Bài tập trục căn thức ở mẫu có đáp án

Biến đổi đơn giản căn thức bậc hai và trục căn thức ở mẫu của biểu thức là dạng toán quen thuộc trong chương trình toán học lớp 9. Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ tổng hợp kiến thức lý thuyết, bài tập ví dụ cũng như cách giải các dạng toán về chủ đề trục căn thức tại mẫu của biểu thức, cùng tìm hiểu nhé!

Mục lục

Cách biến đổi đơn giản căn thức bậc hai

Dưới đây là những kiến thức cần nhớ về cách biến đổi đơn giản căn thức bậc hai: 

Trục căn thức tại mẫu của biểu thức

Dưới đây là lý thuyết và cách làm bài trục căn thức mẫu của phân số: 

Với các biểu thức \(A,B (B>0)\), ta có;

\(A,B (B>0)\)

Với các biểu thức \(A,B,C\) \((A\geq 0, A\neq B^{2})\)

Ta có:

\(\frac{C}{\sqrt{A}+B}=\frac{C(\sqrt{A}-B)}{A-B^{2}}\)

\(\frac{C}{\sqrt{A}-B}=\frac{C(\sqrt{A}+B)}{A-B^{2}}\)

Với các biểu thức \(A,B,C\) \((A\geq 0,B\geq 0,A\neq B)\)

Ta có:

\(\frac{C}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}-\sqrt{B})}{A-B}\)

\(\frac{C}{\sqrt{A}-\sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}+\sqrt{B})}{A-B}\)

Bài tập trục căn thức ở mẫu lớp 9

Bài 50 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1): Trục căn thức mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa.

\(\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{5\sqrt{10}}{\sqrt{10}.\sqrt{10}}=\frac{5\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}{2}\)

\(\frac{1}{3\sqrt{20}}=\frac{1}{3\sqrt{2^{2}.5}}=\frac{1}{3.2\sqrt{5}}=\frac{1\sqrt{5}}{6\sqrt{5}.\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{6.5}=\frac{\sqrt{5}}{30}\)

\(\frac{2\sqrt{2}+2}{5\sqrt{2}}=\frac{(2\sqrt{2}+2)\sqrt{2}}{5\sqrt{2}.\sqrt{2}}=\frac{2(\sqrt{2})^{2}+2\sqrt{2}}{5.2}=\frac{4+2\sqrt{2}}{10}=\frac{2+\sqrt{2}}{5}\)

Bài 52 trang 30 SGK toán 9 tập 1 Trục căn thức mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa.

\(\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}};\frac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

• \(\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{1(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{x-y}\)

(Do \(x\neq y\) nên \(\sqrt{x}\neq \sqrt{y}\)

• \(\frac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\frac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}\)

(Do \(a\neq b\) nên \(\sqrt{a}\neq \sqrt{b}\).

Các bài toán trục căn thức ở mẫu khó

Ví dụ 1: Trục căn thức mẫu các biểu thức sau

1. \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)
2. \(\frac{26}{5-2\sqrt{3}}\)

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 2: Trục căn thức mẫu

Lý thuyết trục căn thức ở mẫu bậc 3

Công thức:

\(\frac{M}{\sqrt[3]{a}\pm \sqrt[3]{b}}=\frac{M(\sqrt[3]{a^{2}}\pm \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}})}{(\sqrt[3]{a}\pm \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^{2}}\pm \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}})}=\frac{M(\sqrt[3]{a^{2}}\pm \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}})}{a\pm b}\)

Ví dụ: Trục căn thức mẫu: \(\frac{1}{\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\frac{1}{\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}=\frac{\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}}{(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})}=\frac{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}}{(\sqrt[3]{2})^{3}+(\sqrt[3]{3})^{3})}=\frac{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}}{5}\)

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp kiến thức cách biến đổi đơn giản căn thức bậc hai cũng như chuyên đề trục căn thức tại mẫu. Chúc bạn luôn học tập tốt!

Ngoài các phép biến đổi như đưa thừa số vào trong dấu căn, đưa thừa số ra ngoài dấu căn, khử mẫu của biểu thức lấy căn thì trục căn thức ở mẫu cũng là một phép biến đổi đơn giản thường gặp. Vậy trục căn thức ở mẫu là gì? Phép biến đổi này được áp dụng ra sao khi giải bài tập? Chúng ta cùng tìm hiểu trong bài viết đưới đây nhé.

---

1. Cách trục căn thức ở mẫu

Để trục căn thức ở mẫu, ta áp dụng các công thức sau:

• Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có:

;

• Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0 và A ≠ B2, ta có:

= ;  =;

• Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0; B ≥ 0 và A ≠ B, ta có:

=;=;

∗ Chú ý: Ta gọi biểu thức+ B và biểu thức– B là hai biểu thức liên hợp với nhau; tương tự thì biểu thức+và biểu thức–là hai biểu thức liên hợp với nhau. Như vậy, để trục căn thức ở mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu thức.

2. Công thức trục căn thức ở mẫu mở rộng (bậc ba)

Ngoài các công thức trên, ta còn có thể áp dụng công thức sau để trục căn thức ở mẫu:

• Với các biểu thức A, B, C mà A ≠ – B, ta có:

=;

• Với các biểu thức A, B, C mà A ≠ B, ta có:

=;

3. Tổng hợp các dạng bài tập trục căn thức ở mẫu lớp 9

3.1. Dạng 1: Trục căn thức ở mẫu của các phân thức đơn giản

∗ Phương pháp giải:

Vận dụng các công thức trục căn thức ở mẫu kết hợp với các phép biến đổi biểu thức đã học: đưa thừa số vào trong dấu căn, đưa thừa số ra ngoài dấu căn, khử mẫu của biểu thức lấy căn.

Ví dụ: Trục căn thức ở mẫu:

a)

b)

Lời giải:

a) Nhân cả tử cả mẫu vớita được:

===;

b) Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu là+ 3 ta được:

==== −;

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Trục căn thức ở mẫu của ta được kết quả là:

A.

B.

C.

D.

ĐÁP ÁN

Nhân cả tử và mẫu của phân thức với ta có:

  =

=

= 

Đáp án B.  

Bài 2: Trục căn thức ở mẫu củata được kết quả là:

A. − 2

B. + 2

C. − − 2

D. −+ 2

ĐÁP ÁN

Nhân cả tử và mẫu của phân thức với biểu thức liên hợp của mẫu là

Ta có:

=

=

=

= −+ 2

Đáp án D.  

Bài 3: Trục căn thức ở mẫu củata được kết quả là:

A.

B.

C.

D.

ĐÁP ÁN

Nhân cả tử và mẫu của phân thức với biểu thức liên hợp của mẫu là

Ta có:

=

=

=

=

Đáp án B.  

Bài 4: Trục căn thức ở mẫu củata được kết quả là:

A.(3− 2+ 2)

B.(−+ 2)

C.(− + − 2)

D.(3+ − 2)

ĐÁP ÁN

Nhân cả tử và mẫu của phân thức với biểu thức liên hợp của mẫu là

Ta có:

=

=

=

=

=

=

=

=

Đáp án B.

3.2. Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

∗ Phương pháp giải:

 Phối hợp các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai và các quy tắc khai phương một tích, một thương.

Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau:

Lời giải: 

Trục căn thức ở mẫu của biểu thức bằng cách nhân cả tử và mẫu của biểu thức với biểu thức liên hợp của mẫu là

Ta có:

=

=

= 

= −

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Rút gọn biểu thức M =ta được kết quả là:

A. 7 − 15

B. 5+ 6

C. − 11− 15

D. − 4+ 8

ĐÁP ÁN

Ta có:  M = 

M =

M =

M =

M = − 11− 15

Đáp án C. 

Bài 2: Rút gọn biểu thức P = ta được kết quả là:

A. −2

B. – 2+ 1

C. 3 +

D. 3 −

ĐÁP ÁN

Trục căn thức từng phân thức bằng cách nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu để làm xuất hiện mẫu thức chung.

Ta có: P =

P =

P =

P =

P = −2

Đáp án A.  

Bài 3: Cho biểu thức P =. Rút gọn biểu thức P.

A. P = 3

B. P = − 4(+ 1)

C. P = 2

D. P = 6− 3

ĐÁP ÁN

Trục căn thức từng phân thức bằng cách nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu để làm xuất hiện mẫu thức chung.

Ta có: P =

P =

P =

P =

P = 2

Đáp án C.

Bài 4: Rút gọn biểu thức sau: A =với a ≥ 0; b ≥ 0 và a ≠ b.

A. A =

B. A =

C. A =

D. A =

ĐÁP ÁN

Ta có: A =

A =

A =

A =

A =

Đáp án B.

3.3. Dạng 3: Chứng minh đẳng thức

∗ Phương pháp giải:

Vận dụng các công thức trục căn thức ở mẫu biến đổi từng vế hoặc biến đổi đồng thời hai vế của đẳng thức để được kết quả hai vế bằng nhau.

Ví dụ: Chứng minh đẳng thức:với a là số tự nhiên.

Lời giải:

Trục căn thức ở mẫu của vế phải bằng cách nhân cả tử và mẫu của phân thức với biểu thức liên hợp của mẫu là, ta được:

Vế phải =

   =

   =

   =−= Vế trái

Vậy .

Bài tập áp dụng:

Chứng minh đẳng thức:với n là số tự nhiên

ĐÁP ÁN

Trục căn thức ở mẫu của vế trái bằng cách nhân cả tử cả mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu là, ta được:

     VT =

=

=

=

=

=

=

=

== VP

Chuyên đề về trục căn thức ở mẫu lớp 9 của biểu thức bao gồm cả lý thuyết và bài tập trong bài viết trên sẽ giúp ích cho các bạn học sinh hiểu rõ hơn về nội dung kiến thức này, từ đó áp dụng thành thạo vào giải các bài tập về căn thức. Chúc các bạn học sinh ôn tập hiệu quả.