- LG a
- LG b
LG a
Cho \[\displaystyle a = {\log _3}15,b = {\log _3}10\]. Hãy tính \[\displaystyle{\log _{\sqrt 3 }}50\] theo \[\displaystyle a\] và \[\displaystyle b\].
Phương pháp giải:
Thu gọn các số \[\displaystyle a,b\], từ đó biến đổi biểu thức cần tính giá trị về làm xuất hiện \[\displaystyle a,b\].
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\displaystyle a = {\log _3}15 = {\log _3}[3.5]\]\[\displaystyle = {\log _3}3 + {\log _3}5 = 1 + {\log _3}5\] \[\displaystyle \Rightarrow {\log _3}5 = a - 1\]
Do đó:
\[\displaystyle{\log _{\sqrt 3 }}50 = {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}50\]\[\displaystyle = 2{\log _3}50 \] \[= 2{\log _3}\left[ {5.10} \right]\] \[= 2\left[ {{{\log }_3}5 + {{\log }_3}10} \right]\]\[\displaystyle = 2{\log _3}5 + 2{\log _3}10\]\[\displaystyle = 2\left[ {a - 1} \right] + 2b = 2a + 2b - 2\].
Cách khác:
a = log315 = log3[3.5]
= log33 + log35 = 1 + log35
Suy ra log35 = a 1
b = log310 = log3[2.5] = log32 + log35
Suy ra
log32 = b log35
= b [a 1] = b a + 1
Do đó:
log350 = \[ = {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}\left[ {{{2.5}^2}} \right]\] \[ = 2{\log _3}\left[ {{{2.5}^2}} \right]\] \[ = 2\left[ {{{\log }_3}2 + {{\log }_3}{5^2}} \right]\] \[ = 2\left[ {{{\log }_3}2 + 2{{\log }_3}5} \right]\]
= 2log32 + 4log35
= 2 [b a + 1] + 4[a 1]
= 2a + 2b 2
LG b
Cho \[\displaystyle a = {\log _2}3,b = {\log _3}5,c = {\log _7}2\]. Hãy tính \[\displaystyle{\log _{140}}63\] theo \[\displaystyle a,b,c\].
Phương pháp giải:
Thu gọn các số \[\displaystyle a,b\], từ đó biến đổi biểu thức cần tính giá trị về làm xuất hiện \[\displaystyle a,b\].
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\displaystyle{\log _{140}}63 = {\log _{140}}[{3^2}.7]\] \[= {\log _{140}}{3^2} + {\log _{140}}7\] \[\displaystyle = 2{\log _{140}}3 + {\log _{140}}7\]
\[\displaystyle = \frac{2}{{{{\log }_3}140}} + \frac{1}{{{{\log }_7}140}}\]\[\displaystyle = \frac{2}{{{{\log }_3}[{2^2}.5.7]}} + \frac{1}{{{{\log }_7}[{2^2}.5.7]}}\]
\[ = \frac{2}{{{{\log }_3}{2^2} + {{\log }_3}5 + {{\log }_3}7}} \] \[+ \frac{1}{{{{\log }_7}{2^2} + {{\log }_7}5 + {{\log }_7}7}}\]
\[\displaystyle = \frac{2}{{2{{\log }_3}2 + {{\log }_3}5 + {{\log }_3}7}}\]\[\displaystyle + \frac{1}{{2{{\log }_7}2 + {{\log }_7}5 + 1}}\]
Từ đề bài suy ra:
\[\displaystyle{\log _3}2 = \frac{1}{{{{\log }_2}3}} = \frac{1}{a}\]
\[\displaystyle{\log _7}5 = {\log _7}2.{\log _2}3.{\log _3}5 = cab\]
\[\displaystyle{\log _3}7 = \frac{1}{{{{\log }_7}3}} = \frac{1}{{{{\log }_7}2.{{\log }_2}3}} = \frac{1}{{ca}}\]
Vậy \[\displaystyle{\log _{140}}63\]\[\displaystyle = \frac{2}{{\frac{2}{a} + b + \frac{1}{{ca}}}} + \frac{1}{{2c + cab + 1}}\]
\[\begin{array}{l}
= \frac{2}{{\frac{{2c + abc + 1}}{{ca}}}} + \frac{1}{{2c + abc + 1}}\\
= \frac{{2ca}}{{2c + abc + 1}} + \frac{1}{{2c + abc + 1}}
\end{array}\]
\[\displaystyle = \frac{{2ac + 1}}{{abc + 2c + 1}}\].