Các dạng bài tập đại số tuyến tính năm 2024
|
BÀI 1: ÁNH XẠ 1.1 Lý thuyết về Ánh xạ 1.2 Dạng bài tập 1: Tìm tập ảnh 1.3 Dạng bài tập 2: Tìm tập nghịch ảnh 1.4 Dạng bài tập 3: Đơn ánh, toàn ánh, song ánh 1.5 Dạng bài tập 4:Tìm tập nguồn/tập đích thỏa mãn yêu cầu đề bài 1.6 Dạng bài tập 5: Ánh xạ ngược + Ánh xạ Tích BÀI 2: SỐ PHỨC 2.1 Lý thuyết Số phức 2.2 Dạng bài tập 1: Các phép toán trên số phức 2.3 Dạng bài tập 2: Giải phương trình phức BÀI 3: MA TRẬN – ĐỊNH THỨC 3.1 Kiến thức chung về Ma trận 3.2 Các phép biến đổi sơ cấp và kỹ thuật biến đổi ma trận bậc thang 3.3 Các phương pháp tính định thức 3.4 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo và giải phương trình ma trận 3.5 Hạng của ma trận BÀI 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH 4.1 Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss 4.2 Giải hệ phương trình bằng phương pháp Crammer BÀI 5: CẤU TRÚC ĐẠI SỐ BÀI 6: KHÔNG GIAN VECTOR 6.1 Khái niệm Không gian vecto 6.2 Không gian vecto con 6.3 Hệ sinh của một không gian vecto 6.4 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 6.5 Cơ sở và số chiều của không gian vecto 6.6 Tọa độ của vecto trong một cơ sở 6.7 Tìm số chiều và một cơ sở của không gian vecto con 6.8 Bài toán đổi cơ sở BÀI 7: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 7.1 Khái niệm Ánh xạ tuyến tính 7.2 Ma trận của Ánh xạ tuyến tính 7.3 Dạng bài: Tìm ảnh và nghịch ảnh thỏa mãn yêu cầu đề bài 7.4 Tìm số chiều và một cơ sở của Imf và Kerf 7.5 Dạng bài: Kiểm tra tính đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu của một AXTT 7.6 Trị riêng và vecto riêng của ma trận 7.7 Trị riêng và vecto riêng của toán tử tuyến tính 7.8 Chéo hóa ma trận 7.9 Tìm một cơ sở để ma trận của toán tử tuyến tính là ma trận chéo BÀI 8: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH – DẠNG TOÀN PHƯƠNG 8.1 Định nghĩa dạng toàn phương, dạng song tuyến tính 8.2 Ma trận của dạng toàn phương và dạng song tuyến tính 8.3 Xác định dấu của dạng song tuyến tính BÀI 9: KHÔNG GIAN EUCLIDE 9.1 Tích vô hướng và không gian có tích vô hướng 9.2 Phép trực chuẩn hóa Gram-Schmidt 9.3 Hình chiếu của một vecto lên một không gian vecto 9.4 Chéo hóa trực giao ma trận BÀI 10: RÚT GỌN DẠNG TOÀN PHƯƠNG 10.1 Phương pháp Lagrange 10.2 Phương pháp chéo hóa trực giao Show x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 3 x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 − 3 x 5 = − 2 x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 5 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 − x 5 = 12 c. x 1 − 6 x 2 = 5 x 2 − 4 x 3 + x 4 = 0 −x 1 + 6x 2 + x 3 + 5x 4 = 3 − x 2 + 5x 3 + 4x 4 = 0 d. 2 x 2 − 2 x 3 + 2x 5 = 2 x 1 + 2x 2 − 3 x 3 + x 4 + 4x 5 = 1 2 x 1 + 5x 2 − 7 x 3 + 3x 4 + 10x 5 = 5 2 x 1 + 4x 2 − 5 x 3 + 3x 4 + 8x 5 = 3 Bài tập 1 Biện luận các hệ phương trình cho bởi ma trận đầy đủ sau đây theotham sốa, b, c, d. a. 2 4 − 3 60 b 7 2 0 0 a a b. 1 −1 4 − 2 50 1 2 3 40 0 d 5 7 0 0 0 cd c Bài tập 1 Viết ra nghiệm của hệ có ma trận đầy đủ tương đương hàng với mỗi ma trận sau: a= 1 −2 0 0 7 − 30 1 0 0 − 3 10 0 0 1 5 − 40 0 0 0 0 0 b= 1 0 −5 0 − 8 30 1 4 −1 0 60 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0c= 1 0 −2 0 0 00 1 6 − 3 − 2 70 0 0 1 0 − 50 0 0 0 1 0 d= 1 0 0 8 − 30 1 0 4 − 60 0 1 − 7 50 0 0 0 0Bài tập 1 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss: a. 2 x 1 + 7x 2 + 3x 3 + x 4 = 6 3 x 1 + 5x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 4 9 x 1 + 4x 2 + x 3 + 7x 4 = 14 e. x 1 + x 2 − 2 x 3 + 3x 4 = 4 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 − x 4 = 3 5 x 1 + 7x 2 + 4x 3 + x 4 = 5 b. 2 x 1 + 5x 2 + x 3 + 3x 4 = 2 4 x 1 + 6x 2 + 3x 3 + 5x 4 = 4 4 x 1 + 14x 2 + x 3 + 7x 4 = 4 2 x 1 − 3 x 2 + 3x 3 + 3x 4 = 7 f. x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 5 2 x 1 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 1 3 x 1 + 2x 2 + x 3 + 2x 4 = 1 4 x 1 ‘ + 3x 2 + 2x 3 + x 4 = − 5 4 Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Chương 2MA TRẬNBài tập 2 Thực hiện các phép tính:
[1 2 34 5 6]vàB= [1 −1 20 3 − 5]
[1 −2 34 5 − 6]
[1 −2 34 5 − 6]vàB= [3 0 2−7 1 8]
A=[1 23 − 4]; B=[5 0−6 7]; C=[1 −3 42 6 − 5]
[1 2 03 −1 4]Bài tập 2 Tìmx, y, z, wbiết: 3 [x y z w ]\=[x 6 −1 2w ]+[4 x+y z+w 3 ]Bài tập 2 ChoA= [1 23 6]tìm ma trậnB∈M 2 × 3 sao choAB= 0 Bài tập 2 Cho các ma trận A=1 −3 04 5 13 8 0, B=1 1 − 23 0 4−1 3 2, C=2 0 − 24 7 − 51 0 − 1GọiD= [dij] = 2AB+C 2 không tính toàn bộ ma trậnDmà hãy tính cụ thể mỗi phần tử: a 11 b 21 c 32 57Bài tập 2 Tìm điều kiện của tham số để các ma trận sau khả nghịch, sau đó tìm ma trận nghịch đảo tương ứng của nó: a. 1 −3 23 − 7 m+ 5 −m 2 m 1 ; b= 1 0 p 1 1 0 2 1 1 Bài tập 2 Cho ma trậnB= 2 −1 10 1 11 − 1 − 1. Hãy tìmB− 1 , từ đó giải hệ phương trìnhBx=dvớii)d= 23− 1, ii)d= 3 23− 1, iii)d= 4− 23Bài tập 2 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp ma trận nghịch đảo: a. x 1 + x 2 − 3 x 3 = − 2 x 1 + 2x 2 − 3 x 3 = 6 2 x 1 + 4x 2 − 5 x 3 = − 6 b. x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 x 1 + x 2 − x 3 − x 4 = 1 x 1 − x 2 = − 1 x 3 − x 4 = − 1 c. x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = − 1 x 1 + x 2 − x 3 − x 4 = 1 x 1 − x 2 + x 3 − x 4 = − 1 x 1 − x 2 − x 3 + x 4 = 1 Bài tập 2 Giải các phương trình ma trận sau đây: a. [1 23 4].X=[3 55 9]b. [3 − 25 − 4]\=[−1 2−5 6]c. [3 − 15 − 2].X.[5 67 8]\=[14 169 10]d. 1 2 − 33 2 − 42 −1 0.X=1 −3 010 2 710 7 8e. 13 − 8 − 1212 − 7 − 126 − 4 − 5=1 2 34 5 67 8 98 Chương 2. MA TRẬN 10 Chương 3. ĐỊNH THỨC Bài tập 3 Tính định thức của mỗi ma trận sau: a= 1 2 3 42 3 4 13 4 1 24 1 2 3; b= 1 −2 0 22 −5 3 24 1 1 0−5 0 − 4 − 4 c= 2 −3 1 0−5 8 2 11 − 4 −2 02 −1 4 0d= a b a+b b a+b a a+b a b e= a b c a+x b+x c+x a+y b+y c+y ; f= a+b ab a 2 +b 2 b+c bc b 2 +c 2 c+a ca c 2 +a 2 Bài tập 3 Tính các định thức sau đây: a. ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣1 −λ 3 2 2 1−λ 3 3 2 1−λ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣b. ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣2 −λ 5 − 1 2 − 1 −λ 5 2 2 2 −λ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣; c. ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣2 −λ 0 0 −2 3−λ − 1 3 −2 2−λ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣Bài tập 3 Tìmtđể ma trận sau khả nghịch bằng cách tính định thức a. t−2 4 3 1 t+ 1 − 2 0 0 t− 4 ; b. t−1 3 − 3 − 3 t+ 5 − 3 − 6 6 t− 4 ; c. t+ 3 − 1 1 7 t−5 1 6 − 6 t+ 2 Bài tập 3 Chứng minh rằng: a. ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣a 1 b 1 a 1 x+b 1 y+c 1 a 2 b 2 a 2 x+b 2 y+c 2 a 3 b 3 a 3 x+b 3 y+c 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣\=∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣c. ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣1 a bc 1 b ca 1 c ab ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣\= (b−a)(c−a)(c−b) b. ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣a 1 +b 1 x a 1 −b 1 x c 1 a 2 +b 2 x a 2 −b 2 x c 2 a 3 +b 3 x a 3 −b 3 x c 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣\=− 2 x ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣Bài tập 3 Tìm các ma trận nghịch đảo bằng 2 cách ( phương pháp lập ma trận khối (A|In) và phương pháp ma trận phụ hợpA− 1 = 1detA (Cof(A))T): A=2 2 31 −1 02 −1 0; B=1 2 32 3 41 5 7; C=1 1 1 11 1 − 1 − 11 −1 0 00 0 1 − 1; D=1 1 1 11 1 − 1 − 11 −1 1 − 11 − 1 −1 1Bài tập 3 Không giải hệ phương trình, tìm nhanhx 2 bằng hai cách a. 2 x 1 + x 2 + x 3 = 2 x 1 + 3x 2 + x 3 = 5 x 1 + x 2 + 5x 3 =− 7 2 x 1 + 3x 2 − 3 x 3 = 14 b. 5 x 1 − x 2 + x 3 − 2 x 4 = 2 3 x 1 − 2 x 2 + 2x 3 − 3 x 4 = 2 3 x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 5x 4 = − 6 2 x 1 − x 2 + x 3 − 3 x 4 = 4 c. 2 x 1 − x 2 + x 3 − 3 x 4 = 4 5 x 1 − x 2 + x 3 − 2 x 4 = 2 3 x 1 + 2x 2 + 2x 3 − 3 x 4 = 2 2 x 1 − 3 x 2 + 3x 3 − 7 x 4 = 8 d. −x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4 2 x 1 + 2x 2 + x 3 + 3x 4 = 1 3 x 1 + x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 1 4 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 4 = − 5 11Bài tập 3 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer: a. 2 x 1 − x 2 − 3 x 3 = 5 3 x 1 − 2 x 2 + 2x 3 = 5 4 x 1 − 3 x 2 − x 3 = 16 b. 2 x 1 + 3x 2 − 2 x 3 = 5 x 1 − 2 x 2 + 3x 3 = 2 4 x 1 − x 2 + x 3 = 1 c. x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 3 2 x 1 + 3x 2 + 8x 3 = 4 3 x 1 + 2x 2 + 10x 3 = 1 d. x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 2 3 x 1 − 2 x 2 − x 3 = 5 3 x 1 − x 2 + 9x 3 = − 4 Bài tập 3 Giải và biện luận theoamỗi hệ phương trình tuyến tính sau: a. x 1 + 2x 2 + ax 3 = 1 2 x 1 + ax 2 + 3x 3 = − 1 x 1 + 2x 2 − 2 x 3 = 1 c. x 1 + x 2 + (a+ 1)x 3 =a 2 + 3a x 1 + (a+ 1)x 2 + x 3 =a 3 + 3a 2 (a+ 1)x 1 + x 2 + x 3 =a 4 + 3a 3 b. x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 0 − 2 x 1 + (a−2)x 2 + (a−5)x 3 = 2 ax 1 + x 2 + (a+ 1)x 3 =− 2 d. x 1 + x 2 + (1−a)x 3 =a+ 2 (1 +a)x 1 − x 2 + 2 x 3 = 0 2 x 1 − ax 2 + 3 x 3 =a+ 2 Bài tập 3 Cho hệ phương trình: 2 x 1 + 3x 2 − x 3 = 5 x 1 − x 2 + x 3 = 2 x 1 + 2x 2 + λx 3 = 8 4 x 1 + x 2 + x 3 = 9
Bài tập 3 Cho hệ phương trình tuyến tính theo tham số a ax 1 + 3x 2 + 11x 3 + 5x 4 = 2 x 1 + x 2 + 5x 3 + 2x 4 = 1 ax 1 + x 2 + 3x 3 + 2x 4 =− 3 x 1 + x 2 + 3x 3 + 4x 4 =− 3
Bài tập 3 Cho hệ phương trình: x 1 + x 2 − 2 x 3 = 1 2 x 1 + 3x 2 + mx 3 = 2 4 x 1 + 5x 2 − x 3 =m+ 1
Chương 4KHÔNG GIAN VÉC TƠBài tập 4 Xác định các tập cùng với phép toán đã chỉ ra sau đây có phải là không gian vectơ không?
Bài tập 4 Xác định mỗi tập sau có phải là không gian con củaM(n, n)không? Tại sao?(Ký hiệuM(n, n)là không gian vectơ các ma trận cỡn×n).
1314 Chương 4. KHÔNG GIAN VÉC TƠ Bài tập 4 Xác định xemWcó phải là không gian con của các không gian vectơ tương ứng hay không?
b={(a, b, c)∈R 3 :a≤b≤c} ⊂R 3
d={(a, b, c)∈R 3 :a=b 2 } ⊂R 3
f={(a, b, c, d)∈R 4 : 3a−b+ 7d= 5} ⊂R 4
Bài tập 4 ChoVlà không gian vec tơ - tất cả các hàm số thực trênR. Chỉ ra rằng Wtrong mỗi trường hợp sau có là không gian con củaVhay không? a={f∈V:|f(x)| ≤M,∀x∈R} b={f∈V:f(−x) =f(x),∀x∈R} Bài tập 4 Chứng minh mỗi tập bao gồm các vectơ cột sau đây là không gian vectơ, bằng cách chỉ ra nó là không gian con sinh bởi tập các vectơ nào đó.
s 3 s 2 s :s∈R ⊂[R] 3 ;b= {[a b c d ]:{a+b−c = 0 a−c−d = 0 }⊂M(2,2)
d= {p∈P 3 [x] : {p(1) =p(−1) p(2) =p(−2) }⊂P 3 [x] Bài tập 4 Cho W là tập tất cả các vectơ cột có dạng như đã chỉ ra, trong đóa, b, c∈R. Trong mỗi trường hợp, hãy chỉ ra tập S sao choW=Sp(S), hoặc chứng tỏ W không phải là không gian con của không gian vectơ tương ứng.
3 a+b 4 a− 5 b :a, b∈R ⊂[R] 3 ; b= 1 −a a− 6 b a+ 2b , a, b∈R ⊂ [R] 3
a−b b−c c−a b :a, b, c∈R ⊂[R] 4 ; d= 4 a+ 3b 0 a+b+c − 2 a+c :a, b, c∈R ⊂ [R] 416 Chương 4. KHÔNG GIAN VÉC TƠ a= a b c :a+b+c= 2 b= a b c d :{a− 2 b = 0 2 a =c+ 3d c= b− 2 d 5 +d b+ 3d d :b, d∈R d= c− 6 d d c , c, d∈R e= a b c : 5a=b+ 2c Bài tập 4 Tìm ma trậnAsao choWgồm các vectơ cột cho sau đây làColA: a= 2 s+ 3t r+s− 2 t 4 r+s 3 r−s−t :r, s, t∈R b= b−c 2 b+c+d 5 c− 4 d d :b, c, d∈R Bài tập 4 Giả sửHvàKlà hai không gian con của không gian vectơV. Ta gọi tổng giao của các không gian conHvàKtương ứng là: H∩K={v∈V:v∈Hvàv∈K} H+K={v+w:v∈Hvàw∈K} a. Chứng minh rằngH+KvàH∩Klà những không gian vectơ con củaV. b. Cho ví dụ, chẳng hạn khiV=R 2 , để chứng tỏ hợp của hai không gian con nói chung không phải là không gian con. (Hợp của hai không gian conđược hiểu theo nghĩa hợp của hai tập hợp thông thường). Bài tập 4 Xác định các tập sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính:
b 1 = (1;−2; 4; 1), u 2 = (2; 1; 0;−3), u 3 = (3;−6; 1; 4)
d 1 =x 3 − 4 x 2 + 2x+ 3, u 2 =x 3 + 2x 2 + 4x− 1 , u 3 = 2x 3 −x 2 − 3 x+ 5
f 1 =x 3 − 2 x+ 3, u 2 =x 2 + 1, u 3 = 2x 3 +x 2 − 4 x+ 10
h= {[1 23 1];[1 11 1];[2 14 2]}
{[1 2−1 0];[1 21 1];[1 25 3]}17Bài tập 4 Từ tập hợp các vectơ sau hãy tìm một cơ sở cho không gian vectơ tương ứng
Bài tập 4 Hãy mở rộng các tập sau thành một cơ sở của không gian vectơ tương ứng
b. {v 1 = [1 00 0], v 2 = [2 0−1 0]}⊂M(2,2)Bài tập 4 Tìm cơ sở và số chiều củaNulA,ColA,RowAbiếtA: a= −2 4 − 2 − 42 − 6 −3 1−3 8 2 − 3 b= 1 2 −5 11 − 32 4 −5 15 21 2 0 4 53 6 −5 19 − 2Bài tập 4 Tìm cơ sở và số chiều củaSp(S), biết:
{[1 2−1 3],[2 51 − 1],[5 121 1],[3 4−2 5]}
{[1 20 1],[3 41 1],[1 21 1],[0 21 2]}
Bài tập 4 ChoS={(1;−1;−1),(3;−1; 5),(−1; 2; 1),(1;−3;−6)}.
Bài tập 4 ChoS={1 + 2x−x 2 ,−2 + 3x+x 2 ,1 + 9x− 2 x 2 , 5 − 4 x− 3 x 2 }.
Bài tập 4.
19
c 1 x 1 +c 2 x 2 +c 3 x 3 +c 4 x 4 +c 5 = 0; (ci∈R) được gọi là siêu phẳng trongR 4. Hãy tìm một cơ sở cho siêu phẳng:x 1 +x 2 + 2x 3 +x 4 = 0, rồi mở rộng cơ sở đó thành cơ sở choR 4. Bài tập 4 ChoE={(x 2 −4)(ax 2 +bx+a), a, b∈R} ⊂P 4 [x]
Bài tập 4 ChoE={(x 1 , x 2 , x 3 )∈R 3 :x 2 =mhằng số} ⊂R 3
Bài tập 4 Trong không gian véc tơR 3 cho tập E=(x 1 , x 2 , x 3 )R 3 : ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣x 1 x 2 x 3 1 2 1 2 1 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣\= 0Chứng minh rằngElà không gian con củaR 3. Tìm số chiều và một cơ sở củaE Bài tập 4 Tìm tọa độ của các vectơ đối với cơ sở tuơng ứng được cho dưới đây
[1 − 23 4]∈M(2,2)đối với cơ sở B={[0 11 0],[0 − 10 0],[1 − 10 3],[0 10 1]}.Bài tập 4 Hãy tìm vectơ, biết cơ sởBvàB-tọa độ của vectơ đó trong mỗi trường hợp sau:
20 Chương 4. KHÔNG GIAN VÉC TƠ b={(−1; 2; 0),(3;−5; 2),(4;−7; 3)}và(x)B= (−4; 8;−7)
Bài tập 4 TrongP 2 [x], chop 1 (x) =x 2 − 1 , p 2 (x) =x 2 +x+ 1, p 3 (x) =x 2 −mx− 3.
Bài tập 4 ChoE= 2 a+b−c a− 2 b − 3 a− 4 b+ 2c ∈R 3 :a, b, c∈R ⊂R 3.
Bài tập 4 Cho không gian vectơP 3 [x]- không gian các đa thức bậc không quá 3.
Bài tập 4.
{[a b c d ]∈M(2,2) :a− 2 c+d= 0 }là một không gian con của M(2,2).
Bài tập 4 ChoB={b 1 , b 2 , b 3 }vàC ={c 1 , c 1 , c 3 }là hai cơ sở của không gian vectơ V. Giả sửb 1 = 4c 1 −c 2 ;b 2 =−c 1 +c 2 +c 3 ;b 3 =c 2 − 2 c 3.
Bài tập 4 ChoB={(1; 2; 0),(1; 3; 2),(0; 1; 3)}là một cơ sở củaR 3.
Bài tập 4 Tìm ma trận chuyển cơ sở từBsangC với:
b = {b 1 = (1; 0; 1), b 2 = (1; 1; 0), b 3 = (0; 1; 1)} và C = {c 1 = (0; 1; 1), c 2 = (1; 1; 0), c 3 = (1; 0; 1)} |
