Bạn đang xem: Tìm số chiều và cơ sở của không gian con
Навигация по данной странице:| Hệ sinh, cơ sở, số chiều và hạng của một hệ vectơ________________________________________________1. Hệ sinh:1.1 Định nghĩa: Cho S là một tập con của không gian vectơ V. Ta gọi tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của S là bao tuyến tính của S và ký hiệu là E[S]. S được gọi là hệ sinh của V nếu E[S] = V. Ta gọi S là hệ sinh tối tiểu nếu nó không chứa tập con thực sự cũng là hệ sinh. Không gian vectơ có một hệ sinh hữu hạn được gọi là không gian hữu hạn sinh hay không gian hữu hạn chiều. Do đó, nếu cho Nếu S là hệ sinh của V thì ta ký hiệu 1. Nếu 2. Đối với không gian vectơ , hệ vectơ gồm các vectơ 3. Tập các đơn thức 4. Nếu S là hệ sinh của V, thì mọi tập chứa nó đều là hệ sinh của V. Nói riêng V là hệ sinh của V. 1.3 Nhận xét: Để chứng minh S là một hệ sinh của V ta chứng minh mọi tập con hữu hạn Chứng minh với mọi vector v thuộc V thì có các số Trong không gian vector Nếu biết trước 1 hệ sinh Xét hệ phương trình Hệ này có nghiệm vì hạng của ma trận hệ số bằng với hạng của ma trận hệ số mở rộng và nghiệm của hệ phương trình là: Nếu tập được sắp thứ tự Xem thêm: Quán Quân "Cuộc Đua Kỳ Thú 2019" Đăng Quang Mà "Đìu Hiu, Vắng Vẻ" Quá, Chả Bù Cho Mấy Mùa Trước Ví dụ:Trong xét cơ sở chính tắc gồm 4 vector sau đây: Mặt khác, trong xét cơ sở gồm các vector sau: thì khi đó vector được biểu thị tuyến tính qua các vector trên như sau: - Các vectơ - Các ma trận - Trong không gian vectơ các ma trận - Đối với không gian hữu hạn chiều [giả sử dim V = n ] thì để chứng minh một hệ vector gồm n vector là cơ sở của không gian V ta chỉ cần chứng minh hệ vector này là độc lập tuyến tính. 2.6 Hệ quả 1: i] Bất kỳ hệ sinh nào của V cũng chứa một cơ sở của V.ii] Bất kỳ hệ độc lập tuyến tính nào cũng có thể bổ sung các vectơ để trở thành cơ sở. 2.7 Hệ quả 2: i] Không gian con của không gian hữu hạn chiều là không gian có số chiều hữu hạn.ii] Không gian chứa một không gian vô hạn chiều là vô hạn chiều. 2.8 Định nghĩa: Cho một hệ hữu hạn vectơ trong không gian vectơ V. Số phần tử của một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của là một hằng số [không phụ thuộc vào cách chọn hệ con, chỉ phụ thuộc vào bản chất của hệXét hệ vector Cho V là một không gian hữu hạn chiều, dimV = n. Khi đó: Mọi hệ vectơ có nhiều hơn n vectơ đều phụ thuộc tuyến tính.Mọi hệ có n vectơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của V. Mọi hệ có n vectơ là hệ sinh của V đều là cơ sở của V.Mọi hệ độc lập tuyến tính có k vectơ đều có thể bổ sung thêm n-k vectơ để lập thành một cơ sở của V. Chú ý: Từ tính chất [b] và [c] ta suy ra, nếu biết dimV = n thì để chứng minh một hệ n vectơ là cơ sở thì ta cần chứng minh đó là hệ độc lập tuyến tính hoặc đó là hệ sinh. Bài tập3.2.trong các trường hợp sau đây, xét xem W có phải là không gian con của không gian vectơ R3a] W = b]W = C]w = b] ta có 0 = [0,0,0] W [ vì 0 + 2.0 = 0 ]. Suy ra W với mọi u = [ x1,x2,x3] W nghĩa là x1 + 2x2 = x3 và v = [y1, y2,y3 ] W nghĩa là y1 + 2y2 = y3 suy ra x3 + y3 = x1 +y1 + 2x2 + 2y2 = x1 + y1 + 2[x2 + y2] ta có u + v = [x1 + y1,x2 + y2,x3 + y3 ] = [x1 + y1,x2 + y2, x1 + y1 + 2[x2 + y2] ] vậy u + v W [1] mặt khác, ta lại có với mọi R u = [x1, x2, x3] = [x1, x2, [x1 + 2x2]] = [x1, x2, x1 + 2x2] vậy u W [2] Từ [1] và [2] ta suy ra W≤ R c] ta có 0 = [0,0,0] W suy ra W với mọi u = [ x1,x2,x3] W nghĩa là u = [0,0,x3] và v = [y1, y2,y3 ] W nghĩa là v = [0,0,y3 ] ta có u + v = [0,0,x3 + y3] vậy u + v W[1] mặt khác ta lại có với mọi R u = [0,0, x3] vậy u W [2] Từ [1] và [2] ta suy ra W≤ R 3.7trong không gian R4 cho các tậpW1 = {[ x1,x2,x3,x4] R4 : x1 + x2 = x3,x1 - x2 + x3 = 2x4} W2 = {[ x1,x2,x3,x4] R4 : x1 = x2 = x3} W3 = {[ x1,x2,x3,x4] R4 : x1 = x2 = 0} a]Chứng minh W1, W2, W3 là các không gian con của R4 b] tìm một cơ sở của W1, W2, W3 bài giải a] Xét W1. Ta có 0 =[0,0,0,0] W1 [ vì 0 + 0 = 0 và 0+0+0= 2.0] Suy ra W1 Từ để bài ta có thể viết : x1 + x2 – x3 = 0 và x1 – x2 + x3 – 2x4 = 0với mọi u = [ x1,x2,x3,x4] W nghĩa là x1 + x2 –x3 = 0 và x1 –x2 + x3 -2x4 = 0 và v = [y1,y2,y3,y4] W nghĩa là y1 + y2 –y3 = 0 và y1 – y2 + y3 -2y4 = 0ta có u + v = [ x1+y1,x2+y2,x3+y3,x4+y4]vì [x1+y1] + [x2+y2] – [x3+y3] = [x1 + x2 –x3] + [y1 + y2 –y3] = 0 + 0 = 0và [x1+y1] – [x2+y2] + [x3+y3] -2[x4+y4] = [x1–x2+x3–2x4] + [y1-y2+y3-2y4] = 0+0 = 0 Do đó u+v W [1] Mặt khác với mọi R u = [x1, x2, x3, x4] Vì αx1 + αx2 – αx3 = α[x1 + x2 – x3 ] = α.0 = 0 và αx1 – αx2 + αx3 -2αx4 = α[x1 – x2 +x3 -2x4] = α.0 = 0 do đó αu W [2] Từ [1] và [2] ta suy ra W1≤ R Xét W2 ta cóVà v = Ta có u + v = [x1+y1,x2 +y2,x3+y3,x4+y4] Từ [1] và [2] ta có x1+y1 = x2+y2 = x3+y3 Do đó Mặt khác với mọi Do đó Từ [3] và [4] suy ra W2 ≤R Xét W3 dễ thấy Với mọi Và Ta có u+v = [0,0, x3+y3,x4+y4] Do đó Mặt khác với mọi Do đó Từ [1] và [2] suy ra W3 ≤R b] Tìm một cơ sở của W1 Ta có x1 + x2 = x3 và x1 – x2 +x3 = 2x4 nên[x1,x2,x3,x4] = [ x1,x2, x1+x2, =[x1,0,x1,x1] + [0,x2,x2,0] = x1[1,0,1,1] + x2[0,1,1,0] Vậy 2 vecto u = [1,0,1,1] và v = [01,1,0] là tập sinh của W1 Xét ma trận A = Suy ra u và v độc lập tuyến tính Vậy u và v là một cơ sở của W1 Tìm một cơ sở của W2 Ta có x1 = x2 = x3 nên [x1,x2,x3,x4] = [x1,x1,x1,x4] = [x1,x1,x1,0] + [0,0,0,x4] = x1[1,1,1,0] + x4[0,0,0,1] Vậy 2 vectơ u = [1,1,1,0] và v = [0,0,0,1] là tập sinh của W2 Xét ma trận A = Suy ra u và v độc lập tuyến tính Vậy B = [x1,x2,x3,x4] = [0,0,x3,x4] = [0,0,x3,0] + [0,0,0,x4] = x3[0,0,1,0] + x4[0,0,0,1] Vậy 2 vectơ u = [0,0,1,0] và v =[0,0,0,1] là tập sinh của W3 Xét ma trận A = Suy ra u và v độc lập tuyến tính Vậy B = Lập A = Ta có detA = 1 Suy ra B độc lập tuyến tính, mặt khác số vectơ của B bằng 3 = dimR3 nên B là cơ sở của R3 Chứng minh E là cơ sở của R3 Lập A = Ta có detA = -3 suy ra E độc lập tuyến tính, mặt khác số vectơ của E bằng 3 = dimR3 Nên E là cơ sở của R3 b] tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang E Lâp ma trận mở rộng[v1T,v2T,v3T│u1T,u2T,u3T] → Vậy P[B→E] = Vậy Lập ma trân mở rộng [u1T,u2T,u3T│uT] = Vậy = [5,5,8] Tìm[u1T,u2T,u3T│vT ] = Vậy Tài liệu tham khảo Bài giảng môn học đại số A1 – Lê Văn Luyện – Đại học Khoa Học Tự Nhiên thành phố Hồ Chí MinhBài tâp toán cao cấp - tập 1 – Nguyển Thuỷ Thanh – nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà NộiChuơng 4: không gian vectơ - //linearalgebra1.wikispaces.com/file/view/Chuong+4-Khong+gian+vector.docBài giảng toán cao cấp A2 – C2 – Đại Học Công Nghiệp Thực Phẩm Thành Phố Hồ Chí Minh |