Phương trình mặt cầu lớp 12
 Show Hệ tọa độ trong không gian (phương trình mặt cầu)1. Kiến thức cần nhớ- Dạng 1: Phương trình chính tắc của mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\) là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) (1) - Dạng 2: Phương trình tổng quát của mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) (2) Phương trình (2) có tâm \(I\left( { - a; - b; - c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \). Do đó điều kiện cần và đủ để (2) là phương trình mặt cầu là \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\) 2. Một số dạng toán thường gặpDạng 1: Nhận biết các yếu tố từ phương trình mặt cầu. Phương pháp: Sử dụng định nghĩa tâm và bán kính mặt cầu: - Mặt cầu có phương trình dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) có tâm \(\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\). - Mặt cầu có phương trình dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( { - a; - b; - c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \). Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu. Phương pháp chung: Cách 1: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng chính tắc. - Tìm tâm và bán kính mặt cầu, từ đó viết phương trình theo dạng 1 nêu ở trên. Cách 2: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng tổng quát. - Gọi mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) - Sử dụng điều kiện bài cho để tìm \(a,b,c,d\). Một số bài toán hay gặp: - Viết phương trình mặt cầu với tâm và bán kính đã cho. - Mặt cầu có đường kính \(AB\): tâm là trung điểm của \(AB\) và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2}\). - Mặt cầu đi qua \(4\) điểm \(A,B,C,D\): * Cách 1: +) Gọi mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) +) Thay tọa độ các điểm bài cho vào phương trình và tìm \(a,b,c,d\). *Cách 2: +) Gọi $I(a,b,c)$ là tâm của mặt cầu. +) Lập hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\\IA = ID\end{array} \right.\) tìm $a, b, c$. +) Bán kính \(R=IA\). * Cách 3: +) Tìm mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng $AB, AC, AD$. Mặt phẳng trung trực của $AB$ đi qua trung điểm của $AB$ và nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm một vectơ pháp tuyến. +) Tâm $I$ của mặt cầu là giao của 3 mặt phẳng đó. +) Bán kính \(R=IA\). Dạng 3: Tìm tham số để mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước. - Mặt cầu đi qua một điểm nếu tọa độ điểm đó thỏa mãn phương trình mặt cầu. Luyện bài tập vận dụng tại đây! GIỚI THIỆU BÀI HỌCNỘI DUNG BÀI HỌCI. Lý thuyết Giải Tâm I của mặt cầu là trung điểm của AB I(1;-1;2) \(BK \ R =\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.\sqrt{(0-2)^2+(-3-1)^2+(1-3)^2}\) \(=\frac{1}{2}.\sqrt{4+16+4}=\sqrt{6}\) Phương trình mặt cầu: \((x-1)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=6\) VD2: Viết phương trình mặt cầu tâm I(1;2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng \(2x-y+2z+1=0 \ (P)\) Giải Mặt cầu tiếp xúc (P) nên \(R=d(I;(P))=\frac{\left | 2-2+6+1 \right |}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=\frac{7}{3}\) PT mặt cầu \((x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=\frac{49}{9}\) VD3: Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm \(A(0;0;0), B(1;0;0), C(0;1;0),D(0;0;1)\) Giải
Học trọn năm chỉ với 700.000đ NỘI DUNG KHÓA HỌCĐĂNG KÝ NHẬN EMAIL ĐĂNG KÝ EMAIL nhận thông tin bài giảng video, đề thi và ưu đãi đặc biệt từ HỌC247
Copyright © 2022 Hoc247.vn Copyright © 2022 Hoc247.vn Hotline: 0933 782 685 /Email: Chịu trách nhiệm nội dung: Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty CP Giáo Dục Học 247 |
