Tam giác vuông thì luôn nội tiếp đường tròn và tâm đường tròn nằm ở đâu

Số tâm đối xứng của đường tròn là:

Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về trục đối xứng của đường tròn

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác [ta còn nói: tam giác nội tiếp đường tròn].

Khi đó, nối tâm O của đường tròn với ba đỉnh của tam giác ABC ta có: OA = OB = OC là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Đường tròn ngoại tiếp là đường tròn đi qua các đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác.

Tính chất

Mỗi tam giác có duy nhất một đường tròn ngoại tiếp

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền

Trong tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác trùng nhau.

Ví dụ

Lấy ví dụ một tam giác ABC, đường tròn ngoại tiếp của tam giác này sẽ là đường tròn đi qua tất cả 3 đỉnh ABC của nó.

Theo tính chất của đường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác sẽ là giao điểm của những đường thẳng vuông góc tại trung điểm [đường trung trực] của ba cạnh AB, AC và BC.

Cho dù tam giác có nằm ở vị trí như thế nào trong đường tròn ngoại tiếp của nó đi nữa thì tính chất trên vẫn luôn luôn đúng.

Việc đưa ra định nghĩa đường tròn ngoại tiếp tam giác không những hỗ trợ chứng minh các định thức hình học nằm thuần trong toán học mà còn có ứng dụng thực tế rất nhiều như tạo lưới đa giác [ứng dụng trong đồ họa 3D].

Người đăng: hoy Time: 2020-10-05 13:44:47

1. Các kiến thức cần nhớ

a] Tính chất của tiếp tuyến 

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Trong hình trên a là tiếp tuyến của đường tròn \[[O].\]

\[\Rightarrow a\perp OH\] tại \[H\] [với H là tiếp điểm].

b] Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Định lý: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Ngoài ra, nhắc lại một số dấu hiệu đã biết:

+] Nếu một đường thằng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

+] Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn

Phương pháp:

Để chứng minh đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left[ {O;R} \right]$ tại tiếp điểm là $A$, ta có thể làm theo cách sau:

Cách 1. Chứng minh $OA \bot d$ tại $A$ và $A \in \left[ O \right]$.

Cách 2. Vẽ $OH \bot d$. Chứng minh $OH \equiv OA = R$.

Cách 3. Vẽ tiếp tuyến $d'$ của $\left[ O \right]$. Ta chứng minh $d \equiv d'$.

Dạng 2: Bài toán tính độ dài

Phương pháp:

Vận dụng định lý về tiếp tuyến và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán.

TÂM ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC - NHỮNG ĐIỀU CẦN NẮM RÕ

Bộ môn Toán 9 học sinh cần nắm được đường tròn, đặc biệt tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Cunghocvui.com hiểu được điều đó nên đã đưa ra tổng hợp những kiến thức bổ ích cho các em. Đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì? Công thức tính bán kính, xác định tâm đường tròn ngoại tiếp...sẽ có trong bài viết.

1. Khái niệm đường tròn ngoại tiếp tam giác

- Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác. Có thể nói theo cách khác là tam giác nội tiếp đường tròn. 

- Ví dụ về đường tròn ngoại tiếp tam giác:

Ví dụ về đường tròn ngoại tiếp tam giác

Đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua trung điểm M của AB, vuông góc với AB. Mọi điểm I thuộc trung trực AB đều có IA = IB. 

Ba đường trung trực tam giác đồng quy tại một điểm. Gọi I là giao điểm của ba đường trung trực giam giác ABC thì ta có IA = IB = IC, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó.

- Cách vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác:

Cách vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn

2. Khái niệm và tính chất tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường gì?

- Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung trực của ba cạnh tam giác [có thể là giao điểm hai đường trung trực]. 

- Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác:

Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

+ Cách 1:

Bước 1: Viết phương trình đường trung trực hai cạnh bất kỳ tam giác. 

Bước 2: Tìm giao điểm hai đường trung trực, chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. 

+ Cách 2: 

Bước 1: Gọi I [x, y] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có IA = IB = IC = R.

Bước 2: Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác:

Tọa độ tâm I là nghiệm của phương trình: \[\left\{\begin{matrix}IA^2 = IB^2 & \\ IA^2 = IC^2& \end{matrix}\right.\]

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cân ABC tại A nằm trên đường cao AH. 

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền.

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là trọng tâm của tam giác.

3. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 

Ngoài các công thức liên quan tới đường tròn, các em cần nắm được công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Cho tam giác ABC. Độ dài các cạnh BC, AC, AB lần lượt là a, b, c.

- Công thức cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác:

 \[R = \frac{a.b.c}{4S}\]

+ Công thức tính diện tích tam giác [áp dụng công thức herong]:

+ Nửa chu vi tam giác:

+ Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác:

- Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp góc A: 

- Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp góc B:

- Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp góc C:

- Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều:

R = \[\frac{a}{2sin60^{0}}\], trong đó a là độ dài mỗi cạnh.

Sau khi học xong lý thuyết, các em học sinh có thể tham khảo các bài tập liên quan tới đường tròn.

Trên đây là toàn bộ nội dung về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, rất mong đem lại quý độc giả những thông tin bổ ích!

Chứng minh các định lý sau. Bài 3 trang 100 sgk Toán 9 – tập 1 – Bài 1. Sự xác định của đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

Bài 3. Chứng minh các định lý sau:

a] Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

b] Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.

Hướng dẫn giải:

a] Xét tam giác ABC vuông tại A.

Gọi O là trung điểm của cạnh huyền BC, ta có:

OA = OB = OC = R

Quảng cáo

Vậy O chính là tâm cuả đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

b] Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn [O] đường kính BC.

Ta có OA = OB = OC = R

suy ra \[OA=\frac{1}{2}BC\], do đó tam giác ABC vuông tại A

Nhận xét: Định lý trong bài tập này thường được dùng để giải nhiều bài tập về nhận biết tam giác vuông.