Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức logarit

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y'=\frac{\ln x-1}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=e$ 

Lại có: $y\left( 1 \right)=0;y\left( e \right)=\frac{1}{e}\Rightarrow $ Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\ln x}{x}$ trên $\left[ 1;e \right]$ là 0. Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y'={{e}^{-2{{x}^{2}}}}-4{{x}^{2}}.{{e}^{-2{{x}^{2}}}}=0\Leftrightarrow {{e}^{-2{{x}^{2}}}}\left( 1-4{{x}^{2}} \right)$

Với $x\in \left[ 0;1 \right]\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}.$ Ta có: $y\left( 0 \right)=0;y\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2\sqrt{e}};y\left( 1 \right)=\frac{1}{{{e}^{2}}}$ 

Do đó $M=\frac{1}{2\sqrt{e}}.$ Chọn D. 

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y'=2x-\frac{2}{x}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=1\xrightarrow{x\in \left[ \frac{1}{e};e \right]}x=1$

Lại có: $y\left( \frac{1}{e} \right)=\frac{1}{{{e}^{2}}}+2;y\left( 1 \right)=1;y\left( e \right)={{e}^{2}}-2$ 

Do đó $\underset{\left[ \frac{1}{e};e \right]}{\mathop{Max}}\,y={{e}^{2}}-2;\underset{\left[ \frac{1}{e};e \right]}{\mathop{Min}}\,y=1\Rightarrow T={{e}^{2}}-1.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y'=x{{e}^{x}}+{{e}^{x}}-2{{e}^{x}}=x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}=0\Leftrightarrow x=1.$

Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$ 

Lại có: $y\left( 0 \right)=-2;y\left( 1 \right)=-e;y\left( 3 \right)={{e}^{3}}.$ Do đó $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-e;\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }}\,y={{e}^{3}}$ 

Vậy $T={{e}^{3}}-e.$ Chọn C.  

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y={{2}^{2x}}-{{2.2}^{x}}.$ Đặt $t={{2}^{x}}\Rightarrow t\in \left[ {{2}^{-1}};{{2}^{1}} \right]=\left[ \frac{1}{2};2 \right]$ 

Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}-2t$ trên đoạn $\left[ \frac{1}{2};2 \right]$ ta có: $f'\left( t \right)=2t-2=0\Leftrightarrow t=1$ 

Hàm số $f\left( t \right)$ xác định và liên tục trên đoạn $\left[ \frac{1}{2};2 \right].$ 

Lại có $f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{-3}{4};f\left( 1 \right)=-1;f\left( 2 \right)=0.$ Do đó $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-1;\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,y=0.$ Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y'=\ln x+1=0\Leftrightarrow x={{e}^{-1}}=\frac{1}{e}.$ Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn $\left[ \frac{1}{{{e}^{2}}};e \right].$ 

Mặt khác $y\left( \frac{1}{{{e}^{2}}} \right)=\frac{-2}{{{e}^{2}}};y\left( \frac{1}{e} \right)=\frac{-1}{e};y\left( e \right)=e.$ Do đó $\underset{\left[ \frac{1}{{{e}^{2}}};e \right]}{\mathop{\min }}\,y=-\frac{1}{e};\underset{\left[ \frac{1}{{{e}^{2}}};e \right]}{\mathop{\max }}\,y=e$ 

Do đó $T=e-\frac{1}{e}.$ Chọn D. 

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y'=\frac{1-\ln x}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=e.$ Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn $\left[ \frac{1}{e};{{e}^{2}} \right].$ 

Lại có $y\left( \frac{1}{e} \right)=-e;y\left( e \right)=\frac{1}{e};y\left( {{e}^{2}} \right)=\frac{2}{{{e}^{2}}}.$ Do đó $\underset{\left[ \frac{1}{e};{{e}^{2}} \right]}{\mathop{\min }}\,y=-e;\underset{\left[ \frac{1}{e};{{e}^{2}} \right]}{\mathop{\max }}\,y=\frac{1}{e}$ 

Do đó $T=\frac{1}{e}-e.$ Chọn B.  

Lời giải chi tiết:

Ta có: $f'\left( x \right)={{e}^{-{{x}^{2}}+2x}}.\left( -2x+2 \right)-3{{x}^{2}}+3=\left( 1-x \right)\left( 2{{e}^{-{{x}^{2}}+2x}}+x+1 \right)$

Xét $x\in \left[ 0;2 \right]$ thì $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1$ 

Mặt khác $f\left( 0 \right)=1;f\left( 1 \right)=e+2;f\left( 2 \right)=-1$ suy ra $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{Max}}\,f\left( x \right)=e+2$ và $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{Min}}\,f\left( x \right)=-1.$ Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số $v\left( t \right)=e+{{e}^{{{t}^{2}}-2t}}\left( m/s \right)$ với $t\in \left[ 0;10 \right]$ 

Ta có: $v'\left( t \right)=\left( 2t-2 \right){{e}^{{{t}^{2}}-2t}}=0\Leftrightarrow t=1$ 

Khi đó $v\left( 0 \right)=e+1;v\left( 1 \right)=e+\frac{1}{e};v\left( 10 \right)=e+{{e}^{80}}\Rightarrow {{v}_{\min }}=e+\frac{1}{e}.$ Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Đặt $t={{e}^{x}},$ với $x\in \left[ 0;\ln 3 \right]\Rightarrow t\in \left[ 1;3 \right]$ 

Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}-3t-1$ trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$ ta có: $f'\left( t \right)=2t-3=0\Leftrightarrow t=\frac{3}{2}$ 

Mặt khác $f\left( 1 \right)=-3;f\left( \frac{3}{2} \right)=\frac{-13}{4};f\left( 3 \right)=-1\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{Max}}\,f\left( t \right)=-1 \\  & \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{Min}}\,f\left( t \right)=\frac{-13}{4} \\ \end{align} \right.\Rightarrow T=\frac{-17}{4}.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Ta có $f\left( x \right)={{3}^{2{{\sin }^{2}}x}}+{{3}^{{{\cos }^{2}}x}}={{3}^{2{{\sin }^{2}}x}}+{{3}^{1-{{\sin }^{2}}x}}=3={{\left( 3{{\sin }^{2}}x \right)}^{2}}+\frac{3}{{{3}^{{{\sin }^{2}}x}}}$

Đặt $t={{3}^{{{\sin }^{2}}x}}$ do $0\le {{\sin }^{2}}x\le 1\Rightarrow 1\le {{3}^{{{\sin }^{2}}x}}\le 3\Rightarrow t\in \left[ 1;3 \right]$ khi đó ${{\left( {{3}^{{{\sin }^{2}}x}} \right)}^{2}}+\frac{3}{{{3}^{{{\sin }^{2}}x}}}={{t}^{2}}+\frac{3}{t}$ 

Xét hàm số $g\left( t \right)={{t}^{2}}+\frac{3}{t}$ với $t\in \left[ 1;3 \right].$ Ta có $g'\left( t \right)=2t-\frac{3}{{{t}^{2}}};g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$ 

Ta có $f\left( 1 \right)=4;f\left( 3 \right)=10;f\left( \sqrt[3]{\frac{3}{2}} \right)=\sqrt[3]{\frac{243}{4}}\Rightarrow M=10;m=\sqrt[3]{\frac{243}{4}}\Rightarrow P=\frac{32}{3}.$ Chọn D.