Các dạng toán về hệ phương trình

Ibaitap: Qua bài Các cách giải hệ phương trình và các dạng toán thường gặp cùng tổng hợp lại các kiến thức về giải hệ phương trình và hướng dẫn lời giải chi tiết bài tập áp dụng.

Phương pháp thế là một trong những cách biến đổi tương đương trong hệ phương trình, ta sử dụng phương pháp thế để đưa hệ phương trình về phương trình mới tương đương để tìm nghiệm của hệ.

Các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

• Bước 1: Từ một phương trình thuộc hệ phương trình đã cho [coi là phương trình thứ nhất], ta biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới chỉ còn có một ẩn.
• Bước 2: Dùng phương trình mới trên để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ phương trình và giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho.
• Bước 3: Giải hệ phương trình mới một ẩn vừa có, rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

II. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

Các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

• Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp [nếu cần] sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau.
• Bước 2: Cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình trong hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.
• Bước 3: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho một trong hai phương trình của hệ phương trình và giữ nguyên phương trình còn lại ta được một hệ mới tương đương với hệ phương trình đã cho.
• Bước 4: Giải hệ phương trình mới một ẩn vừa có, rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

III. CÁC DẠNG TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP

Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp: 

Bước 1: Biến đổi phù hợp hệ phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho theo phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

Bước 2: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Giải hệ phương trình đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp:

Bước 1: Biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bước 2: Biến đổi phù hợp hệ phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho theo phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

Bước 3: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp:

Bước 1: Đặt ẩn phụ cho các biểu thức chung trong các phương trình của hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới tương đương.

Bước 2: Biến đổi phù hợp hệ phương trình bậc nhất hai ẩn phụ trên theo phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

Bước 3: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn phụ.

Bước 4: Trả lại biến đã đặt từ đó tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho. 

Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

Sử dụng các kiến thức chính sau:

• Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \[\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  ax+by=c  \\    {{a}^{\prime }}x+by'={{c}^{\prime }}  \\ \end{array} \right.\] có nghiệm \[\left[ {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right]\] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}=c  \\    {{a}^{\prime }}{{x}_{0}}+{{b}^{\prime }}{{y}_{0}}={{c}^{\prime }}  \\ \end{array} \right.\]
• Đường thẳng d: ax + by = c đi qua điểm \[M\left[ {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right]\Leftrightarrow a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}=c\].

IV. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau theo phương thức cộng đại số: \[\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  3x+y=3  \\    2x-y=7  \\ \end{array} \right.\]

Lời giải tham khảo:

\[\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  3x+y=3  \\    2x-y=7  \\ \end{array} \right.\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    3x+y+2x-y=3+7  \\    2x-y=7  \\ \end{array} \right.\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    5\text{x}=10  \\    \text{y}=2\text{x}-7  \\ \end{array} \right.\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    \text{x}=2  \\    \text{y}=-3  \\ \end{array} \right.\]

Vậy hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất là [2; -3].

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau theo phương thức thế: \[\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x-y=3\,\,[1]  \\    3x-4y=2\,\,[2]  \\ \end{array} \right.\]

Lời giải tham khảo:

\[\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x-y=3\,\,[1]  \\    3x-4y=2\,\,[2]  \\ \end{array} \right.\]

Từ phương trình [1] rút ra được y = x – 3.

Thế y = x – 3 vào phương trình [2] ta được:

3x – 4.[x – 3] = 2 

⇔ 3x – 4x + 12 = 2 

⇔ x = 10.

Với x = 10 ⇒ y = x – 3 = 10 - 3 = 7.

Vậy hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất là [10; 7].

Hệ phương trình là một trong những nội dung kiến thức vô cùng quan trọng khi ôn thi tuyển sinh vào cấp 3. Đây cũng là dạng toán yêu cầu sự vận dụng và tư duy linh hoạt khi giải. Trong bài viết dưới đây, hãy cùng CMATH tìm hiểu các dạng toán giải hệ phương trình thường gặp nhất, từ đó chuẩn bị cho các em nền tảng kiến thức vững vàng trước khi bước vào kỳ thi tuyển sinh quan trọng sắp tới. 

Khái niệm về hệ phương trình

Trước khi tìm hiểu các dạng toán về hệ phương trình thường gặp, chúng ta sẽ cùng điểm qua một số kiến thức lý thuyết quan trọng cần biết về khái niệm và đặc điểm của hệ phương trình. 

Hệ phương trình cơ bản

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cơ bản thường được viết dưới dạng:

ax+by=c [1]

a1x+b1y=c1 [2]

Trong đó, các hệ số a,b,c,a1,b1,c1 là những số thuộc tập số thực được cho trước, còn x và y là hai biến của hệ phương trình. 

Một số điều cần lưu ý khi giải toán liên quan đến hệ phương trình: 

• Giải hệ phương trình nghĩa là tìm ra tất cả các nghiệm thỏa mãn cả hai phương trình [1] và [2] của nó. 
• Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu có chung một tập nghiệm. 
• Nghiệm của hệ phương trình là giá trị [x,y] thỏa mãn cả hai phương trình [1] và [2] [hay còn được gọi là nghiệm chung của hai phương trình này]. 
• Trong trường hợp hai phương trình [1] và [2] không có nghiệm chung nào thì hệ phương trình vô nghiệm. 

Hệ phương trình đẳng cấp

Hệ phương trình đẳng cấp là một dạng hệ phương trình đặc biệt gồm có 2 phương trình 2 ẩn, trong đó bậc của ẩn ở mỗi phương trình là giống nhau. Dạng tổng quát của hệ phương trình được viết dưới dạng: 

f[x;y]=a1

g[x;y]=a2

Trong đó, f và g là các hàm số có bậc của hai ẩn x,, y giống nhau. 

Ví dụ về hệ phương trình đẳng cấp bậc 2: 

x2+3xy-2y2=3

x2-xy+y2=4

Hệ phương trình đối xứng 

Hệ phương trình đối xứng là một dạng hệ phương trình đặc biệt mà khi ta thay đổi vai trò của hai biến x, y thì hệ phương trình không có gì thay đổi. Về cơ bản, hệ phương trình đối xứng gồm có hai loại là đối xứng loại 1 và đối xứng loại 2. Cụ thể: 

• Hệ phương trình đối xứng loại 1: Là hệ phương trình mà trong đó hai biến x,y đối cứng với nhau trong mỗi phương trình riêng lẻ. 
• Hệ phương trình đối xứng loại 2: Là hệ phương trình mà trong đó nếu ta thay đổi vị trí x và y của phương trình [1] thì sẽ được phương trình [2] và ngược lại. 

Ví dụ về phương trình đối xứng loại 1: 

x2+2x+2y+y2-1=0

x3+y3+xy=1

Ví dụ về phương trình đối xứng loại 2: 

x3–x2y=x

y3-xy2=y

Phương pháp chung để giải hệ phương phương trình cơ bản

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thường được giải bằng hai phương pháp là phương pháp thế và phương pháp cộng đại số. Cụ thể: 

Phương pháp thế

Bước 1: Nếu hệ số a1 của hệ phương trình khác 0 thì ta rút biến x từ phương trình [1] sau đó thế vào phương trình thứ hai. Lúc này, ta được một phương trình chỉ chứa duy nhất 1 ẩn y. 

Bước 2: Giải phương trình vừa tìm được để tìm ra ẩn y

Bước 3: Thay giá trị của ẩn y vào phương trình bất kỳ để tìm ra ẩn x

Bước 4: Kết luận tập nghiệm của hệ phương trình. 

Phương pháp cộng đại số 

Bước 1: Biến đổi hai phương trình sao cho ẩn x hoặc ẩn y có hệ số bằng nhau hoặc hệ số đối nhau [bằng cách nhân cả hai phương trình với một số thích hợp]. 

Bước 2: Cộng [hoặc trừ] vế với vế của hai phương trình để suy ra được phương trình một ẩn duy nhất

Bước 3: Giải phương trình vừa tìm được sau đó kết luận nghiệm của hệ phương trình. 

Các dạng toán giải bất phương trình thường gặp cần nhớ

Sau khi đã tìm hiểu phương pháp giải hệ phương trình cơ bản thì CMATH sẽ cung cấp cho các em một số dạng toán thường gặp trong các đề thi liên quan đến hệ phương trình: 

Dạng toán giải hệ phương trình thông qua ẩn phụ

Phương pháp giải các dạng toán hệ phương trình thông qua ẩn phụ sẽ bao gồm các bước cụ thể như sau: 

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định cho các phương trình đơn lẻ trong hệ [nếu cần thiết].
• Bước 2: Đưa hệ phương trình đã cho về dạng cơ bản [nếu cần thiết]
• Bước 3: Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện xác định của ẩn phụ
• Bước 4: Đưa hệ phương trình đã cho về hệ mới thông qua ẩn phụ
• Bước 5: Giải hệ phương trình vừa tìm được, sau đó dựa vào điều kiện xác định để tìm ra giá trị của ẩn phụ
• Bước 6: Thế giá trị vừa tìm được của ẩn phụ vào biểu thức dùng để đặt ẩn phụ ở bước 3, sau đó tìm ra biến ban đầu. 
• Bước 7: Đối chiếu giá trị của biến với điều kiện xác định của hệ phương trình, sau đó kết luận nghiệm. 

Bài toán ví dụ: Tìm tập nghiệm của hệ phương trình sau: 

x-3–4y=5

3x-3+4y=-1

Lời giải chi tiết: 

Điều kiện xác định của hệ phương trình: x 0, y0

Giả sử t=x-3 [t>0] và u=4y, ta có hệ phương trình mới như sau:

t-u = 5

3t+u = -1

t=1, u=-4

Đối chiếu với điều kiện của ẩn phụ, ta thấy giá trị t=1, u=-4 thỏa mãn yêu cầu. 

Thay t=1, u=-4 ta có: 

x-3 = 1 x-3=1x=4

4y=-4 y=-1

Đối chiếu với điều kiện xác định của hệ phương trình, ta thấy giá trị của x, y thỏa mãn

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là [4,-1] 

Dạng toán giải hệ phương trình đối xứng loại 1

Phương pháp giải: 

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định của hệ phương trình [nếu cần thiết]
• Bước 2: Đặt S=x+y, P=xy [theo định lý Vi-ét] với điều kiện xác định là S24P.
• Bước 3: Thế các giá trị của x và y bằng S, P vào phương trình. 
• Bước 4: Giải hệ phương trình mới, tìm ra S,P sau đó dùng Vi-ét đảo để xác định 2 nghiệm x,y của hệ phương trình. 
• Bước 5: Đối chiếu với điều kiện xác định của hệ phương trình sau đó kết luận nghiệm. 

Một số lưu ý trong dạng toán này: 

• Cần nhớ một số biến đổi sau: S22P=x2+y2; S33SP=x3+y3
• Ở các bài toán rắc rối hơn, có thể phải áp dụng thêm đặt ẩn phụ, sau đó mới dùng định lý Vi-ét vào các ẩn phụ vừa đặt. 
• Một số hệ phương trình sau khi đặt ẩn phụ mới trở thành hệ phương trình đối xứng loại 1. Lúc này mới có thể áp dụng được cách giải như trên. 

Dạng toán giải hệ phương trình đối xứng loại 2

Phương pháp giải: 

Hệ phương trình đối xứng bậc 2 có dạng: 

f[x,y]=0 [1]

f[y,x]=0 [2]

Bước 1: Tìm điều kiện của hệ phương trình [nếu cần thiết]. 

Bước 2: Lấy phương trình [1] trừ đi phương trình [2], ta sẽ được một biểu thức có dạng: [x-y]g[x,y]=0.

Bước 3: Từ kết quả phía trên, suy ra 2 trường hợp: x-y=0 hoặc g[x,y]=0

Bước 4: Giải từng trường hợp một: 

• Nếu x-y=0, ta có thể suy ra được nghiệm của phương trình ngay hoặc kết hợp với các dữ liệu khác để kết luận nghiệm. 
• Nếu g[x,y]=0, hệ phương trình thông thường quay về dạng đối xứng loại 1, trong đa phần các trường hợp là vô nghiệm. 

Bước 5: Đối chiếu với điều kiện của hệ phương trình để tìm ra tập nghiệm đúng nhất. 

Dạng toán giải hệ phương trình đẳng cấp 

Phương pháp giải: 

Hệ phương trình đẳng cấp sẽ có dạng như sau: 

f[x;y]=a1 [1]

g[x;y]=a2 [2]

Trong đó, bậc của các ẩn số trong mỗi phương trình là bằng nhau

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định của hệ phương trình [nếu cần thiết]
• Bước 2: Nhân phương trình [1] với a2 và nhân phương trình [2] với a1. Sau đó, trừ hai phương trình cho nhau để làm mất hệ số tự do. 
• Bước 3: Giả sử x=ky. Thay ẩn phụ này vào phương trình mới tìm được ở bước 2 ta sẽ được phương trình mới có dạng: yn[Ak2+Bk+C]=0
• Bước 4: Giải phương trình mới tìm được bằng cách xét hai trường hợp riêng rẽ: y0 hoặc y=0. Chỉ trường hợp y0 mới tìm được giá trị k thỏa mãn. 
• Bước 5: Thế x=ky vào một trong hai phương trình trong hệ để tìm ra biến y sau đó tìm ra biến x
• Bước 6: Đối chiếu với điều kiện xác định của hệ phương trình sau đó kết luận nghiệm. 

Một số lưu ý khi giải các dạng toán bất phương trình

Dưới đây là một số lưu ý dành cho các em khi học các dạng toán liên quan đến hệ phương trình: 

Tránh nhầm lẫn giữa các loại hệ phương trình

Hệ phương trình có rất nhiều dạng khác nhau với cách giải khác biệt. Do đó, các em cần phải học thật kỹ đặc điểm của từng loại hệ phương trình để không xảy ra tình trạng sai sót trong khi làm bài. Phương pháp giải của hệ này không thể áp dụng sang hệ kia, do đó nếu muốn sử dụng cách giải nào thì các em cần phải biến đổi hệ phương trình thành dạng tương ứng trước. 

Nắm vững cách giải của từng dạng toán 

Mỗi dạng toán lại có một phương pháp giải khác nhau. Để vận dụng và giải được các bài toán khó hơn thì trước hết, các em cần nắm vững các dạng toán cơ bản. Chỉ khi đã nhuần nhuyễn và thuần thục trong việc giải các bài toán cơ bản thì các em mới có tư duy logic và phát triển giải các bài toán mở rộng hơn. Do đó, với mỗi dạng khác nhau hãy làm thật nhiều bài, theo mức độ từ cơ bản đến khó. 

Tham khảo:

Tổng hợp lý thuyết cần nhớ về tính đạo hàm của hàm số

Phân thức đại số là gì? Bài tập vận dụng

Toán 8 – Tất tần tật kiến thức về diện tích đa giác

Kết luận 

Trên đây là một số dạng toán giải hệ phương trình cơ bản mà các em cần nắm được. Đây là một trong những dạng toán vô cùng phổ biến, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh những năm gần đây ở cả các bài cơ bản và bài khó. Do vậy, ôn luyện kỹ càng là vô cùng quan trọng để có nền tảng kiến thức vững vàng trước khi bước vào kỳ thi sắp tới. 

THÔNG TIN LIÊN HỆ

• CMath Education – Câu lạc bộ toán học muôn màu
• Nhà liền kề NTT06 – 82 Nguyễn Tuân – Thanh Xuân [Sau khu chung cư Thống Nhất Complex]
• Hotline: 0973872184 – 0834570092
• Email:
• FB: fb.com/clbtoanhocmuonmau
• Website: cmath.vn