Bài tập toán rời rạc 2023 cao thắng năm 2024
0% found this document useful (0 votes) 590 views 11 pages Copyright© Attribution Non-Commercial (BY-NC) Available FormatsPDF, TXT or read online from Scribd Share this documentDid you find this document useful?0% found this document useful (0 votes) 590 views11 pages BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠCBÀI T Ậ P TOÁN RỜI R ẠC CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LOGIC 1/ Xét chân trị của các vị từ ( ) p x , p(x) q(x), p(x) q(x), p(x) q(x) và p(x) q(x) tùy theo biến thực x : p(x) = “ x 2 2x 8 0 “ và q(x) = “ (x + 1)(x 2) 1 \> 0 “
3 2x)(x + 4) 1 0 “ và q(x) = “ (x 2 + x 2)(x 3x + 10 ) > 0 “ 2/ Cho a R . Viết mệnh đề phủ định A nếu A có nội dung như sau :
3 +5a \= 10 b) (2a 5)(3a + 1) 1 7 c) 8 5 a 2 d) ln(a 2 a
/5 dân số tốt nghiệp đại học
ơ n m ộ t n ử a s ố B ộ tr ưởn g th ự c s ự có n ă ng l ự c i) Không ít h ơ n 1/6 s ố tr ẻ em b ị th ấ t h ọ c j) Nhi ề u nh ấ t là 30 ứ ng viên thi đạ t ng oại ng ữ
ấ t 5 sinh viên đạ t gi ả i th ưởn g l) Đú ng 12 thí sinh d ự vòng chung k ế t c ủ a cu ộc thi m) H ơ n 7 v ậ n độ ng viên phá k ỷ l ụ c qu ố c gia n) Ít h ơ n 16 qu ố c gia thi đấ u môn bóng r ổ
ế u S ơ n th ắ ng tr ậ n thì anh ấ y được đ i Paris p) Không ai mu ố n làm vi ệ c vào ngày ch ủ nh ậ t q) C ả l ớ p nói chuy ệ n ồ n ào r) Có ai đó g ọ i đ i ệ n th oại cho Tu ấ n s) Các c ầ u th ủ không thích b ơ i l ộ i t) H ắ n thông minh nh ư ng thi ế u th ậ n tr ọ ng u) Ng ọ c h ọ c Toán mà không h ọ c L ị ch s ử
ũ ng cùng An đ i thi ng oại ng ữ
ũ v ừ a gi ỏ i V ậ t Lý v ừ a gi ỏ i Hóa h ọ c x) H ả i đạ t k ế t qu ả th ấ p ở c ả môn Tin h ọ c l ẫ n môn Toán y) H ọ đế n tr ườn g hay h ọ đ i xem phim z) Chúng tôi đ i Vinh nh ư ng các anh ấ y không đ i Hu ế ) Nhóm bác s ĩ hay nhóm k ỹ s ư đ i làm t ừ thi ệ n T ừ bài 3 đến bài 5 , các ký hiệu p, q, r và s là các biến mệnh đề . 3/ Rút g ọ n các d ạ ng m ệ nh đề sau : a) [(p (p q )] q b) p q [( p q ) q ] c) p q ( p q
(q ( p q
[ q ( q r)] f) p (p q ) (p q r ) (p q r s ) 4/ Chứng minh
p q p q ] (p
(q r)} (p q)] ( p q r ) c) {(p [p (q r)]} (p
p q r ) q ] (p r)} (p q
(p r)] ( ) p r q } [(p q ] f) [p (q r)] [ r ( q p )] g) [(p (q (r p)] [(p (q (r p)] h) [p ( q r)] [(q r ) p ] i) [(p (q (r p)] [(p (q (r p)] j) [ ( q p )
p q 5/ Chứng minh các dạng mệnh đề sau là hằng đúng ho ặ c h ằ ng sai : a) (p (p q
[(q (p r)] c) [p (q r)] (p
(q r)] [p (q r)] e) {[(p (r p )] (q r )} p
(q r)] [ (p r] g) (r ( p
q ) q] p q
(q r)] (p r ) p q
q ) ( q p ) (q 6/ Cho các l ượn g t ừ và ( , { , } ). Xét chân tr ị c ủ a A và viết A tùy theo d ạ ng c ụ th ể c ủ a và :
x R , | x | = x 3 “
x Q , x 2 2x > 2 “ A = “ x R , n N , 2 n x < 2 n + 1 “
x R , y R , (x 2 \= y 2 ) (x \= y) “ e) A \= “ x Q , y R , (x 2 + 2x 15)y = 0 “ A = “ x R , y Q , x 2 + 4x y 2 + 7 “
x R , k Z , (x y) 2 2 2 “ 7/ Vi ế t d ạ ng ph ủ đị nh c ủ a A và xét chân tr ị A( xét tr ự c ti ế p A hay xét gián ti ế p A ):
n N , 4|n 2 4|n “
x R , sinx + 2x =1 “ c) A \= “ x R , y R , 2x + 3siny > 0 “
x R , y N , (x 2 y 2 ) (x
A = “ x R , y Q , 2 y + 2 y sinx + 3 “ A = “ x R , y Q , t Z , x y 2 + 2t “ g ) A = “ x Q , y R , t N , x 3 3y 5 t “ 8/ Ch ứ ng minh qui n ạ p theo s ố nguyên n : a) 1 3 + 2 3 + … + n 3 \= 4 1 n 2 (n + 1) 2 n 1
1 n 1
\= 4 1 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) n 1 d) 2 n < n! n 4 e) n 2 < 2 n n 5 ( để ý (n + 1) 2 < 2n 2 n 3 ) f) n 3 < 2 n n 10 ( để ý (n + 1) 3 < 2n 3 n 4 ) g) 2 1 n + 1 1 1 + 2 1 + 3 1 + … + ( 2 n ) 1 (n + 1) n 0 h) 8 | ( 3 n + 7 n 2 ) n 0 i) 4 | ( 6.7 n 2.3 n ) n 0 j) 3 n + 1 | ( 3 2 1 n ) n 0 k) Cho a R \ { 0 } và ( a + a 1 ) là số nguyên. Chứng minh ( a n + a n ) là số nguyên n 1. l) Cho dãy số Fibonacci a 0 \= 0,a 1 \= 1 và a n + 2 \= a n + 1 + a n n 0. Chứng minh rằng a n \= ( 5 ) 1 ( n n ) n 0 với và là 2 nghiệm thực của phương trình x 2 x 1 = 0 thỏa \> . 9/ Gi ả i thích s ự đú ng đắ n c ủ a các s ự suy lu ậ n d ưới đâ y (p, q, r, s, t và u là các biến mệnh đề ) : a) [p (p (s (r q )] (s
p ( p ( r s)] ( q
s [ ( p r] u [ r (s t)] (u t )] } p d) [(p r q ] p r
(q r)] (t s (p s)} ( r t ) f) (p r q ) [(p q] g) {[p (q r)] ( q p ) p} r h) {[(p r] (r s } (p q ) i) {(p (r [(s (p t)] (t p )} ( p r ) j) [p (p (r q )] r k) {(p (r [(s t] t } ( p r ) l) [(p ( r q ) r ] p
(r q)] p q [r (s t)] s } t n) [(p (p r ] q 10/ Chỉ ra sự sai lầm c ủ a các s ự suy lu ậ n d ưới đâ y (p, q, r và s là các biến mệnh đề ): a) [(p r] [p (q r)] b) [(p r] [p (q r)] c) {[p ( r q )] p q } 1
(q r)] [(p (q r)]} O e) {[ p {(q s}] [s ( r p)]} 1
r (s p )] q
(q r)] (p
r] [(p (q r)] i) [( p q] p
p ] q
(q ( s (r s )] s l) {(p p [p (q r )] ( s q )} s m) {[(p q] (q
(p
q ( ) p q r ] {[p (q r)] p q r } 11/ Cho các v ị t ừ p(x) và q(x) theo bi ế n x
ứ ng minh a) [ x A, p(x) q(x) ] [ ( x A, p(x)) ( x A, q(x)) ] b) [ x A, p(x) q(x) ] [ ( x A, p(x)) ( x A, q(x)) ] c) [ x A, p(x) q(x) ] [ ( x A, p(x)) ( x A: q(x)) ] d) [ ( x A, p(x)) ( x A, q(x)) ] [ x A, p(x) q(x) ] Cho ví d ụ để th ấ y chi ề u đả o c ủ a c) và d) không đú ng. 12/ Cho các v ị t ừ p(x) và q(x) theo bi ế n x
ả i thích s ự đú ng đắ n c ủ a các s ự suy lu ậ n d ưới đâ y : a) {[ x A, p(x) (q(x) r(x))] [ x A, p(x) s(x) ]} [ x A, r(x) s(x) ] b) {[ x A, p(x) q(x) ] [ x A, ( ) p x ] [ x A, ( ) q x r(x) ] [ x A, s(x) ( ) r x ]} [ x A, ( ) s x ] CHƯƠNG 2 : TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ 1/ Li ệ t kê các t ậ p h ợ p sau đâ y : A = {1 + ( 1) n / n N } B \= {n + n 1 / n N } C \= {x \= (m/n) / m, n Z , n 0, m 2 < 2 và 6n \> n 2 7} D = { 2sin(n /6) + 5 / n Z } E \= { x \= (m/n) / m, n Z , 17 < n 80 và 2 1 < x < 1 } F = { x Z / (x 2 + 3x 10)(x + 4) 1 0 } G \= { x Q / x 4 256 và x \= 3 cosx 2 sin3x } 2/ Cho A,B R . Vi ế t A , B , A B, A B, A \ B, B \ A thành ph ầ n h ộ i c ủ a các kh oản g r ờ i nhau trong R
9, [ 1,2] [4,5) (7,11] (13,+ ] B \= ( , 7] [ 4,2) (0,3) (6,8] [10,15] b) A = ( , [4, 7] { 1, 2, 8, 10 } B \= ( 5, 1] [6, 9) { 6, 3, 5, 10 } 3/ Cho A, B, C, D
ọ n các bi ể u th ứ c sau đâ y : a) ( A \ B ) ( B \ A ) ( A B ) b) ( A B ) \ [ ( A \ B ) ( A B ) ] c) A B ( A B C ) d) ( A B ) ( A B C D ) ( A B ) e) A ( A B ) ( A B C ) ( A B C D ) 4/ Cho A,B,D
ứn g minh a) D \ ( A B ) = ( D \ A ) ( D \ B ) b) D \ ( A B ) = ( D \ A ) ( D \ B ) c) ( A B ) \ D = ( A \ D ) ( B \ D ) d) ( A B ) \ D = ( A \ D ) ( B \ D ) e) ( A \ B ) \ D = A \ ( B D ) = ( A \ D ) \ ( B \ D ) 5/ Cho A, B, H, K
ứ ng minh a) [ ( A H ) ( B K ) ] [ ( A B ) ( H K ) ] b) [ (A B ) \ ( H K ) ] [ ( A \ H ) ( B \ K ) ] [ ( A B ) \ ( H K ) ] c) [ ( A B ) \ H ] [ A ( B \ H )] d) [ (A B ) \ ( A H ) ] ( B \ H ) Cho các ví d ụ để th ấ y tr ườn g h ợ p không có d ấ u đẳ ng th ứ c x ả y ra trong a), b), c) và d) . 6/ Cho A = { 0, 1, a }, B \= { a, 2 } và C = { 2, b }. a) Li ệ t kê các t ậ p h ợ p A 2 , A x B, C x A, B x C và C x B. b) Li ệ t kê các t ậ p h ợ p B 3 , A x B 2 , C x A x C, A x B x C và C 2 x B. 7/ Cho A, B E và H, K
ứ ng minh a) A x ( H \ K ) = ( A x H ) \ ( A x K ) b) [ ( A x H ) \ ( B x K ) ] = [ ( A \ B ) x H ] [ A x ( H \ K ) ] c) ( A x H ) ( B x K ) = ( A B ) x ( H K ) d) [ ( A x H ) ( B x K ) ] [ ( A B ) x ( H K ) ] e) [ ( A \ B ) x ( H \ K )] [ ( A x H ) \ ( B x K ) ] Cho các ví d ụ để th ấ y tr ườn g h ợ p không có d ấ u đẳ ng th ứ c x ả y ra trong d) và e). 8/ Các qui t ắ c f : X Y sau có ph ả i là ánh x ạ không ? T ạ i sao ? a) X = ( 2, 1], Y = R , f(x) = x(x 2 + 2x 3) 1 x X b) X \= R , Y = (6, + ), f(x) = e x + 9e x x X c) X = Y = R , f(x) = ln| sinx | x X d) X \= [ 1, + ), Y = R , f(x) = y sao cho y 2 2y = x x X e) X = [1, 3],Y = R \{0}, f(x) = 3x 2 9x + 5 x X f) X \= Q ,Y = Z , f(m/n) = m 2 + 3n mn (m/n) X 9/ Xét tính đơn ánh và toàn ánh của các á nh x ạ f : X Y sau : a) X = Y = R , f(x) = x(x 2 + 1) 1 x X b) X \= [ 2, + ), Y = ( 20, + ), f(x) = x 2 + 6x 3 x X c) X = Y = R , f(x) = (x 1)(x + 3) (x x X d) X \= R \{0}, Y = R , f(x) = (2x 3)x 1 x X e) X = R , Y = [ 2, 2], f(x) = sinx + 3 cosx x X f) X \= Y \= R , f(x) = 3cos2x 7x + 8 x X 10/ Xác định u = g o f, v = f o g (n ế u có) và w = h o g o f khi f : X Y, g : Z T và h : U V trong đó
R , f(x) = 2x + 1, g(x) = x 2 + x 3 và h(x) \= x 3 + 4cosx b) X = T = U = (0,+ ), Y = Z = R , V = [1, + ), f(x) = 3lnx 2, g(x) = e sinx và h(x) = 5x 4 x 2 + 1 c) X = V = R ,Y = Z = R \{1},T = U = R \{ 3}, f(x) = x 2 4x + 6, g(x) = (3x + 2)(1 x) 1 và h(x) = ln| x + 3| |
