1. Tọa độ của điểm và của vectơ
a] Hệ tọa độ
Trong không gian, cho ba trục xOx’, yOy’, zOz’ vuông góc với nhau từng đôi một.
Các vectơ \[\vec i,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec j,{\mkern 1mu} \vec k\] lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục xOx’, yOy’, zOz’ với:
Hệ trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Oxyz, với O là gốc tọa độ.
b] Tọa độ của vectơ trong không gian
Trong không gian Oxyz, cho vectơ \[\vec u\] tồn tại duy nhất bộ số [x,y,z] sao cho: \[\vec u = [x;y;z]\]
\[ \Leftrightarrow \vec u = x\vec i + y\vec j + z\vec k.\]
Bộ số: [x,y,z] được gọi là tọa độ của vectơ \[\vec u\]
c] Tọa độ điểm trong không gian
Trong không gian Oxyz, cho điểm A tùy ý tồn tại duy nhất bộ số
Bộ số
2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Cho hai vectơ \[\vec u = [x;y;z]\] và
- cùng phương
Cho hai điểm
- \[\overrightarrow {AB} = [{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}]\]
- \[AB = \sqrt {{{[{x_B} - {x_A}]}^2} + {{[{y_B} - {y_A}]}^2} + {{[{z_B} - {z_A}]}^2}} \]
- \[\overrightarrow {IA} = k.\overrightarrow {IB} [k \ne 1] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_I} = \frac{{{x_A} - k.{x_B}}}{{1 - k}}}\\{}\\{{y_I} = \frac{{{y_A} - k.{y_B}}}{{1 - k}}}\\{}\\{{z_I} = \frac{{{z_A} - k.{z_B}}}{{1 - k}}}\end{array}} \right.\]
- Đặc biệt I là trung điểm AB thì: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}}\\{}\\{{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}}\\{}\\{{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}}\end{array}} \right.\]
- G là trọng tâm của tứ diện ABCD: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4}}\\{}\\{{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4}}\\{}\\{{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}}\end{array}} \right.\]
3. Tích vô hướng
- Công thức tính tích vô hướng: \[\vec a.\vec b = \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.cos[\vec a,\vec b]\]
- Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: \[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec a = [{x_1};{y_1};{z_1}]}\\{\vec b = [{x_2};{y_2};{z_2}]}\end{array}} \right\}\vec a.\vec b = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2} + {z_1}.{z_2}\]
- Công thức tính góc giữa hai vectơ: \[cos[\vec a,\vec b] = \frac{{\vec a.\vec b}}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|}}.\]
4. Phương trình mặt cầu
- Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I[a;b;c], bán kính R có phương trình: \[{[x - a]^2} + {[y - b]^2} + {[z - c]^2} = {R^2}.\]
- Nhận xét: Phương trình mặt cầu có thể viết dưới dạng
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2Ax - 2By - 2Cz + D = 0\] điều kiện \[{A^2} + {B^2} + {C^2} - D > 0\]
Khi đó, mặt cầu có tâm I [A; B; C], bán kính
Trong không gian Oxyz cho điểm M [3; 2; 1]. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và cắt các trục x'Ox, y'Oy, z'Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho M là trực tâm của tam giác ABC.
A. 3x + y + 2z - 14 = 0
B. 3x + 2y + z - 14 = 0
C . x 9 + y 3 + z 6 = 1
D . x 12 + y 4 + z 4 = 1
Các câu hỏi tương tự
Trong không gian Oxyz, cho điểm M[1;2;3]. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng [P] đi qua M và cắt trục x'Ox, y'Oy, z'Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho OA=2OB=3OC>0.
Trong không gian Oxyz cho điểm M[1;3;-2]. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng [P] đi qua M và cắt các trục x'Ox, y'Oy, z'Oz lần lượt tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho OA=OB=OC ≠ 0.
A. 1.
B. 2.
C. 4.
D. 3.
Trong không gian Oxyz cho điểm M [1;3;-2]. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng [P] đi qua M và cắt các trục x'Ox, y'Oy, z'Oz lần lượt tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho OA = OB = OC ≠ 0.
A. 1.
B. 2.
C. 4
D. 3.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M[1;2;3], A[2;4;4] và hai mặt phẳng [P]:x+y-2z+1=0, [Q]:x-2y-z+4=0. Đường thẳng ∆ đi qua điểm M, cắt hai mặt phẳng [P], [Q] lần lượt tại B và C[a;b;c] sao cho tam giác ABC cân tại A và nhận AM làm đường trung tuyến. Tính T=a+b+c.
A. T = 9
B. T = 3
C. T = 7
D. T = 5
A. 6x - 3y -2z - 6 = 0
C. x 1 + y - 2 + z 3 = 3
A. 2x + 2y + z - 8 = 0
C. x 1 + y 2 + z 2 = 1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng [P] đi qua điểm M[1;2;3] và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C [khác O]. Viết phương trình mặt phẳng [P] sao cho M là trực tâm của tam giác ABC.