trình giải một phương trình vi phân được gọi là tích phân phương trình vi phân.
Về mặt lịch sử, cách đầu tiên và đơn giản nhất để giải bài toán Cauchy bằng số cho ODE bậc nhất là phương pháp Euler. Nó dựa trên sự xấp xỉ của đạo hàm theo tỷ lệ số gia hữu hạn của các biến phụ thuộc [y] và [x] độc lập giữa các nút của một lưới thống nhất:
trong đó y i + 1 là giá trị bắt buộc của hàm tại điểm x i + 1.
Độ chính xác của phương pháp Euler có thể được cải thiện nếu chúng ta sử dụng một công thức tích phân chính xác hơn để tính gần đúng tích phân: công thức hình thang.
Công thức này hóa ra là ẩn đối với y i + 1 [giá trị này nằm ở cả bên trái và bên phải của biểu thức], nghĩa là, nó là một phương trình cho y i + 1, ví dụ có thể giải được. , về mặt số, sử dụng một số phương pháp lặp [ở dạng như vậy, nó có thể được coi là một công thức lặp của phương pháp lặp đơn giản].
Các thành phần của khóa học công việc: Công việc khóa học bao gồm ba phần. Trong phần đầu tiên, mô tả ngắn gọn về các phương pháp. Trong phần thứ hai, công thức và giải pháp của vấn đề. Trong phần thứ ba - triển khai phần mềm bằng ngôn ngữ máy tính
Mục đích của môn học là nghiên cứu hai phương pháp giải phương trình vi phân - phương pháp Euler-Cauchy và phương pháp Euler cải tiến.
1. Phần lý thuyết
Sự khác biệt về số lượng
Một phương trình vi phân là một phương trình có chứa một hoặc nhiều đạo hàm. Tùy thuộc vào số lượng biến độc lập, phương trình vi phân được chia thành hai loại.
Phương trình vi phân thông thường [ODE]
Phương trình vi phân từng phần.
Phương trình vi phân thông thường được gọi là phương trình chứa một hoặc nhiều đạo hàm của hàm mong muốn. Chúng có thể được viết dưới dạng
biến độc lập
Bậc cao nhất có trong phương trình [1] được gọi là bậc của phương trình vi phân.
ODE [tuyến tính] đơn giản nhất là phương trình [1] có bậc được giải quyết liên quan đến đạo hàm
Nghiệm của một phương trình vi phân [1] là bất kỳ hàm nào sau khi thay nó vào phương trình, biến nó thành một đồng nhất.
Bài toán chính liên quan đến ODE tuyến tính được gọi là bài toán Kashi:
Tìm một nghiệm của phương trình [2] dưới dạng một hàm số thỏa mãn điều kiện ban đầu [3]
Về mặt hình học, điều này có nghĩa là cần phải tìm đường cong tích phân đi qua điểm] khi đẳng thức [2] được thỏa mãn.
Số theo quan điểm của bài toán Kashi có nghĩa là: yêu cầu xây dựng một bảng các giá trị hàm thỏa mãn phương trình [2] và điều kiện ban đầu [3] trên một đoạn có bước nhất định. Người ta thường giả định rằng, điều kiện ban đầu được đưa ra ở cuối bên trái của đoạn.
Phương pháp số đơn giản nhất để giải phương trình vi phân là phương pháp Euler. Nó dựa trên ý tưởng xây dựng đồ thị một giải pháp cho một phương trình vi phân, nhưng phương pháp này cũng cung cấp một cách để tìm hàm mong muốn ở dạng số hoặc trong một bảng.
Đặt phương trình [2] với điều kiện ban đầu, tức là bài toán Kashi được đặt. Trước hết chúng ta hãy giải quyết vấn đề sau. Tìm theo cách đơn giản nhất giá trị gần đúng của nghiệm tại một thời điểm nào đó là một bước đủ nhỏ. Phương trình [2] cùng với điều kiện ban đầu [3] xác định hướng của tiếp tuyến của đường cong tích phân mong muốn tại điểm có tọa độ
Phương trình tiếp tuyến có dạng
Di chuyển dọc theo tiếp tuyến này, chúng ta nhận được giá trị gần đúng của nghiệm tại điểm:
Có một nghiệm gần đúng tại một điểm, chúng ta có thể lặp lại quy trình đã mô tả trước đó: dựng một đường thẳng đi qua điểm này với hệ số góc và sử dụng nó để tìm giá trị gần đúng của nghiệm tại điểm
. Lưu ý rằng đường thẳng này không phải là tiếp tuyến của đường cong tích phân thực, vì điểm không có sẵn cho chúng ta, tuy nhiên, nếu nó đủ nhỏ, thì kết quả gần đúng sẽ gần với giá trị chính xác của nghiệm.
Tiếp tục ý tưởng này, chúng tôi xây dựng một hệ thống các điểm cách đều nhau
Nhận bảng giá trị của hàm mong muốn
theo phương pháp Euler bao gồm ứng dụng tuần hoàn của công thức
Hình 1. Diễn giải bằng đồ thị của phương pháp Euler
Các phương pháp tích phân số của phương trình vi phân, trong đó các nghiệm thu được từ nút này sang nút khác, được gọi là từng bước. Phương pháp Euler là đại diện đơn giản nhất của phương pháp từng bước. Một đặc điểm của bất kỳ phương pháp từng bước nào là bắt đầu từ bước thứ hai, giá trị ban đầu trong công thức [5] tự nó là gần đúng, nghĩa là, sai số ở mỗi bước tiếp theo tăng lên một cách có hệ thống. Phương pháp được sử dụng nhiều nhất để ước tính độ chính xác của các phương pháp từng bước cho nghiệm số gần đúng của ODE là phương pháp truyền kép một đoạn nhất định với một bước và với một bước
1.1 Phương pháp Euler cải tiến
Ý tưởng chính của phương pháp này: giá trị tiếp theo được tính theo công thức [5] sẽ chính xác hơn nếu giá trị của đạo hàm, tức là, hệ số góc của đường thẳng thay thế đường cong tích phân trên đoạn, được tính không dọc. cạnh trái [nghĩa là tại điểm], nhưng dọc theo trung tâm của đoạn. Nhưng vì giá trị của đạo hàm giữa các điểm không được tính toán, vì vậy chúng ta hãy chuyển sang phần kép của tâm, trong đó điểm là, trong khi phương trình của đường thẳng có dạng:
Và công thức [5] có dạng
Công thức [7] chỉ được áp dụng cho, do đó, không thể thu được giá trị từ nó, do đó, chúng được tìm thấy bằng phương pháp Euler, trong khi để có được kết quả chính xác hơn, chúng thực hiện điều này: ngay từ đầu, sử dụng công thức [5 ], tìm giá trị
Tại điểm và sau đó được tìm thấy bởi công thức [7] với một bước
Sau khi tính toán thêm được tìm thấy cho
Các câu hỏi chính được thảo luận tại bài giảng:
1. Phát biểu vấn đề
2. Phương pháp Euler
3. Phương pháp Runge-Kutta
4. Phương pháp nhiều bước
5. Lời giải của bài toán giá trị biên đối với phương trình vi phân tuyến tính bậc 2
6. Nghiệm số của phương trình đạo hàm riêng
1. Phát biểu vấn đề
Phương trình vi phân thông thường đơn giản nhất [ODE] là một phương trình bậc nhất được giải theo đạo hàm: y "= f [x, y] [1]. Bài toán chính liên quan đến phương trình này được gọi là bài toán Cauchy: tìm a nghiệm của phương trình [1] dưới dạng một hàm số y [x] thỏa mãn điều kiện ban đầu: y [x0] = y0 [2]. DE bậc n-thứ tự DE y [n] = f [x, y, y ",:, y [n-1]], mà bài toán Cauchy là tìm một nghiệm y = y [x] thỏa mãn các điều kiện ban đầu :
y [x0] = y0, y "[x0] = y" 0,:, y [n-1] [x0] = y [n-1] 0, trong đó y0, y "0,:, y [n- 1] 0 - các số đã cho, có thể được rút gọn thành hệ DE bậc nhất.