Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng1. Phương trình một ẩn f[x] = g[x] [1]• x0 là một nghiệm của [1] nếu "f[x0] = g[x0]" là một mệnh đề đúng.• Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.• Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình. Chú ý: + Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau:– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x1[ ] thì cần điều kiện P[x] ≠ 0.– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x[ ] thì cần điều kiện P[x] ≥ 0.+ Các nghiệm của phương trình f[x] = g[x] là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f[x] và y = g[x].2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quảCho hai phương trình f1[x] = g1[x] [1] có tập nghiệm S1 và f2[x] = g2[x] [2] có tập nghiệm S2.• [1] ⇔ [2] khi và chỉ khi S1 = S2.• [1] ⇒ [2] khi và chỉ khi S1 ⊂ S2.3. Phép biến đổi tương đương• Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta được một phương trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau:– Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức.– Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0.• Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ quả. Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.Bài 1. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:a] xx x5 53 124 4+ = +− −b] xx x1 15 153 3+ = ++ +c] xx x21 191 1− = −− −d] xx x2 23 155 5+ = +− −Bài 2. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:a] x x1 1 2+ − = −b] x x1 2+ = −c] x x1 1+ = +d] x x1 1− = −e] xx x31 1=− −f] x x x21 2 3− − = − +Bài 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:a] x x x23[ 3 2] 0− − + =b] x x x21[ 2] 0+ − − =c] xxx x122 2= − −− −d] x xxx x24 311 1− += + ++ +Trang 14 www.MATHVN.comCHƯƠNG IIIPHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNHCHƯƠNG IIIPHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNHI. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH I. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ TùngBài 4. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:a] x x2 1− = +b] x x1 2+ = −c] x x2 1 2− = +d] x x2 2 1− = −Bài 5. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:a] x xx x1 1=− −b] x xx x2 21 1− −=− −c] x xx x2 2=− −d] x xx x1 12 2− −=− −Bài 6.a] ax + b = 0 [1]Hệ số Kết luậna ≠ 0[1] có nghiệm duy nhất bxa= −a = 0b ≠ 0[1] vô nghiệmb = 0 [1] nghiệm đúng với mọi xChú ý: Khi a ≠ 0 thì [1] đgl phương trình bậc nhất một ẩn.Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:a] m x m x2[ 2] 2 3+ − = −b] m x m x m[ ] 2− = + −b] m x m m x[ 3] [ 2] 6− + = − +d] m x m x m2[ 1] [3 2]− + = −e] m m x x m2 2[ ] 2 1− = + −f] m x m x m2[ 1] [2 5] 2+ = + + +Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo các tham số a, b, c:a] x a x bb a a ba b[ , 0]− −− = − ≠b] ab x a b b x[ 2] 2 [ 2a]+ + = + +c] x ab x bc x bb a b ca c b23 [ , , 1]1 1 1+ + ++ + = ≠ −+ + +d] x b c x c a x a ba b ca b c3 [ , , 0]− − − − − −+ + = ≠Bài 3. Trong các phương trình sau, tìm giá trị của tham số để phương trình:i] Có nghiệm duy nhất ii] Vô nghiệm iii] Nghiệm đúng với mọi x ∈ R.a] m x n[ 2] 1− = −b] m m x m2[ 2 3] 1+ − = −c] mx x mx m x2[ 2][ 1] [ ]+ + = +d] m m x x m2 2[ ] 2 1− = + −Bài 4.a] Trang 15 www.MATHVN.comII. PHƯƠNG TRÌNH ax + b = 0II. PHƯƠNG TRÌNH ax + b = 0Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai1. Cách giảiax2 + bx + c = 0 [a ≠ 0] [1]b ac24∆= −Kết luận∆ > 0[1] có 2 nghiệm phân biệt bxa1,22∆− ±=∆ = 0[1] có nghiệm kép bxa2= −∆ < 0[1] vô nghiệmChú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì [1] có hai nghiệm là x = 1 và x = ca.– Nếu a – b + c = 0 thì [1] có hai nghiệm là x = –1 và x = ca−.– Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với bb2′=.2. Định lí Vi–etHai số x x1 2, là các nghiệm của phương trình bậc hai ax bx c20+ + = khi và chỉ khi chúng thoả mãn các hệ thức bS x xa1 2= + = − và cP x xa1 2= =.VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận phương trình ax bx c20+ + =Để giải và biện luận phương trình ax bx c20+ + = ta cần xét các trường hợp có thể xảy ra của hệ số a:– Nếu a = 0 thì trở về giải và biện luận phương trình bx c 0+ =.– Nếu a ≠ 0 thì mới xét các trường hợp của ∆ như trên.Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau:a] x x m25 3 1 0+ + − =b] x x m22 12 15 0+ − =c] x m x m2 22[ 1] 0− − + =d] m x m x m2[ 1] 2[ 1] 2 0+ − − + − =e] m x m x2[ 1] [2 ] 1 0− + − − =f] mx m x m22[ 3] 1 0− + + + =Bài 2. Cho biết một nghiệm của phương trình. Tìm nghiệm còn lại:a] x mx m x231 0;2− + + = = −b] x m x m x2 22 3 0; 1− + = =c] m x m x m x2[ 1] 2[ 1] 2 0; 2+ − − + − = =d] x m x m m x2 22[ 1] 3 0; 0− − + − = =Bài 3.a] Trang 16 www.MATHVN.comIII. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax2 + bx + c = 0 [a ≠ 0]III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax2 + bx + c = 0 [a ≠ 0]Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ TùngVẤN ĐỀ 2: Dấu của nghiệm số của phương trình ax bx c a20 [ 0]+ + = ≠ [1]• [1] có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < 0• [1] có hai nghiệm cùng dấu ⇔ P00∆≥>• [1] có hai nghiệm dương ⇔ PS000∆≥>>• [1] có hai nghiệm âm ⇔ PS000∆≥> 0.Bài 1. Xác định m để phương trình:i] có hai nghiệm trái dấu ii] có hai nghiệm âm phân biệtiii] có hai nghiệm dương phân biệta] x x m25 3 1 0+ + − =b] x x m22 12 15 0+ − =c] x m x m2 22[ 1] 0− − + =d] m x m x m2[ 1] 2[ 1] 2 0+ − − + − =e] m x m x2[ 1] [2 ] 1 0− + − − =f] mx m x m22[ 3] 1 0− + + + =g] x x m24 1 0− + + =h] m x m x m2[ 1] 2[ 4] 1 0+ + + + + =Bài 2.a] VẤN ĐỀ 3: Một số bài tập áp dụng định lí Vi–et1. Biểu thức đối xứng của các nghiệm sốTa sử dụng công thức b cS x x P x xa a1 2 1 2;= + = − = = để biểu diễn các biểu thức đối xứng của các nghiệm x1, x2 theo S và P.Ví dụ:x x x x x x S P2 2 2 21 2 1 2 1 2[ ] 2 2+ = + − = −x x x x x x x x S S P3 3 2 21 2 1 2 1 2 1 2[ ] [ ] 3 [ 3 ] + = + + − = − 2. Hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham sốĐể tìm hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số ta tìm:b cS x x P x xa a1 2 1 2;= + = − = =[S, P có chứa tham số m].Khử tham số m giữa S và P ta tìm được hệ thức giữa x1 và x2.3. Lập phương trình bậc haiNếu phương trình bậc hai có các nghiệm u và v thì phương trình bậc hai có dạng:x Sx P20− + =, trong đó S = u + v, P = uv.Bài 1. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính:A = x x2 21 2+; B = x x3 31 2+; C = x x4 41 2+; D = x x1 2−; E = x x x x1 2 2 1[2 ][2 ]+ +a] x x25 0− − =b] x x22 3 7 0− − =c] x x23 10 3 0+ + =d] x x22 15 0− − =e] x x22 5 2 0− + =f] x x23 5 2 0+ − =Trang 17 www.MATHVN.comTrần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc haiBài 2. Cho phương trình: m x m x m2[ 1] 2[ 1] 2 0+ − − + − = [*]. Xác định m để:a] [*] có hai nghiệm phân biệt.b] [*] có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia.c] Tổng bình phương các nghiệm bằng 2. Bài 3. Cho phương trình: x m x m22[2 1] 3 4 0− + + + = [*].a] Tìm m để [*] có hai nghiệm x1, x2.b] Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m.c] Tính theo m, biểu thức A = x x3 31 2+.d] Tìm m để [*] có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia.e] Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là x x2 21 2,.HD: a] m22≥b] x x x x1 2 1 21+ − = −c] A = m m m2[2 4 ][16 4 5]+ + −d] m1 2 76±=e] x m m x m2 2 22[8 8 1] [3 4 ] 0− + − + + =Bài 4. Cho phương trình: x m x m m2 22[ 1] 3 0− − + − = [*]. a] Tìm m để [*] có nghiệm x = 0. Tính nghiệm còn lại.b] Khi [*] có hai nghiệm x1, x2 . Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m.c] Tìm m để [*] có hai nghiệm x1, x2 thoả: x x2 21 28+ =.HD: a] m = 3; m = 4 b] x x x x x x21 2 1 2 1 2[ ] 2[ ] 4 8 0+ − + − − =c] m = –1; m = 2.Bài 5. Cho phương trình: x m m x m2 2 3[ 3 ] 0− − + =.a] Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia.b] Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 1. Tính nghiệm còn lại.HD: a] m = 0; m = 1 b] x x x2 2 21; 5 2 7; 5 2 7= = − = − −.Bài 6. [nâng cao] Cho phương trình: x x x2 22 2 sin 2 cosα α+ = + [α là tham số].a] Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi α.b] Tìm α để tổng bình phương các nghiệm của phương trình đạt GTLN, GTNN.Bài 7. Cho phương trình: a] Trang 18 www.MATHVN.comPhương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng1. Định nghĩa và tính chất • A khi AAA khi A00≥=−