Bài tập tìm min max hàm lượng giác năm 2024

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Các dạng toán liên quan đến hàm số lượng giác

DẠNG.

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác.

*Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Cho hàm số

 

yfx



xác định trên miền

DR



. 1.

Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số

 

yfx



trên D nếu

  

00

fxM,xDxD,fxM

     

2.

Số thực N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

yfx



trên D nếu

  

00

fxm,xDxD,fxm

     

Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này: 1.

Tính bị chặn của hàm số lượng giác . 2.

Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất giữa

sin

và

cos

. 3.

Bảng biến thiên của hàm số lượng giác. 4.

Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay.

Ví dụ 1.

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

102017cos(8 ) 2016.2017

y x



  

A.

min1;maxy4033.

y

 

min1;maxy4033.

y

  

C.

min1;maxy4022.

y

 

min1;max4022.

y y

  

Phân tích

Ta có các bước để giải quyết bài toán như sau:

Bước 1:

Chỉ ra

 

fxM,xD.

  

Bước 2 :

Chỉ ra

0

xD



sao cho

 

0

fxM



. Kết luận :

 

D

maxfxM



Tương tự với tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Lời giải

Chọn B. Cách 1:

Hàm số xác định trên

R

. Ta có

101cos8x1,R.2017

       

1020172017cos8x20164033,R 2017

         

.

1012017cos8x20164033,R 2017

         

Ta có

y1

 

khi

10cos8x12017

     

;

y4033



khi

10cos8x12017

    

. Vậy

min1;maxy4033

y

  

.

Cách 2:

sử dụng máy tính cầm tay. Trong bốn phương án chỉ có hai giá trị

max

là

4022;4033

. Chỉ có hai giá trị min là 1;-1. Lúc này ta sử dụng chức năng SHIFT CALC

để thử giá trị:

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Ví dụ ta nhập vào màn hình

102017cos8x201640332017

     

ta thấy phương trình có nghiệm. Tương tự nhập

102017cos8x201612017

      

ta thấy phương trình có nghiệm. Từ đây ta chọn

B

.

STUDY TIP

Trong bài toán ta chọn thử hai giá trị trên vì

4033

là giá trị lớn hơn và

1



là giá trị nhỏ hơn nên ta thử trước. Nếu phương trình không có nghiệm thì sẽ là trường hợp còn lại.

Ví dụ 2.

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

2

2cos23sinxcos1

y x x

  

min0;maxy4

y

 

min13;maxy33.

y

   

min4;maxy0.

y

  

min13;maxy33

y

    

.

Lời giải

Chọn A.

Để sử dụng tính bị chặn của hàm số ở trong STUDY TIP ta đưa ra ở trên, ta sẽ đưa

2

2cos23sinxcos1

y x x

  

về theo

 

sin

u x

hoặc

 

cos

u x

. Ta có

2

2cos23sinxcos1

y x x

  

2

2cos13sin22

x x

   

 

cos23sin22*

x x

  

132cos2sin2222

x x

      

2cos223

x



     

Mặt khác 12cos224,3

x x R



         

04,x

y R

    

. Ta có bài toán tổng quát: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

sincos

y a u b u

 

trên

R

. Với

22

,bR;a0.

a b

  

Lời giải tổng quát

sinu+bcosu

y a



222222

sin cos

a b y u u a ba b a b

       

Vì

22222

a b1a b a b

              

R

  

sao cho

22

acosab

 

và

22

bsinab

 

 

2 2

yabsinu.coscosu.sin

     

 

2 2

yab.sinu

    

Vì

 

1sinu1

   

2222

abyab

     

Ngoài ra ta có thể mở rộng bài toán như sau:

   

y asin f x bcos f x c

        

. Ta có

2222

abcyabc

      

Từ bài toán tổng quát trên ta có thể giải quyết nhanh bài toán ví dụ 2 từ dòng (*) như sau: Ta có

132132

y

      

04

y

  

.

STUDY TIP

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Ngoài cách nhớ công thức ở bài toán tổng quát phía bên phải ta có thể nhớ theo điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất theo sin và cos như sau: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

   

sin cos

y a f x b f x c

        

   

sin cos 0

a f x b f x c y

         

điều kiện có nghiệm

 

222

a b c y

  

. Từ đây ta tìm được

min,max

của y.

Ví dụ 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

sinx 2cos 32 cos

x y x

 

2min ;maxy 23

y

  

. B.

2min ;maxy 23

y

 

1 3min ;maxy2 2

y

 

1 3min ;maxy2 2

y

  

Lời giải Chọn B. Cách 1:

Ta có

cos20,

x x R

   

.

sinx 2cos 32 cos

x y x

 

sinx2cos32cos

x y y x

    

 

sinx2cos320

y x y

     

Ta sử dụng điều kiện ở STUDY TIP trong bài tổng quát trên. Ta có

   

222

1 2 3 2

y y

   

22

41294410

y y y y

       

2

3840

y y

   

223

y

  

Cách 2

: sử dụng máy tính cầm tay Tương tự như ở ví dụ 1 thì ta có thể sử dụng SHIFT SOLVE:

sinx 2cosx 322 cosx

 

thì phương trình có nghiệm. Do 2 là số lớn nhất trong các phương án A;B;C;D nên ta không cần thử trường hợp

3max2



. Lúc này chỉ còn A và B. Thử với

2min y3

 

thì không có nghiệm. Từ đây chọn B.

STUDY TIP

Nếu hàm số có dạng

1 1 12 2 2

asinxbcosxcyasinxbcosxc

  

ta tìm miền xác định của hàm số rồi quy đồng mẫu số, đưa về dạng phương trình trong STUDY TIP ở phía trên và tiếp tực lời giải.

Ví dụ 4.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

4

ysinxcosx

 

.

min1;maxy1

y

  

.

min0;maxy1

y

 

min1;maxy0

y

  

.

min1;maxy

y

 

không tồn tại.

Lời giải Chọn B.