Tổng hợp công thức hệ trục tọa độ

Tổng hợp toàn bộ các công thức tọa độ trong không gian oxyz bao gồm các vấn đề tích vô hương, tích có hướng và ứng dụng của tích có hướng.

Chủ đề về mặt phẳng là cách viết phương trình mặt phẳng, khoảng cách từ điẻm đến mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.

Chủ đề về mặt cầu là viết phương trình mặt cầu, mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu.

Chủ đề đường thằng với các dạng pt đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, các chuyên đề về góc giữa hai đường thẳng, khoảng cachs giữa haid đường thẳng chéo nhau.

Table of Contents

Trong những kỳ thi THPT quan trọng, trong đề bài môn Toán đều có câu hỏi liên quan đến hệ trục tọa độ. Bài viết sau đây sẽ tổng hợp những kiến thức quan trọng và dễ nhớ nhất về chủ đề hệ tọa độ trong không gian.

I. Hệ tọa độ trong không gian

Hệ gồm 3 trục Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian. Sau đây, chúng tôi xin giới thiệu về điểm O, các trục Ox, Oy, Oz, các mặt phẳng tọa độ, tính chất của vectơ có liên quan và những trường hợp đặc biệt cần nhớ trong bảng dưới đây:

II. Các tính chất của hệ tọa độ trong không gian

Sau đây là các tính chất liên quan đến hệ tọa độ trong không gian mà các bạn cần phải nhớ:

1. Tổng hai vectơ

Tổng hai vectơ là một vectơ. Công thức:

2. Hiệu hai vectơ

Hiệu hai vectơ là một vectơ. Công thức:

3. Tích của vectơ với một số thực

Tích của vectơ với một số thực là một vectơ. Công thức:

4. Tọa độ của vectơ 0

5. Hai vectơ bằng nhau

Hai vectơ bằng nhau có tọa độ tương ứng bằng nhau

6. Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của 2 vectơ bằng hoành.hoành + tung.tung + cao.cao

7. Góc giữa hai vectơ

Góc giữa 2 vectơ bằng tích vô hướng chia cho tích độ dài.

III. Các công thức về hệ tọa độ trong không gian

Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho A[xA, yA, zA] và B [xB, yB, zB], khi đó:

a. Tọa độ vectơ

b. Độ dài đoạn thẳng

c. Tọa độ trung điểm I

d. Tọa độ trọng tâm của tam giác

Cho tam giác ABC với A[xA, yA, zA] và B [xB, yB, zB], C [xC, yC, zC], khi đó

Trên đây là những kiến thức cơ bản và trọng tâm nhất về hệ tọa độ trong không gian mà các bạn cần nhớ. Hy vọng bài viết cung cấp những kiến thức hữu ích cho công việc học tập và nghiên cứu của bạn.

PHẦN 7. HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

1. HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

1.1. Các khái niệm và tính chất

1.1.1.  Khái niệm mở đầu

Trong không gian cho ba trục $Ox,Oy,Oz$ phân biệt và vuông góc từng đôi một. Gốc tọa độ $O,$ truc hoành $Ox,$ trục tung $Oy,$ trục cao $Oz,$ các mặt tọa độ $\left[ Oxy \right],\left[ Oyz \right],\left[ Ozx \right].$

1.1.2. Khái niệm về hệ trục tọa độ

Khi không gian có hệ tọa độ thì gọi là không gian tọa độ $Oxyz$ hay không gian $Oxyz.$

Chú ý:       

1.1.3. Tọa độ véc tơ              

1.1.4. Tọa độ điểm               

1.1.5. Các công thức tọa độ cần nhớ

Cho 

• $\vec{u}=\vec{v}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=a' \\  & b=b' \\  & c=c' \\ \end{align} \right.$
• $k\overrightarrow{u}=\left[ ka;\ kb;\ kc \right]$
• $\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}=\left| \overrightarrow{u} \right|\left| \overrightarrow{v} \right|.\cos \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right]=aa'+bb'+cc'$
• $\cos \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right]=\frac{\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}}{\left| \overrightarrow{u} \right|\left| \overrightarrow{v} \right|}=\frac{aa'+bb'+cc'}{\left| \overrightarrow{u} \right|\left| \overrightarrow{v} \right|}$
• $\left| \overrightarrow{u} \right|=\sqrt{{{\overrightarrow{u}}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$
• $\overrightarrow{u}\bot \overrightarrow{v}\Leftrightarrow \overrightarrow{u}\overrightarrow{v}=0$
• $\overrightarrow{AB}=\left[ {{x}_{B}}-{{x}_{A}};\ {{y}_{B}}-{{y}_{A}};\ {{z}_{B}}-{{z}_{A}} \right]$
• $AB=\left| \overrightarrow{AB} \right|=\sqrt{{{\left[ {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right]}^{2}}+{{\left[ {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right]}^{2}}+{{\left[ {{z}_{B}}-{{z}_{A}} \right]}^{2}}}$

1.1.6. Chú ý

1.1.7. Chia tỉ lệ đoạn thẳng

M chia AB theo tỉ số k nghĩa là 

Công thức tọa độ của M là : 

1.1.8. Công thức trung điểm

1.1.9. Công thức trọng tâm tam giác

1.1.10. Công thức trọng tâm tứ diện

1.1.11. Tích có hướng 2 véc tơ

1.1.12. Tính chất tích có hướng 2 véc tơ

• • $\left[ \vec{u},\vec{v} \right]$ vuông góc với $\vec{u}$ và $\vec{v}$
  • $\left| \left[ \vec{u},\vec{v} \right] \right|=\left| {\vec{u}} \right|.\left| {\vec{v}} \right|\sin \left[ \vec{u},\vec{v} \right]$
  • $\left[ \vec{u},\vec{v} \right]=\vec{0}\Leftrightarrow \vec{u},\vec{v}$cùng phương

1.1.13. Ứng dụng tích có hướng 2 véc tơ

1.2. Phương pháp giải 1 số bài toán thường gặp

1.2.1. Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm

Phương pháp giải

• • Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
  • Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.

1.2.2. Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể tích

Phương pháp giải

• • Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
  • Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
  • Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt.
  • Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:
• $A,\,B,\,C$ thẳng hàng  $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB};\ \overrightarrow{AC}$ cùng phương  $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow \left[ \overrightarrow{AB};\ \overrightarrow{AC} \right]=\overrightarrow{0}$
• $ABCD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
• Cho  $\Delta ABC$ có các chân  $E;\ F$ của các đường phân giác trong và ngoài của góc $A$  của $\Delta ABC$  trên $BC$.

Ta có:       $\overrightarrow{EB}=\frac{-AB}{AC}.\overrightarrow{EC};\ \ \ \ \overrightarrow{FB}=\frac{AB}{AC}.\overrightarrow{FC}$

• $A,\,B,C,D$ không đồng phẳng $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB};\ \overrightarrow{AC};\ \overrightarrow{AD}$ không đồng phẳng 

                                                 $\Leftrightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD}\ne 0$

2. MẶT PHẲNG

2.1.5.  Những trường hợp riêng của  phương trình tổng quát

• $\left[ P \right]$ qua gốc tọa độ  $\Leftrightarrow D=0$
• $\left[ P \right]$ song song hoặc trùng $\left[ Oxy \right]\Leftrightarrow A=B=0$
• $\left[ P \right]$ song song hoặc trùng $\left[ Oyz \right]\Leftrightarrow B=C=0$
• $\left[ P \right]$ song song hoặc trùng $\left[ Ozx \right]\Leftrightarrow A=C=0$
• $\left[ P \right]$ song song hoặc chứa $Ox\Leftrightarrow A=0$
• $\left[ P \right]$ song song hoặc chứa $Oy\Leftrightarrow B=0$
• $\left[ P \right]$ song song hoặc chứa $Oz\Leftrightarrow C=0$
• $\left[ P \right]$ cắt $Ox$ tại $A\left[ a;0;0 \right],$ cắt $Oy$ tại $B\left[ 0;b;0 \right]$ và cắt $Oz$ tại $C\left[ 0;0;c \right]\Leftrightarrow \left[ P \right]$ có phương trình $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\ \ \ \left[ a,b,c\ \ne 0 \right]$

2.1.6.  Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng

2.1.7.  Chùm mặt phẳng

2.2. Viết phương trình mặt phẳng

Để lập phương trình mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$ ta cần xác định một điểm thuộc $\left[ \alpha  \right]$ và một VTPT của nó.

2.2.1. Dạng 1

$\left[ \alpha  \right]$ đi qua điểm  $M\left[ {{x}_{0}};\ {{y}_{0}};{{z}_{0}} \right]$ có VTPT  $\overrightarrow{n}=\left[ A;B;C \right]$ thì:

$\left[ \alpha  \right]:\ A\left[ x-{{x}_{0}} \right]+B\left[ y-{{y}_{0}} \right]+C\left[ z-{{z}_{0}} \right]=0$

2.2.2. Dạng 2

$\left[ \alpha  \right]$ đi qua điểm $M\left[ {{x}_{0}};\ {{y}_{0}};{{z}_{0}} \right]$ có cặp VTCP $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ thì $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right]$ là  một VTPT của  $\left[ \alpha  \right]$

2.2.3. Dạng 3

$\left[ \alpha  \right]$ đi qua điểm $M\left[ {{x}_{0}};\ {{y}_{0}};{{z}_{0}} \right]$ và song song với $\left[ \beta  \right]:Ax+By+Cz=0$ thì $\left[ \alpha  \right]:\ A\left[ x-{{x}_{0}} \right]+B\left[ y-{{y}_{0}} \right]+C\left[ z-{{z}_{0}} \right]=0$$$ 

2.2.4. Dạng 4

$\left[ \alpha  \right]$ đi qua 3 điểm không thẳng hàng $A,\ B,\ C$. Khi đó ta có thể xác định một VTPT của $\left[ \alpha  \right]$ là: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]$

2.2.5. Dạng 5

$\left[ \alpha  \right]$ đi qua một điểm $M$ và một đường thẳng $\left[ d \right]$ không chứa $M$:

• Trên $\left[ \alpha  \right]$ lấy điểm $A$  và VTCP $\overrightarrow{u}$.
• Một VTPT của $\left[ \alpha  \right]$ là: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{u} \right]$

2.2.6. Dạng 6

$\left[ \alpha  \right]$ đi qua một điểm $M$, vuông góc với đường thẳng $\left[ d \right]$ thì VTCP $\overrightarrow{u}$ của đường thẳng $\left[ d \right]$ là một VTPT của $\left[ \alpha  \right]$.

2.2.7. Dạng 7

$\left[ \alpha  \right]$ chứa đường thẳng cắt nhau ${{d}_{1}},\ {{d}_{2}}$

• Xác định các VTCP  $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ của các đường thẳng ${{d}_{1}},\ {{d}_{2}}.$
• Một VTPT của $\left[ \alpha  \right]$ là: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right]$
• Lấy một điểm $M$ thuộc d1 hoặc ${{d}_{2}}\Rightarrow M\in \left[ \alpha  \right]$

2.2.8. Dạng 8

$\left[ \alpha  \right]$ chứa đường thẳng ${{d}_{1}}$ và song song với đường thẳng ${{d}_{2}}$ [${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ chéo nhau:

• Xác định các VTCP  $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ của các đường thẳng ${{d}_{1}},\ {{d}_{2}}.$
• Một VTPT của $\left[ \alpha  \right]$ là: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b} \right]$
• Lấy một điểm $M$ thuộc ${{d}_{1}}\Rightarrow M\in \left[ \alpha  \right]$

2.2.9. Dạng 9

$\left[ \alpha  \right]$ đi qua điểm $M$ và song song với hai đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$:

• Xác định các VTCP  $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ của các đường thẳng ${{d}_{1}},\ {{d}_{2}}.$
• Một VTPT của $\left[ \alpha  \right]$ là: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b} \right]$.

2.2.10. Dạng 10

$\left[ \alpha  \right]$ chứa một đường thẳng $d$  và vuông góc với một mặt phẳng $\left[ \beta  \right]$

• Xác định VTCP $\overrightarrow{u}$  của $d$ và VTPT $\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}$ của $\left[ \beta  \right]$
• Một VTPT của $\left[ \alpha  \right]$  là: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{u},\ \overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right]$
• Lấy một điểm $M$  thuộc $d\Rightarrow M\in \left[ \alpha  \right]$

2.2.11. Dạng 11

$\left[ \alpha  \right]$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau $\left[ \beta  \right],\ \left[ \gamma  \right]:$

• Xác định các VTPT $\overrightarrow{{{n}_{\beta }}},\ \overrightarrow{{{n}_{\gamma }}}$  của $\left[ \beta  \right]$  và $\left[ \gamma  \right]$
• Một VTPT của $\left[ \alpha  \right]$  là: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\beta }}},\ \overrightarrow{{{n}_{\gamma }}} \right]$

2.2.12. Dạng 12

$\left[ \alpha  \right]$ chứa đường thẳng $d$  cho trước và cách điểm $M$  cho trước một khoảng $k$ cho trước:

• Giả sử $\left[ \alpha  \right]$ có phương trình: $Ax+By+Cz+D=0\ \ \left[ {{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}\ne 0 \right]$
• Lấy 2 điểm $AB\in \left[ d \right]\Rightarrow A,\ B\in \left[ \alpha  \right]$ [ta được hai phương trình $\left[ 1 \right],\left[ 2 \right]$]
• Từ điều kiện khoảng cách $d\left[ M,\ \left[ \alpha  \right] \right]=k$ , ta được phương trình [3].
• Giải hệ phương trình $\left[ 1 \right],\left[ 2 \right],\left[ 3 \right]$ [bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại].

2.2.13. Dạng 13

$\left[ \alpha  \right]$ là tiếp xúc với mặt cầu $\left[ S \right]$ tại điểm $H.$

• Giả sử mặt cầu $\left[ S \right]$  có tâm $I$ và bán kính $R$
• Một VTPT của $\left[ \alpha  \right]$ là: $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{IH}$

2.3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng $\left[ P \right]:Ax+By+Cz+D=0$  và $\left[ P' \right]:\ A'x+B'y+C'z+D'=0$

Khi đó:

• $\left[ P \right]$  cắt $\left[ P' \right]$ $\Leftrightarrow A:B:C\ne A':B':C'$
•  $\left[ P \right]//\left[ P' \right]\Leftrightarrow \frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}\ne \frac{D}{D'}$
•  $\left[ P \right]\equiv \left[ P' \right]\Leftrightarrow \frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}=\frac{D}{D'}$
•  $\left[ P \right]\bot \left[ P' \right]\Leftrightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left[ P \right]}}\bot {{\overrightarrow{n}}_{\left[ P' \right]}}\Leftrightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left[ P \right]}}.{{\overrightarrow{n}}_{\left[ P' \right]}}=0\Leftrightarrow AA'+BB'+CC'=0$

2.4. Khoảng cách và hình chiếu

2.4.1.  Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm ${{M}_{0}}\left[ {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right]$ đến mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]:\ Ax+By+Cz+D=0$ là $d\left[ {{M}_{0}},\left[ \alpha  \right] \right]=\frac{\left| A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$

2.4.2.  Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

2.4.3.  Hình chiếu của 1 điểm lên mặt phẳng

Điểm $H$ là hình chiếu của điểm $M$ trên $\left[ P \right]\Leftrightarrow \ \overrightarrow{MH},\ \overrightarrow{n}$ cùng phương $\left[ H\in \left[ P \right] \right]$

2.4.4.  Điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt phẳng

Điểm $M'$ đối xứng với điểm $M$ qua $\left[ P \right]\Leftrightarrow \overrightarrow{MM'}=2\overrightarrow{MH}$

2.5.  Góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng $\left[ \alpha  \right],\ \left[ \beta  \right]$ có phương trình: $\left[ \alpha  \right]:\ {{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+{{D}_{1}}=0$

$\ \ \ \left[ \beta  \right]:\ {{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+{{D}_{2}}=0$

Góc giữa $\left[ \alpha  \right],\ \left[ \beta  \right]$  bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT  $\overrightarrow{{{n}_{1}}},\ \overrightarrow{{{n}_{2}}}$.

$\cos \left[ \left[ \alpha  \right],\left[ \beta  \right] \right]=\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}=\frac{\left| {{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}} \right|}{\sqrt{{{A}_{1}}^{2}+{{B}_{1}}^{2}+{{C}_{1}}^{2}}+\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}$

Chú ý:       ${{0}^{0}}\le \left[ \widehat{\left[ \alpha  \right],\left[ \beta  \right]} \right]\le {{90}^{0}}$ ;    $\left[ \alpha  \right]\bot \left[ \beta  \right]\Leftrightarrow {{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}}=0$

2.6.  Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu

Cho mặt phẳng  $\left[ \alpha  \right]:\ Ax+By+Cz+D=0$ và mặt cầu $\left[ S \right]:\ {{\left[ x-a \right]}^{2}}+{{\left[ y-b \right]}^{2}}+{{\left[ z-c \right]}^{2}}={{R}^{2}}$  có tâm $I$

• $\left[ \alpha  \right]$  và $\left[ S \right]$  không có điểm chung $\Leftrightarrow d\left[ I,\left[ \alpha  \right] \right]>R$
•   $\left[ \alpha  \right]$ tiếp xúc với $\left[ S \right]\Leftrightarrow d\left[ I,\left[ \alpha  \right] \right]=R$  với$\left[ \alpha  \right]$ là tiếp diện

Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:

• Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua tâm $I$  của $\left[ S \right]$ và vuông góc với $\left[ \alpha  \right]$.
• Tìm toạ độ giao điểm $H$  của $d$ và $\left[ \alpha  \right]$.  $H$  là tiếp điểm của $\left[ S \right]$  với $\left[ \alpha  \right]$.

• $\left[ \alpha  \right]$ cắt $\left[ S \right]$  theo một đường tròn $\Leftrightarrow d\left[ I,\ \left[ \alpha  \right] \right]