Cách giải các phương trình lớp 10
|
Sách giải toán 10 Bài 2: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 10 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác: Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 2 trang 58: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: m(x – 4) = 5x – 2. Lời giải m(x – 4) = 5x – 2 ⇔(m – 5)x = 4m – 2 Nếu m – 5 ≠ 0 ⇔ m ≠ 5 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = (4m – 2)/(m – 5) Nếu m – 5 = 0 ⇔ m = 5, phương trình trở thành: 0.x = 18 ⇒ phương trình vô nghiệm Vậy với m ≠ 5 phương trình có nghiệm duy nhất x = (4m – 2)/(m – 5) Với m = 5 phương trình vô nghiệm. Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 2 trang 59: Lập bảng trên với biệt thức thu gọn Δ’. Lời giải  Lời giải:
a) m(x – 2) = 3x + 1 ; b) m2x + 6 = 4x + 3m ; c) (2m + 1)x – 2m = 3x – 2. Lời giải: a) m(x – 2) = 3x + 1 ⇔ mx – 2m = 3x + 1 ⇔ mx – 3x = 1 + 2m ⇔ (m – 3).x = 1 + 2m (1) + Xét m – 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3, phương trình (1) có nghiệm duy nhất + Xét m – 3 = 0 ⇔ m = 3, pt (1) ⇔ 0x = 7. Phương trình vô nghiệm. Kết luận: + với m = 3, phương trình vô nghiệm + với m ≠ 3, phương trình có nghiệm duy nhất b) m2x + 6 = 4x + 3m ⇔ m2.x – 4x = 3m – 6 ⇔ (m2 – 4).x = 3m – 6 (2) + Xét m2 – 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±2, phương trình (2) có nghiệm duy nhất:
+ Xét m2 – 4 = 0 ⇔ m = ±2 ● Với m = 2, pt (2) ⇔ 0x = 0 , phương trình có vô số nghiệm ● Với m = –2, pt (2) ⇔ 0x = –12, phương trình vô nghiệm. Kết luận: + m = 2, phương trình có vô số nghiệm + m = –2, phương trình vô nghiệm + m ≠ ±2, phương trình có nghiệm duy nhất c) (2m + 1)x – 2m = 3x – 2 ⇔ (2m + 1)x – 3x = 2m – 2 ⇔ (2m + 1 – 3).x = 2m – 2 ⇔ (2m – 2).x = 2m – 2 (3) + Xét 2m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1, pt (3) có nghiệm duy nhất + Xét 2m – 2 = 0 ⇔ m = 1, pt (3) ⇔ 0.x = 0, phương trình có vô số nghiệm. Kết luận : + Với m = 1, phương trình có vô số nghiệm + Với m ≠ 1, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. Lời giải: Gọi số quýt ban đầu ở mỗi rổ là x (quả) Muốn lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì số quả ở mỗi rổ lúc đầu phải nhiều hơn 30 quả hay x > 30. Khi đó rổ thứ nhất còn x – 30 quả; rổ thứ hai có x + 30 quả. Vì số quả ở rổ thứ hai bằng 1/3 bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất nên ta có phương trình:
Giải phương trình (1): Vì x > 30 nên x = 45 thỏa mãn. Vậy ban đầu mỗi rổ có 45 quả cam. a) 2x4 – 7x2 + 5 = 0 ; b) 3x4 + 2x2 – 1 = 0 Lời giải: a) 2x4 – 7x2 + 5 = 0 (1) Tập xác định: D = R. Đặt t = x2, điều kiện t ≥ 0. Khi đó phương trình (1) trở thành: 2t2 – 7t + 5 = 0 ⇔ (2t – 5) (t – 1) = 0 b) 3x4 + 2x2 – 1 = 0 (2) Tập xác định : D = R. Đặt t = x2, điều kiện t ≥ 0 Khi đó phương trình (2) trở thành : 3t2 + 2t – 1 = 0 ⇔ (3t – 1)(t + 1) = 0
a) 2x2 – 5x – 4 = 0 ; b) -3x2 + 4x + 2 = 0 c) 3x2 + 7x + 4 = 0 ; d) 9x2 – 6x – 4 = 0. Hướng dẫn cách giải câu a): Nếu sử dụng máy tính CASIO fx-500 MS, ta ấn liên tiếp các phím màn hình hiện ra x1 = 3.137458609 Ấn tiếp Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba ta được nghiệm gần đúng của phương trình là x1 ≈ 3.137 và x2 ≈ –0.637. Lời giải: Sử dụng máy tính CASIO fx–500 MS * Nếu sử dụng các loại máy tính CASIO fx – 570, để vào chương trình giải phương trình bậc 2 các bạn ấn như sau: rồi sau đó nhập các hệ số và đưa ra kết quả như CASIO fx–500 MS trên. * Nếu sử dụng các loại máy tính VINACAL, để vào chương trình giải phương trình bậc 2 các bạn ấn như sau: rồi sau đó nhập các hệ số và đưa ra kết quả như trên. * Các loại máy tính CASIO fx–570, VINACAL trên khi giải phương trình vô tỷ sẽ cho nghiệm chính xác dưới dạng căn thức, để nghiệm hiển thị dưới dạng số thập phân, các bạn ấn nút Ví dụ để giải phương trình trên máy tính CASIO fx–570 VN, các bạn ấn như sau: a) |3x – 2| = 2x + 3 ; b) |2x – 1| = |-5x – 2| ; d) |2x + 5| = x2 + 5x + 1. Lời giải: a) |3x – 2| = 2x + 3 (1) Tập xác định: D = R. + Nếu Giá trị x = 5 thỏa mãn điều kiện nên x = 5 là một nghiệm của phương trình (3). + Nếu Giá trị Vậy phương trình có hai nghiệm x = 5 và b) |2x – 1| = |-5x – 2| (2) Tập xác định D = R. Ta có: Vậy phương trình có hai nghiệm + Xét x > –1, khi đó x + 1 > 0 nên |x + 1| = x + 1. Khi đó pt (3) + Xét x < –1, khi đó x + 1 < 0 nên |x + 1| = –x – 1. Khi đó pt (3) (không thỏa mãn điều kiện x < –1). Vậy phương trình có hai nghiệm là d) |2x + 5| = x2 + 5x + 1 (4) Tập xác định: D = R. + Xét 2x + 5 ≥ 0 ⇔ Khi đó pt (4) ⇔ 2x + 5 = x2 + 5x + 1 ⇔ x2 + 3x – 4 = 0 ⇔ (x + 4)(x – 1) = 0 ⇔ x = –4 (không thỏa mãn) hoặc x = 1 (thỏa mãn) + Xét 2x + 5 < 0 ⇔ Khi đó pt (4) ⇔ –2x – 5 = x2 + 5x + 1 ⇔ x2 + 7x + 6 = 0 ⇔ (x + 1)(x + 6) = 0 ⇔ x = –1 (không thỏa mãn) hoặc x = –6 (thỏa mãn). Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 hoặc x = –6. Lời giải: a) Điều kiện xác định: 5x + 6 ≥ 0 ⇔ Từ (1) ⇒ 5x + 6 = (x – 6)2 ⇔ 5x + 6 = x2 – 12x + 36 ⇔ x2 – 17x + 30 = 0 ⇔ (x – 15)(x – 2) = 0 ⇔ x = 15 (thỏa mãn ĐKXĐ) hoặc x = 2 (thỏa mãn đkxđ). Thử lại x = 15 là nghiệm của (1), x = 2 không phải nghiệm của (1) Vậy phương trình có nghiệm x = 15. b) Điều kiện xác định: -2 ≤ x ≤ 3 Ta có (2) Thử lại thấy x = 2 không phải nghiệm của (2) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = –1 c) Tập xác định: D = R. Từ pt (3) ⇒ 2x2 + 5 = (x + 2)2 ⇔ 2x2 + 5 = x2 + 4x + 4 ⇔ x2 – 4x + 1 = 0 Thử lại thấy chỉ có x = 2 + √3 là nghiệm của (3) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 + √3. d) Ta có Do đó phương trình có tập xác định D = R. Từ (4) ⇒ 4x2 + 2x + 10 = (3x + 1)2 ⇔ 4x2 + 2x + 10 = 9x2 + 6x + 1 ⇔ 5x2 + 4x – 9 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = –9/5 Thử lại thấy chỉ có x = 1 là nghiệm của (4) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó. Lời giải: Ta có : 3x2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0 (1) (1) có hai nghiệm phân biệt khi Δ’ > 0 ⇔ (m + 1)2 – 3.(3m – 5) > 0 ⇔ m2 + 2m + 1 – 9m + 15 > 0 ⇔ m2 – 7m + 16 > 0 ⇔ (m – 7/2)2 + 15/4 > 0 Điều này luôn đúng với mọi m ∈ R hay phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt., gọi hai nghiệm đó là x1; x2 Khi đó theo định lý Vi–et ta có Phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia, giả sử x2 = 3.x1, khi thay vào (I) suy ra : * TH1 : m = 3, pt (1) trở thành 3x2 – 8m + 4 = 0 có hai nghiệm x1 = 2/3 và x2 = 2 thỏa mãn điều kiện. * TH2 : m = 7, pt (1) trở thành 3x2 – 16m + 16 = 0 có hai nghiệm x1 = 4/3 và x2 = 4 thỏa mãn điều kiện. Kết luận : m = 3 thì pt có hai nghiệm là 2/3 và 2. m = 7 thì pt có hai nghiệm 4/3 và 4. |
