Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 3 2 yxx mx + m < 3 có y 0 trên một đoạn có độ dài bằng 1

Toán 12

Ngữ văn 12

Tiếng Anh 12

Vật lý 12

Hoá học 12

Sinh học 12

Lịch sử 12

Địa lý 12

GDCD 12

Công nghệ 12

Tin học 12

Cộng đồng

Hỏi đáp lớp 12

Tư liệu lớp 12

Xem nhiều nhất tuần

Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 2

Giải thích :

Ta có y' = [x3 + 3x2 + mx + m]' = 3x2 + 6x + m.

Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 2, khi đó PT y' = 0 có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa mãn |x1 - x2| = 2.

Suy ra :

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Bài giảng: Cách xét tính đơn điệu của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]

Quảng cáo

Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến [nghịch biến] = l.

   Bước 1: Tính y'=f'[x].

   Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:

[1].

   Bước 3: Biến đổi |x1-x2 | = l thành [x1+x2 ]2 - 4x1.x2=l2 [2].

   Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa [2] thành phương trình theo m.

   Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện [1] để chọn nghiệm.

Kiến thức cần nhớ

Hàm đa thức bậc ba: y = f[x] = ax3+bx2+ cx + d [a ≠ 0] ⇒ f'[x]=3ax2+ 2bx + c

Sử dụng định lý vi ét cho tam thức bậc hai f'[x]= 3ax2 + 2bx + c có

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = 1/3 x3 - 2mx2 + 2mx - 3m + 4 nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3.

Hướng dẫn

Ta có f'[x] = x2 - 4mx + 2m

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi f'[x]= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 [x1 < x2] thỏa mãn |x1-x2 |=3

   + f'[x]= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= 4m2 - 2m > 0 ⇔

Theo Vi ét ta có

   + Với |x1-x2 | = 3 ⇔ [x1 + x1]2 - 4x1 x2 - 9 = 0

[thỏa mãn]

Vậy giá trị của m cần tìm là m=

.

Quảng cáo

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = -x3 + 3x2 + [m-1]x + 2m - 3 đồng biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1

Hướng dẫn

Ta có f'[x]= -3x2 + 6x + m - 1

Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi f'[x] = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 [x1 < x2] thỏa mãn |x1-x2 | > 1

   + f'[x]= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= 3m + 6 > 0 ⇔ m > -2

Theo Vi ét ta có

   + Với |x1-x2 | > 1 ⇔ [x1+x2 ]2-4x1 x2-1 > 0 ⇔ 4m + 5 > 0 ⇔ m > -5/4

Kết hợp điều kiện ta được m > -5/4

Ví dụ 3: Xác định m để hàm só y = -x4 +[m - 2] x2 + 1 có khoảng nghịch biến [x1;x2] và độ dài khoảng này bằng 1.

Hướng dẫn

Ta có y' = -4x3 + 2[m - 2]x

Để hàm số có khoảng nghịch biến [x1;x2] thì phương trình -2x2 + m - 2 = 0 phải có hai nghiệm phân biệt

Giả sử x1 < 0 < x2, khi đó hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng [x1;0] và [x2; +∞]

Vì độ dài khoảng nghịch biến bằng 1 nên khoảng [x1;0] có độ dài bằng 1 hay x1 = -1

Vì -2x2 + m - 2 = 0 có một nghiệm là -1 nên -2 + m - 2 = 0 ⇔ m = 4 [thỏa mãn]

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 4

Quảng cáo

Câu 1: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = f[x] = [m + 1]x3 - 3[m+1]x2 + 2mx + 4 đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1.

Hiển thị đáp án

Hàm số đã cho xác định trên D = R.

Với m = -1. Khi đó hàm số trở thành y = -2x + 4 ; y' = -2 < 0 ∀x∈R, không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với m ≠ -1. Ta có f'[x]= 3[m+1]x2 - 6[m + 1]x + 2m

   + Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1 khi và chỉ khi f'[x] = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đồng biến trong đoạn [x1;x2 ] thỏa mãn |x1 - x2 | ≥ 1

   + f'[x]= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đồng biến trong đoạn[x1;x2 ]

Theo Viét ta có

   + Với |x1 - x2 | ≥ 1 ⇔ [x1 + x2 ]2 - 4x1 x2 - 1 ≥ 0

Đối chiếu điều kiện ta có m ≤ -9.

Câu 2: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 - mx2 + [m + 36]x - 5 nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4√2.

Hiển thị đáp án

Ta có f'[x] = 3x2 - 2mx + m + 36

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4√2 khi và chỉ khi f'[x] = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x1 [x1 < x2] thỏa mãn |x1 - x1 |= 4√2v

   + f'[x] = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2

Theo Vi ét ta có

   + Với |x1 - x2 |= 4√2 ⇔ [x1+x2 ]2 - 4x1 x2 - 32 = 0

[thỏa mãn]

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 15; m = -12

Câu 3: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn

Hiển thị đáp án

Hàm số đã cho xác định trên D = R.

Ta có f'[x]= 3x2 + 6x + m; Δ' = 9 - 3m

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4√2 khi và chỉ khi f'[x]= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x1 [x1 < x2] thỏa mãn |x1 - x2 |< 2√2

   + f'[x]= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= 9 - 3m > 0 m < 3

Theo định lý Vi – ét ta có:

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 2√2

⇔ l =|x1 - x2 | < 2√2 ⇔[x1 - x2 ]2 = 8 ⇔[x1 + x2 ]2 - 4x1 x2 = 8 ⇔ 4 - 4/3 m=8 ⇒ m = -3.

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = -3

Câu 4: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = -x3 + x2 - [2 - m]x + 1 nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2.

Hiển thị đáp án

Hàm số đã cho xác định trên D = R.

Ta có f'[x] = -3x2 + 2x - 2 + m; Δ' = -5 + m

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 2khi và chỉ khi f'[x]= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 [x1 < x2] thỏa mãn |x1-x2 | = 2

   + f'[x] = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= -5 + m > 0 ⇔ m > 5

Theo định lý Viét ta có:

.

Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2 ⇔ l =|x1 - x2 |= 2 ⇔[x1 - x2 ]2 = 4

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 14/3

Câu 5: Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 2x3 + 3[m - 1]x2 + 6[m - 2]x + 2017 nghịch biến trên khoảng [a;b] sao cho b - a > 3.

Hiển thị đáp án

Ta có y' = 6x2 + 6[m - 1]x + 6[m - 2]

Hàm số nghịch biến trên [a;b] ⇔ x2 + [m - 1]x + [m - 2] ≤ 0 ∀ x ∈[a; b]

Δ = m2 - 6m + 9

   TH1: Δ ≤ 0 ⇒ x2 + [m - 1]x + [m - 2] ≥ 0 ∀ x ∈ R ⇒Vô lí

   TH2: Δ > 0 ⇔ m ≠ 3 ⇒ y' có hai nghiệm x1,x2 [x2 > x1 ]

⇒ Hàm số luôn nghịch biến trên [x1;x2 ].

Yêu cầu đề bài: ⇔ x2 - x1 > 3 ⇔ [x2 - x1 ]2 > 9 ⇔ [x1 + x2 ]2 - 4[x1.x2]>9

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

tinh-don-dieu-cua-ham-so.jsp