Chuyên đề toán bồi dưỡng học sinh giỏi toán thcs năm 2024

1. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 1 CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN THCS Chuyên đề 1: SỐ CHÍNH PHƯƠNG I- ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên. II- TÍNH CHẤT: 1- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể có chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8. 2- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn. 3- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n  N). 4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 ( n  N ). 5- Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2. Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ. 6- Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4. Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25 Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16. III- MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG A- Dạng 1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG. Bài 1: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì: A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + 4 y là số chính phương. Giải : Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + 4 y = ( 2 2 2 2 4 5 4 )( 5 6 )x xy y x xy y y     Đặt 2 2 5 5 ( )x xy y t t Z    thì A = ( 2 2 4 2 4 4 2 2 2 2 )( ) ( 5 5 )t y t y y t y y t x xy y         
2. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 2 Vì x, y, z  Z nên 2 2 2 2 , 5 , 5 5 5x Z xy Z y Z x xy y Z       Vậy A là số chính phương. Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương. Giải : Gọi 4 số tự nhiên, liên tiếp đó là n, n+1, n+2, n+3 (n  Z). Ta có: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n . ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1 = ( 2 2 3 )( 3 2) 1 (*)n n n n    Đặt 2 3 ( )n n t t N   thì (*) = t(t + 2) + 1 = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2 = (n2 + 3n + 1)2 Vì n  N nên n2 + 3n + 1  N. Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + 1 là số chính phương. Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ k(k + 1)(k + 2) Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương. Giải : Ta có: k(k + 1)(k + 2) = 1 4 k (k + 1)(k + 2). 4= 1 4 k(k + 1)(k + 2).  ( 3) ( 1)k k   = 1 4 k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - 1 4 k(k + 1)(k + 2)(k - 1) => 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) => 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 Theo kết quả bài 2 => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 là số chính phương. Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; . . . - Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa các chữ số đứng trước và đứng sau nó. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương. Ta có 44 ...488...89 = 44...488...8 + 1 = 44...4 . 10n + 8 . 11 ... 1 + 1 n chữ số 4 n - 1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 1 = 4. 10 1 10 1 .10 8. 1 9 9 n n n    = 2 2 4.10 4.10 8.10 8 9 4.10 4.10 1 9 9 n n n n n        = 2 2.10 1 3 n       Ta thấy 2.10n + 1 = 200...01 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3 n - 1 chữ số 0 => 2 2.10 1 3 n        Z hay các số có dạng 44 ... 488 ... 89 là số chính phương.
3. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 3 Các bài tương tự: Chứng minh rằng số sau đây là số chính phương. A = 11 ... 1 + 44 ... 4 + 1 2n chữ số 1 n chữ số 4 B = 11 ... 1 + 11 . . .1 + 66 . . . 6 + 8 2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6 C= 44 . . . 4 + 22 . . . 2 + 88 . . . 8 + 7 2n chữ số 4 n+1 chữ số 2 n chữ số 8 D = 22499 . . .9100 . . . 09 n-2 chữ số 9 n chữ số 0 E = 11 . . .155 . . . 56 n chữ số 1 n-1 chữ số 5 Kết quả: A= 2 2 2 10 2 10 8 2.10 7 ; ; 3 3 3 n n n B C                      D = (15.10n - 3)2 E = 2 3 210       n Bài 5: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phương. Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n - 2, n - 1, n +1, n + 2 ( n  N, n >2). Ta có (n - 2)2 + ( n - 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = 5 . (n2 + 2) Vì n2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n2 + 2 không thể chia hết cho 5 => 5. (n2 + 2) không là số chính phương hay A không là số chính phương. Bài 6: Chứng minh rằng số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n  N và n >1 không phải là số chính phương. n6 - n 4 + 2n3 + 2n2 = n2 . (n4 - n2 + 2n +2) = n2 . [n2 (n-1)(n+1) +2(n+1)] = n2 [(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2 (n + 1) . [(n3 + 1) - (n2 - 1)] = n2 (n + 1)2 . (n2 - 2n + 2) Với nN, n > 1 thì n2 - 2n + 2 = ( n -1)2 + 1 > ( n - 1)2 Và n2 - 2n + 2 = n2 - 2(n - 1) < n2 Vậy (n - 1)2 < n2 - 2n + 2 < n2 => n2 - 2n + 2 không phải là một số chính phương. Bài 7: Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương. Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ. Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là 1,3,5,7,9 khi đó tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương.
4. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 4 Bài 8: Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ bất kỳ không phải là số chính phương. a và b lẻ nên a = 2k + 1, b= 2m + 1 (Với k, m  N). => a2 + b2 = (2k + 1)2 + ( 2m + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 + 4m2 + 4m + 1 = 4 (k2 + k + m2 + m) + 2 => a2 + b2 không thể là số chính phương. Bài 9: Chứng minh rằng nếu p là tích của n (với n > 1) số nguyên tố đầu tiên thì p - 1 và p + 1 không thể là các số chính phương. Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p2 và p không thể chia hết cho 4 (1) a- Giả sử p + 1 là số chính phương. Đặt p + 1 = m2 ( m  N). Vì p chẵn nên p + 1 lẻ => m2 lẻ => m lẻ. Đặt m = 2k + 1 (k  N). Ta có m2 = 4k2 + 4k + 1 => p + 1 = 4k2 + 4k + 1 => p = 4k2 + 4k = 4k (k + 1)  4 mâu thuẫn với (1). => p + 1 không phải là số chính phương. b- p = 2.3.5... là số chia hết cho 3 => p - 1 có dạng 3k + 2. => p - 1 không là số chính phương. Vậy nếu p là tích n (n >1) số nguyên tố đầu tiên thì p - 1 và p + 1 không là số chính phương. Bài 10: Giả sử N = 1.3.5.7 . . . 2007. 2011 Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N - 1, 2N và 2N + 1 không có số nào là số chính phương. a- 2N - 1 = 2.1.3.5.7 . . . 2011 - 1 Có 2N  3 => 2N - 1 = 3k + 2 (k  N) => 2N - 1 không là số chính phương. b- 2N = 2.1.3.5.7 . . . 2011 => 2N chẵn. => N lẻ => N không chia hết cho 2 và 2N  2 nhưng 2N không chia hết cho 4. 2N chẵn nên 2N không chia cho 4 dư 1 hoặc dư 3 => 2N không là số chính phương. c- 2N + 1 = 2.1.3.5.7 . . . 2011 + 1 2N + 1 lẻ nên 2N + 1 không chia hết cho 4 2N không chia hết cho 4 nên 2N + 1 không chia cho 4 dư 1. => 2N + 1 không là số chính phương. Bài 11: Cho a = 11 . . . 1 ; b = 100 . . . 05 2010 chữ số 1 2009 chữ số 0 Chứng minh 1ab  là số tự nhiên. Giải: b = 100 . . . 05 = 100 . . . 0 - 1 + 6 = 99 . . . 9 + 6 = 9a + 6 2009 chữ số 0 2010 chữ số 0 2010 chữ số 9
5. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 5  ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2  Naaab  13)13(1 2 B. DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương a) n2 + 2n + 12 b) n(n + 3) c) 13n + 3 d) n2 + n + 1589 Giải: a) Vì n2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k  N)  (n2 + 2n + 1) + 11 = k2  k2 – (n + 1)2 = 11  (k + n + 1)(k – n - 1) = 11 Nhận xét thấy k + n + 1 > k - n - 1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (k + n + 1) (k - n - 1) = 11.1  k + n + 1 = 11  k = 6 k - n – 1 = 1 n = 4 b) đặt n(n + 3) = a2 (n  N)  n2 + 3n = a2  4n2 + 12n = 4a2  (4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2  (2n + 3)2 – 4a2 = 9  (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9 Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1  2n + 3 + 2a = 9  n = 1 2n + 3 – 2a = 1 a = 2 c) Đặt 13n + 3 = y2 (y  N)  13(n - 1) = y2 – 16  13(n - 1) = (y + 4)(y – 4) (y + 4)(y – 4)  13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4  13 hoặc y – 4  13  y = 13k  4 (với k  N)  13(n - 1) = (13k  4)2 – 16 = 13k.(13k  8) 13k2  8k + 1 Vậy n = 13k2  8k + 1 (với k  N) thì 13n + 3 là số chính phương d) Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m  N)  (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2  (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355 Nhận xét thấy 2m + 2n + 1 > 2m – 2n – 1 > 0 và chúng là những số lẻ, nên ta có thể viết (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 Suy ra n có thể có các giá trị sau : 1588 ; 316 ; 43 ; 28 Bài tương tự : Tìm a để các số sau là những số chính phương a) a2 + a + 43
6. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 6 b) a2 + 81 c) a2 + 31a + 1984 Kết quả: a) 2; 42; 13 b) 0; 12; 40 c) 12 ; 33 ; 48 ; 97 ; 176 ; 332 ; 565 ; 1728 Bài 2 : Tìm số tự nhiên n  1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! là một số chính phương. Với n = 1 thì 1! = 1 = 12 là số chính phương Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1 + 1.2 + 1.2.3 = 9 = 33 là số chính phương Với n  4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! đều tận cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! + … n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số chính phương. Vậy có 2 số tự nhiên n thoả mãn đề bài là n = 1; n = 3 Bài 3: Có hay không số tự nhiên n để 2010 + n2 là số chính phương. Giả sử 2010 + n2 là số chính phương thì 2010 + n2 = m2 (m N ) Từ đó suy ra m2 - n2 = 2010  (m + n) (m – n) = 2010 Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1) Mặt khác m + n + m – n = 2m  2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2) Từ (1) và (2)  m + n và m – n là 2 số chẵn.  (m + n) (m – n)  4 nhưng 2006 không chia hết cho 4  Điều giả sử sai. Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương. Bài 4: Biết x N và x > 2. Tìm x sao cho )1()2()1(.)1(  xxxxxxxx Đẳng thức đã cho được viết lại như sau: )1()2()1( 2  xxxxxx Do vế trái là một số chính phương nên vế phải cũng là một số chính phương. Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi một trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9 nên x chỉ có thể tận cùng bởi một trong các chữ số 1; 2; 5; 6; 7; 0 (1) Do x là chữ số nên x  9, kết hợp với điều kiện đề bài ta có x N và 2 < x  9 (2) Từ (1) và (2)  x chỉ có thể nhận một trong các giá trị 5; 6; 7 Bằng phép thử ta thấy chỉ có x = 7 thoả mãn đề bài, khi đó 762 = 5776 Bài 5: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương. Ta có 10  n  99 nên 21  2n + 1  199. Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được 2n + 1 bằng 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84 Số 3n + 1 bằng 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ có 121 là số chính phương. Vậy n = 40
7. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 7 Bài 6: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n + 1 và 2n + 1 đều là các số chính phương thì n là bội số của 24 Vì n + 1 và 2n + 1 là các số chính phương nên đặt n + 1 = k2 , 2n + 1 = m2 (k, m N ) Ta có m là số lẻ  m = 2a + 1  m2 = 4a(a + 1) + 1 Mà )1(2 2 )1(4 2 12      aa aam n  n chẵn  n + 1 lẻ  k lẻ  đặt k = 2b + 1 (với b N )  k2 = 4b(b+1) + 1  n = 4b(b+1)  n  8 (1) Ta có: k2 + m2 = 3n + 2  2 (mod3) Mặt khác k2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1, m2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1 Nên để k2 + m2  2 (mod3) thì k2  1 (mod3) m2  1 (mod3)  m2 – k2  3 hay (2n + 1) – (n + 1)  3  n  3 (2) Mà (8; 3) = 1 (3) Từ (1), (2), (3)  n  24 Bài 7: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a  N) thì 2n = a2 – 482 = (a + 48) (a – 48) 2p . 2q = (a + 48) (a – 48) với p, q  N ; p + q = n và p > q  a + 48 = 2p  2p 2q = 96  2q (2p-q – 1) = 25 .3 a – 48 = 2q  q = 5 và p – q = 2  p = 7  n = 5 + 7 = 12 Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802 C.DẠNG 3 : TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1 : Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B. Gọi A = 2 kabcd  . Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số B = 2 )1)(1)(1)(1( mdcba  với k, m  N và 32 < k < m < 100 a, b, c, d = 9;1  Ta có: A = 2 kabcd  B = 2 1111 mabcd  . Đúng khi cộng không có nhớ  m2 – k2 = 1111  (m - k)(m + k) = 1111 (*) Nhận xét thấy tích (m – k)(m + k) > 0 nên m – k và m + k là 2 số nguyên dương.
8. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 8 Và m – k < m + k < 200 nên (*) có thể viết (m – k) (m + k) = 11.101 Do đó: m – k = 11  m = 56  A = 2025 m + k = 101 n = 45 B = 3136 Bài 2: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau một đơn vị. Đặt 2 kabcd  ta có 1 cdab và k  N, 32  k < 100 Suy ra : 101cd = k2 – 100 = (k – 10)(k + 10)  k + 10  101 hoặc k – 10  101 Mà (k – 10; 101) = 1  k + 10  101 Vì 32  k < 100 nên 42  k + 10 < 110  k + 10 = 101  k = 91  abcd = 912 = 8281 Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau. Gọi số chính phương phải tìm là: aabb = n2 với a, b  N, 1  a  9; 0  b  9 Ta có: n2 = aabb = 11. ba0 = 11.(100a + b) = 11.(99a + a + b) (1) Nhận xét thấy aabb  11  a + b  11 Mà 1  a  9; 0  b  9 nên 1  a + b  18  a + b = 11 Thay a + b = 11 vào (1) được n2 = 112 (9a + 1) do đó 9a + 1 là số chính phương Bằng phép thử với a = 1; 2;…; 9 ta thấy chỉ có a = 7 thoả mãn  b = 4 Số cần tìm là: 7744 Bài 4: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương. Gọi số chính phương đó là abcd . Vì abcd vừa là số chính phương vừa là một lập phương nên đặt abcd = x2 = y3 với x, y  N Vì y3 = x2 nên y cũng là một số chính phương. Ta có : 1000  abcd  9999  10  y  21 và y chính phương  y = 16  abcd = 4096 Bài 5 : Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương. Gọi số phải tìm là abcd với a, b, c, d nguyên và 1  a  9; 0  b, c, d  9 abcd chính phương  d  9,6,5,4,1,0 d nguyên tố  d = 5 Đặt abcd = k2 < 10000  32  k < 100 k là một số có hai chữ số mà k2 có tận cùng bằng 5  k tận cùng bằng 5 Tổng các chữ số của k là một số chính phương  k = 45  abcd = 2025 Vậy số phải tìm là: 2025
9. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 9 Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó và viết số bở hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương Gọi số tự nhiên có hai chữ sốphải tìm là ab (a, b  N, 1  a, b  9) Số viết theo thứ tự ngược lại ba Ta có ab 2 - ba 2 = (10a + b)2 – (10b + a)2 = 99 (a2 – b2 )  11  a2 – b2  11 Hay (a - b) (a + b)  11 Vì 0 < a – b  8, 2  a + b  18 nên a + b  11  a + b = 11 Khi đó: ab 2 - ba 2 = 32 . 112 . (a – b) Để ab 2 - ba 2 là số chính phương thì a – b phải là số chính phương do đó a – b = 1 hoặc a – b = 4 Nếu a – b = 1 kết hợp với a + b = 11  a = 6, b = 5 , ab = 65 Khi đó 652 – 562 = 1089 = 332 Nếu a – b = 4 kết hợp với a + b = 11  a = 7,5 loại Vậy số phải tìm là 65 Bài 7: Cho một số chính phương có 4 chữ số. Nếu thêm 3 vào mỗi chữ số đó ta cũng được một số chính phương. Tìm số chính phương ban đầu. (Kết quả: 1156) Bài 8: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó. Gọi số phải tìm là ab với a, b  N, 1  a  9; 0  b  9 Theo giả thiết ta có: ab = (a + b)3  (10a +b)2 = (a + b)3  ab là một lập phương và a + b là một số chính phương Đặt ab = t3 (t  N), a + b = 12 (1  N) Vì 10  ab  99  ab = 27 hoặc ab = 64 Nếu ab = 27  a + b = 9 là số chính phương Nếu ab = 64  a + b = 10 không là số chính phương  loại Vậy số cần tìm là ab = 27 Bài 9 : Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống nhau. Gọi 3 số lẻ liên tiếp đó là 2n - 1 ; 2n + 1 ; 2n + 3 (n  N) Ta có : A = (2n – 1)2 + (2n + 1)2 + (2n +3)2 = 12n2 + 12n + 11 Theo đề bài ta đặt 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111 . a với a lẻ và 1  a  9  12n(n + 1) = 11(101a – 1)  101a – 1  3 2a – 1  3
10. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 10 Vì 1  a  9 nên 1  2a – 1 17 và 2a – 1 lẻ nên 2a – 1  15;9;3  a  8;5;2 Vì a lẻ  a = 5  n = 21 3 số cần tìm là: 41; 43; 45 Bài 10 : Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập phương các chữ số của số đó. ab (a + b) = a3 + b3  10a + b = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab  3a (3 + b) = (a + b) (a + b – 1) a + b và a + b – 1 nguyên tố cùng nhau do đó a + b = 3a hoặc a + b – 1 = 3a a + b – 1 = 3 + b a + b = 3 + b  a = 4, b = 8 hoặc a = 3, b = 7 Vậy ab = 48 hoặc ab = 37 Chuyên đề 2: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 1. Tìm nghiệm nguyên của Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Tuỳ từng bài cụ thể mà làm các cách khác nhau. VD1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x + 3y = 11 (1) Cách 1: Phương pháp tổng quát: Ta có: 2x + 3y = 11 2 1 5 2 311     y y y x Để phương trình có nghiệm nguyên 2 1  y nguyên Đặt Zt y   2 1  y = 2t + 1 x = -3t + 4 Cách 2 : Dùng tính chất chia hết Vì 11 lẻ  2x + 3y luôn là số lẻ mà 2x luôn là số chẵn  3y lẻ  y lẻ Do đó : y = 2t + 1 với Zt  x = -3t + 4 Cách 3 : Ta nhân thấy phương trình có một cặp nghiệm nguyên đặc biệt là
11. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 11 x0 = 4 ; y0 = 1 Thật vậy : 2 . 4 + 3.1 = 11 (2) Trừ (1) cho (2) vế theo vế ta có : 2(x - 4) + 3(y - 1) = 0  2(x -4) = -3(y -1) (3) Từ (3)  3(y - 1)  2 mà (2 ; 3) = 1  y - 1  2  y = 2t + 1 với Zt  Thay y = 2t + 1 vào (3) ta có : x = -3t + 4 Nhận xét : Với cách giải này ta phải mò ra một cặp nghiệm nguyên (x0, y0) của phương trình ax + by = c ; cách này sẽ gặp khó khăn nếu hệ số a, b, c quá lớn. Các bài tập tương tự : Tìm nghiệm nguyên của phương trình. a) 3x + 5y = 10 b) 4x + 5y = 65 c) 5x + 7y = 112 VD2 : Hệ phương trình. Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình sau : 3x + y + z = 14 (1) 5x + 3y + z = 28 (2) Giải : Từ hệ đã cho ta có : 2(x + y) = 14 vậy x = 7 - y (*) Thay (*) vào (1) ta được z = 14 - y - 3x = 2y -7 Vì x > 0 nên 7 - y > 0  y < 7 mà z > 0 nên 2y - 7 > 0  y > 2 7 Vậy 2 7 < y < 7 và Zy   6;5;4 y Giải tiếp hệ đã cho có 3 nghiệm (3; 4; 1); (2; 5; 3); (1; 6; 5) Bài tập tương tự: a) Tìm nghiệm nguyên của hệ 2x -5y = 5 2y - 3z = 1 b) Trăm trâu ăn trăm bó cỏ – trâu đứng ăn năm, trâu nằm ăn ba, trâu già 3 con 1 bó. Tìm số trâu mỗi loại. c) Tìm số nguyên dương nhỏ nhất chia cho 1000 dư 1 và chia cho 761 dư 8. 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình, hệ phương trình bậc cao. Phương pháp 1 : Dùng dấu hiệu chia hết để giải phương trình. VD1: a) Tìm cặp số nguyên (x ; y) thoả mãn phương trình 6x2 + 5y2 = 74 (1) Cách 1 : Ta có : 6 (x2 - 4) = 5 (10 - y2 ) (2)
12. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 12 Từ (2)  6(x2 - 4)  5 và (6 ; 5) = 1  x2 - 4  5  x2 = 5t + 4 với Nt  Thay x2 - 4 = 5t vào (2) ta có : y2 = 10 – 6t Vì x2 > 0 và y2 > 0  5t + 4 > 0 10 - 6t > 0  3 5 5 4  t với Nt   t = 0 hoặc t = 1 Với t = 0  y2 = 10 (loại) Với t = 1  x2 = 9  x = 3 y2 = 4 y = 2 Vậy các cặp nghiệm nguyên là :........................ Cách 2 : Từ (1) ta có x2 + 1  5 0 < x2  12  x2 = 4 hoặc x2 = 9 Với x2 = 4  y2 = 10 (loại) Với x2 = 9  y2 = 4 (thoả mãn) Vậy..................... Cách 3 : Ta có :(1)  y2 chẵn 0 < y2  14  y2 = 4  x2 = 9 Vậy............... VD2 : Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên a) x5 + 29x = 10(3y + 1) b) 7x = 2y - 3z - 1 Giải : x5 - x + 30x = 10(3y+1) VP  30 còn VT  30  phương trình vô nghiệm Phương pháp 2: Phân tích một vế thành tích, một vế thành hằng số nguyên VD1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: a) xy + 3x - 5y = -3 b) 2x2 - 2xy + x - y + 15 = 0 c) x2 + x = y2 - 19 Giải : a) Cách 1: x(y + 3) – 5(y + 3) = -18  (x – 5) (y + 3) = -18... Cách 2 : 3 18 5 3 35      yy y x b) Tương tự. c) 4x2 + 4x = 4y2 - 76
13. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 13  (2x + 1)2 - (2y)2 = -75... Phương pháp 3 : Sử dụng tính chẵn lẻ (đặc biệt của chia hết) VD2 : Tìm nghiệm nguyên. x3 - 2y3 - 4z3 = 0 Giải :  x3 = 2(y3 + 2z3 ) VP  2  x3 2  x  2 đặt x = 2k 8k3 = 2(y3 + 2z3 )  4k3 = y3 + 2z3  y3 = 4k3 - 2z3 = 2(2k3 - z3 )  y chẵn. Đặt y = 2t ta có : 8t3 = 2(2k3 - z3 )  4t3 = 2k3 - z3  z3 = 2k3 - 4t3  z chẵn  z = 2m  8m3 = 2(k3 - 2t3 )  ......k chẵn....... Phương pháp 4 : Phương pháp sử dụng tính chất của số chính phương VD1 : Tìm nghiệm nguyên của. a) x2 - 4xy + 5y2 = 169 b) x2 - 6xy + 13y2 = 100 Giải : a) (x - 2y)2 + y2 = 169 = 0 + 169 = 25 + 144... b) (x – 3y)2 + (2y)2 = 100 = 0 + 100 = 36 + 64 = ... Phương pháp 5 : Phương pháp công thức nghiệm phương trình bậc 2 VD1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình. a) 2x2 -2xy + x + y + 15 = 0 b) 5(x2 + xy + y2 ) = 7(x+2y) (đề thi học sinh giỏi tỉnh 2009 – 2010) c) x(x + 1) = y (y + 1) (y2 + 2) Phương pháp 6 : Phương pháp đặt ẩn phụ VD: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 6 7 32 22 22 12 2 2 2 2       xx xx xx xx (1) Đặt y = x2 + 2x + 2 (y  Z) (1) 6 7 1 1      y y y y  5y2 – 7y – 6 = 0 5 3 1 y (loại) ; y2 = 2 (thoả mãn)  x1 = 0; x2 = -2 Các bài tập tương tự: a) x3 + (x + 1)3 + (x + 2)3 = (x + 3)3 b) 12 1 )1( 1 )2( 1 2     xxx * Một số phương pháp khác.
14. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 14 VD1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2x2 + 4x = 19 -3y2 Giải :  4x2 + 8x + 4 = 42 - 6y2 (2x + 2)2 = 6 (7 - y2 ) Vì (2x + 2)2  0  7 - y2  0  72 y Mà y Z  y = 0 ; 1 ; 2 Từ đây ta tìm được giá trị tương ứng của x 3. Một số bài toán liên quan tới hình học. a) Cho tam giác có độ dài của 3 đường cao là những số nguyên dương và đường tròn nội tiếp tam giác đó có bán kính bằng 1(đ.v.đ.d). Chứng minh tam giác đó là tam giác đều Giải: Gọi độ dài các cạnh và các đường cao tương ứng theo thứ tự là a; b; c và x; y; z. R là bán kính đường tròn nội tiếp. Ta có R = 1 x; y; z > 2 và giả sử x  y  z > 2 Ta có : ax = by = cz = (a + b+ c).1 (=2S) Suy ra: a cba x   ; c cba z b cba y     ; cba a x   1 ; cba b y   1 ; cba c z   1  1 111  zyx mà x  y  z > 2  xz 11  và yz 11  nên zzyx 3111   z 3 1   3z  z = 3 Tương tự ta có: x = 3; y = 3  tam giác đó là tam giác đều b) Tìm tất cả các hình chữ nhật với độ dài các cạnh là các số nguyên dương có thể cắt thành 13 hình vuông bằng nhau sao cho mỗi cạnh của hình vuông là số nguyên dương không lớn hơn 4 (đ.v.đ.d) Giải : Gọi các cạnh hình chữ nhật cần tìm là a và b, cạnh hình vuông là c. Từ giả thiết hình chữ nhật cắt thành 13 hình vuông nên phải có: ab = 13c2 (1) với 0 < c  4 (2) Từ (1) suy ra a hoặc b chia hết cho 13. Vì vai trò a, b như nhau ta có thể giả giả sử a chia hết cho 13, tức là a = 13d Thay vào (1) ta được : 13db = 13c2 Hay db = c2 Ta hãy xét các trường hợp có thể có của c. Với c = 1, chỉ có thể: d = 1, b = 1, suy ra a = 13 Với c = 2, chỉ có thể: d = 1, b = 4, suy ra a = 13 d = 2, b = 2, suy ra a = 26
15. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 15 d = 4, b = 1, suy ra a = 52 Với c = 3, chỉ có thể: d = 1, b = 9, suy ra a = 13 d = 3, b = 3, suy ra a = 39 d = 9, b = 1, suy ra a = 117 Với c = 4, chỉ có thể: d = 1, b = 16, suy ra a = 13 d = 2, b = 8, suy ra a = 26 d = 4, b = 4, suy ra a = 52 d = 8, b = 2, suy ra a = 104 d = 16, b = 1, suy ra a = 208 Với 12 nghiệm của phương trình (1) chỉ có 4 trường hợp thoả mãn bài toán. Bài toán có 4 nghiệm. Ta tìm được 4 hình chữ nhật thoả mãn đề bài: (a = 13, b = 1); (a = 26, b = 2); (a = 39, b = 3); (a = 52, b = 4) Chuyên đề 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi tỉnh) I. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ * Các phương pháp 1. Luỹ thừa khử căn 2. Đặt ẩn phụ 3. Dùng bất đẳng thức 4. Xét khoảng II. ÁP DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP A. Phương pháp luỹ thừa khử căn 1. Giải các phương trình a) )1(2321  xx
16. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 16 Điều kiện: x 2 3 Với 2 3 x PT (1) 43522321 2  xxxx xxx 383522 2          3 8 )2(48964)352(4 22 x xxxx PT (2) 052282  xx       )(26 )(2 Kotmx tmx Vậy PT đã cho có nghiệm x=2 b) )1()1()1(3 22  xxxx ĐK: 1x Với 1x PT (1) 112)1(3 22  xxxxxx 12442 2  xxxx 1222  xxxx Do 1x nên 2 vế của PT này không âm vì vậy PT này 232324 48444 xxxxxxx  04895 234  xxxx 0)1()2( 22  xxx       01 02 2 xx x 2 x ™ c) 1222 33  xx (1) Giải: Pt (1)    1222 3 33  xx 1)22()2(.()22)(2(3222 333  xxxxxx 3 2 46231  xxx )462(27331 232  xxxxx 010715951 23  xxx 0)10752)(1( 2  xxx       010752 1 2 xx x          78326 78326 1 x x x B. Phương pháp đặt ẩn phụ
17. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 17 (2) Giải các phương trình: a) 3123  xx Giải: ĐK: 1x Đặt ax 3 2 ; bx 1 ( 0b ) Ta có hệ PT      3 323 ba ba Suy ra 06623  aaa 0)6)(1( 2  aa )/(31 mTxa  Vậy phương trình nghiệm 3x b. )1(552  xx ĐK: 5x Đặt : yx  5 ( )0y ta có hệ phương trình       5 5 2 2 xy yx 0)()( 22  yxyx       01yx yx +)       05 0 5 2 xx x xxyx          2 211 0 x x 2 211  x (Ko T/m) +) 01  yx 015  xx 51  xx )1(5  xx       (*)512 01 2 xxx x PT (*) 042  xx            2 171 2 171 x x (ko t/m) Vậy PT vô nghiệm c) 6 2 4 ).2(5)4)(2(     x x xxx ; ĐK: 0 2 4    x x Đặt )2)(4()2.( 2 4 2    xxaax x x ; Ta có PT: 0652  aa ;       6 1 a a +) 01861 2  xxa 0762  xx
18. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 18         23 )( 1 23 x tmx +) 036866 2  xxa 02862  xx        )(373 373 tmx x Vậy pt có 2 nghiệm 373;23 x C. áp dụng bất đẳng thức (3) Giải các phương trình a) 45224252642  xxxx (1) ĐK: 2 5 x Với Đk: 2 5 x PT (1)  4152352  xx Ta có: 4152352  xx Đẳng thức xẩy ra         2 5 0)152)(352( x xx  3 2 5  x Vậy nghiệm của PT đã cho là 3 2 5  x b) )1(271064 2  xxxx Giải ĐK 64  x Trên TXĐ )64)(11(64 22 xxxx   264  xx Lại có 22)5(2710 22  xxx xxxx  6427102 Đẳng thức xẩy ra 5 64 5 64           x x x xx Vậy PT (1) có nghiệm là x=5 c) Giải phương trình 211 22  xxxxxx Giải ĐK:       01 01 2 2 xx xx
19. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 19 áp dụng BĐT cô si cho các số không âm ta có            2 11 1).1( 2 11 1).1( 2 2 2 2 xx xx xx xx 111 22  xxxxx Ta có 122  xxx (Vì 0)1( 2 x ) 211 222  xxxxxx Đẳng thức xẩy ra 1 x ; Vậy pt có nghiệm là x=1 D. Xét khoảng (4) Giải các PT a) )1(353448 22  xxx Giải TXĐ: x PT(1) 343548 22  xxx 34 3548 13 22    x xx Thấy 1x là nghiệm của PT (1) +) 1335481 22  xxx 2 2 13 1 48 35 4 3 1 x x x            PT vô nghiệm +) 1 4 3  x 133548 22  xx 2 2 13 1 48 35 4 3 1 x x x            PT vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x=1 b) 1235 3 46  xx (1) Giải Ta có: 1x thì 1; 64 xx 1x thì 1; 64 xx +) Xét 1x 123;45 46  xx 3 46 235  xx PT (1) vô nghiệm Xet 1x týừng tự ta suy ra phýừng trỡnh vụ nghiệm Thấy x= 1 hoặc x= -1 là nghiệm của PT (1) Bài tập:
20. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 20 Giải các PT (1) a) )(15)2(2 32 Bxx  (b) )(917.17 22 Bxxxx  (2) xxx  3.3 (A) (3) 83124 22  xxx (D) (4) )(13626 2 Cxxxx  (5) )(231034 Axx  (6) 08645.27 56105  xx (C) III. Giải hệ phương trình * Các phương pháp: 1. Phương pháp thế 2. Công thức trừ, nhân, chia các vế 3. Đặt ẩn phụ 4. Dùng bất đẳng thức. IV. áp dụng các phương pháp. A. Phương pháp thế. 1. Giải các hệ pgương trình a)      2947 113 yx yx Giải Hệ đã cho tương đương với      29)311(47 311 xx xy       155 311 x xy      2 3 y x Vậy hệ đã cho có nghiệm là: (x;y) = (3;2) b)       027624 065 2 22 yxyx xyx Giải Hệ đã cho tương đương với
21. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 21      027624 0)3)(2( 2 yxyx yxyx                   027642 3 027620 2 2 2 yy yx yy yx                                                        14 1271 14 1271 3 20 5493 20 3549 2 y y yx y y yx            20 5493 10 5493 y x Hoặc            20 5493 10 5493 y x            14 1271 14 12733 y x Hoặc            14 1271 14 12733 y x c)       2004200320032003 222 3zyx zxyzxyzyx Giải:       )2(3 )1( 2004200320032003 222 zyx zxyzxyzyx Ta có: PT (1) 0222222 222  zxyzxyzyx 0)()()( 222  xzzyyx zyx  Thế vào (2) ta có: 20042003 33 x 20032003 3x 3x Do đó x= y=z = 3 Vậy nghiệm của hệ đã cho là: (x;y;z) = (3;3;3) B. Phương pháp cộng, trừ, nhân, chia các vế (2) Giải các hệ phương trình a)       226 2235 yx yx
22. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 22 Giải: Hệ đã cho tương đương với:       226 4265 yx yx        2235 666 yx x 1 6 1 2 x y        b)       12 12 3 3 xy yx Giải: Hệ đã cho tương đương với       0)(2 12 33 3 yxyx yx        0)2)(( 12 22 3 yxyxyx yx       yx yx 123 (do 0222  yxyx )       yx xx 0123       yx xxx 0)1)(1( 2                            yx x x x 2 51 2 51 1       1 1 y x hoặc            2 51 2 51 y x hoặc            2 51 2 51 y x c)         9 4 1( xzxz zyzy yxyx trong đó 0,, zyx Giải Hệ đã cho tương đương với         10)1)(1( 5)1)(1( 2)1)(1( xz zy yx               10)1)(1( 5)1)(1( 2)1)(1( 100)1)(1)(1( 2 xz zy yx zyx             10)1)(1( 5)1)(1( 2)1)(1( 10)1)(1)(1( xz zy yx zyx (Do x,y,z>0)
23. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 23          11 21 51 y x z          4 0 1 z y x Vậy hệ đã cho có nghiệm là (x;y;z)=(1;0;4) C. Phương pháp đặt ẩn phụ (3). Giải các hệ phương trình a)       6 5 2233 22 xyyxyx yyxx Đặt: x-y=a; x+y =b Hệ đã cho trở thành      )2(6 )1(5 2 ba aab Từ PT (2) ta suy ra 0a Do đó: 2 6 a b  Thế vào (1) ta được: 5 6  a a 0652  aa (Vì 0a ) 0)3)(2(  aa       3 2 a a +) 2 3 2  ba Hay                 4 1 4 7 2 2 3 y x yx yx +) 3 2 3  ba Hay                 6 7 6 11 3 3 2 y x yx yx Tóm lại hệ phương trình đã cho có nghiệm là: (x;y) =               6 7 ; 6 11 ; 4 1 ; 4 7 b)      5 173333 yxyx yyxx Giải: Đặt x+y = a; xy=b Hệ đã cho trở thành      5 17333 ba abba       065 5 2 bb ba       0)3)(2( 5 bb ba
24. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 24       2 3 b a Hoặc      3 2 b a +)      2 3 b a Ta có hệ phương trình      2 3 xy yx       023 3 2 yy yx       0)2)(1( 3 yy yx       1 2 y x Hoặc      2 1 y x +)      3 2 b a Ta có hệ phương trình      3 2 xy yx       032 2 2 yy yx (Vô nghiệm) Hệ này vô nghiệm Vậy nghiệm của hệ đã cho là: (x;y) = (1;2); (2;1) c)         78)( 2156 22 224 yxxy yxyx Giải Hệ đã cho tương đương với       78 21544 33 4334 xyyx yxyyxx        16770215215 167707831231278 33 4334 xyyx yxyyxx        78 )1(078979778 33 4334 xyyx yxyyxx Đặt y x t  PT (1) trở thành 078979778 34  ttt 0)131213)(32)(23( 2  tttt            2 3 3 2 t t +) yxt 3 2 3 2     Thế vào (2) ta được 78 27 26 4 y 814  y 3 y Hoặc 3y Suy ra:      3 2 y x Hoặc      3 2 y x
25. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 25 +) yxt 2 3 2 3     Thế vào (2) ta được 78 8 39 4 y 164  y 2 y Hoặc 2y Suy ra:      2 3 y x Hoặc      2 3 y x Tóm lại hệ đã cho có nghiệm là: (x;y) = (-2;3); (2;-3); (-3;2) ; (3;-2) D. áp dụng bất đẳng thức (4) Giải các hệ phương trình a)      xyzzyx zyx 444 1 Giải: Nhận xét: Từ BĐT 0)()()( 222  accbba Ta suy ra: (*)222 cabcabcba  áp dụng liên tiếp BĐT (*) ta được 222222444 xzzyyxzyx  )( zyxxyz   xyzzyx  444 Đẳng thức xẩy ra khi: 3 1  zyx Vậy hệ đã cho có nghiệm là:        3 1 ; 3 1 ; 3 1 );;( zyx b)       yxx yxx 62432 332 4 24 Giải: ĐK: 320  x Hệ đã cho tương đương với       332 216)32()32( 24 244 yxx yyxxxx Theo bất đẳng thức BunhiaCốp xki ta có 64)32)(11()32( 222  xxxx 832  xx     256)32(232 24 44  xxxx
26. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 26  43244  xx Suy ra 12)32()32( 44  xxxx Mặt khác   12123216 22  yyy Đẳng thức xẩy ra khi x= 16 và y=3 (t/m) Vậy hệ đã có nghiệm là (x;y) = (16;3) Chuyªn ®Ò 4: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A - CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1) Phương pháp đổi tương đương Để chứng minh: A B Ta biến đổi 1 1 n nA B A B A B     (đây là bất đẳng thức đúng) Hoặc từ bất đẳng thức đứng n nA B , ta biến đổi 1 1 1 1n n n nA B A B A B A B        Ví dụ 1.1     22 2 2 2 2 : ) 2 (1) b) a (1) CMR a a b a b b c ab bc ca         Giải         22 2 2 2 2 ) 1 2 0 2 0 0 (2) a a b a b a b ab a b             Do bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) được chứng minh. b)                   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 2 2 0 2 2 2 0 0 (2) b a b c ab bc ca a ab b b bc c c ca a a b b c c a                         Bất đẳng thức (2) đúng suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 1.2 CMR           4 4 3 3 4 4 4 3 3 3 ) 2 (1) ) 3 (1) a a b a b a b b a b c a b c a b c            Giải
27. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 27                      4 4 4 3 3 4 4 3 3 3 3 3 23 3 2 2 ) 1 2 2 0 0 0 0 0 2 a a b a a b ab b a a b ab b a a b b a b a b a b a b a ab b                           Do bất đẳng thức (2) đúng suy ra điều phải chứng minh.                       4 4 4 4 3 3 4 3 3 3 3 4 4 4 3 3 4 4 3 3 4 4 3 3 2 2 22 2 2 2 2 2 ) 1 3 3 3 0 0 0 b a b c a a b a c b ab b c ac bc c a b a b ab b c b c bc a c a c ac a b a ab b b c b bc c a c a ac c                                        Ví dụ 1.3              22 2 2 2 2 22 2 2 2 : a) ax 1 b) 1 CMR a b x b by a b c d a c b d            Giải     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 2 2 0 0 a a x a y b x b y a x abxy b y a y abxy b y ay bx                           2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 2 (2) b a b c d a b c d a c b d a b c d ac bd                 Nếu ac + bd < 0 thì (2) đúng Nếu 0ac bd  thì          22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 a b c d ac bd a c a d b c b d a c abcd b d ad bc dpcm                 Ví dụ 1.4 Cho a, b, c > 0, chứng minh rằng:   2 2 2 1 a b c a b c b c a     Giải
28. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 28               3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 2 2 0 0 a c b a c b a bc b ac c ab ac a ab b ab b bc c bc c ca a ac a b ab b c bc c a dpcm                          Ví dụ 1.5 Cho a, b, c > 0. CMR:      2 2 2 3a b c a b a c b c b a c abc         (1) Giải                                     2 2 2 2 2 2 2 2 2 / , 0 1 3 0 0 0 0 0 G s a b c abc a b c a b a c b c b a c a a ab ac bc b b bc ba ac c c ac bc ab a a b a c b b c b a c c a c b a b a ac b bc c a c b c a b a b c c a c b c                                                      Suy ra ĐPCM. 2) Phương pháp biến đổi đồng nhất Để chứng minh BĐT: A  B. Ta biến đổi biểu thức A – B thành tổng các biểu thức có giá trị không âm. Ví dụ 2.1 Chứng minh rằng:     2 2 2 2 2 2 2 ) 1 ) 4 4 4 4 8 1 a a b c d ab ac ad b a b c ab ac bc            Giải 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) Ta có = 4 4 4 4 0 2 2 2 4 a a b c d ab ac ad a a a a ab b ac c ad d a a a a b c d                                                                    2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) Ta có: 4 4 4 4 8 4 4 4 4 8 2 4 4 2 2 2 0 b a b c ab ac bc a ab b c ac bc a b c c a b a b c                    
29. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 29 Ví dụ 2.2 Chứng minh rằng: a)     33 3 4 a b a b   với a, b > 0 b)         3 3 33 3 3 8 a b c a b b c c a        với a, b, c > 0 c)   3 3 3 3 24a b c a b c abc      với a, b, c 0 Giải              3 23 3 2 2 2 ) Ta có:4 4 3 0 a a b a b a b a ab b a b a b a b                                              3 3 33 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3 2 2 2 ) Ta có:8 4 4 4 3 4 3 0 b a b c a b b c c a a b a b a c c a b c b c a b a b a c a c b c b c                                                              3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 2 2 3 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) Ta có: 24 3 3 24 3 3 3 6 3 3 24 3 2 3 2 3 2 3 3 3 0 c a b c a b c abc a b a b c a b c c a b c abc a a b ab b a c abc ac bc a b abc a b c b abc a c b c abc b a c a abc b a c c a b a b c                                             Ví dụ 2.3 Với a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 1 1 4 ) 1 1 1 9 ) 3 ) 2 a a b a b b a b c a b c a b c c b c c a a b               Giải             2 2 2 2 2 41 1 4 ) Ta có: 0 1 1 1 )Ta có: 9 2 2 2 0 a b ab a b a a b a b a b a b a b b c a c b a b c a b c b a c b c a a b b c a c ab bc ac                                                       
30. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 30                                       2 2 2 3 1 1 1 )Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 a b c a b c c b c c a a b b c c a a b a b a c b a b c c a c b b c c a a b a b b c c a b c c a a c a b a b b c a b b c a c a c b c a c a b a b b                                                                                           0 c                    Cách 2 3 1 1 Ta có: 1 3 2 2 2 1 6 2 1 2 2 2 0 2 a b c a b c b c c a a b b c c a a b a b a c a b b c a c b c b c a c a b a b b c b c a c a c a b b c a b a c b c a b a c                                                                                            Ví dụ 2.4 ) Cho a, b 0. CMR: a + b 2a ab  (Bất đẳng thức Cô – si) 3 ) Cho a, b, c 0. CMR: a + b + c 3b abc  (Bất đẳng thức Cô – si) ) Cho a b c và .c x y z CMR        3 axa b c x y z by cz       (Bất đẳng thức Trê bư sếp) Giải a) Ta có:   2 2 0a b ab a b     b)         2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 31 3 0 2 a b c abc a b c a b c b a c                c)               3 ax 0 a b c x y z by cz y x a b z x b c x z c a                  Ví dụ 2.5 Cho a, b, c > 0. Chứng minh:  2 2 2 ) ) 3 bc ac ab a a b c a b c bc ac ab b a b c a b c           Giải
31. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 31                 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ) 0 2 2 2 ) 3 1 0 2 a b a c b cbc ac ab a a b c c b a a b c ab ac bc bc ac ab b a b c a b c c a b a b c b a c a b c b a c                                   Ví dụ 2.6 Chứng minh rằng 2 2 1 1 2 ) 1 1 1 a a b ab      nếu ab  0 2 2 1 1 2 ) 1 1 1 b a b ab      nếu a2 + b2 < 2 2 2 1 1 2 ) 1 1 1 c a b ab      nếu -1 < a, b < 1     2 2 1 1 1 ) 11 1 d aba b     nếu a, b > 0 Giải         2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 ) = + 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 a a b ab a ab b ab a b ab a b ab                                    22 2 2 2 1 0 1 ) 1 0 1 02 1 1 1 ab a b aba b b ab ab a b ab                       2 2 2 2 2 2 2 22 2 1 1 2 1 1 1 1 ) = + 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 c a b ab a ab b ab a b a b a b ab                                          2 2 2 2 2 2 11 1 1 ) = 0 11 1 1 1 1 ab a b ab d aba b a b ab            3) Phương pháp sử dung tính chất của bất đẳng thức Cơ sở của phương pháp này là các tính chất của bất đẳng thức và một số bất đẳng thức cơ bản như:
32. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 32   2 1 1 ) , ; ) và a.b > 0 0 ) ; ) 0 0 1 1 4 ) , 0 a a b b c a c b a b a b a b c ac bd d a b c d e a b a b a b                     Ví dụ 3.1 Cho a + b > 1 . Chứng minh: 4 4 1 8 a b  Giải       2 2 2 2 22 2 4 4 1 0 2 2 1 2 8 a b a b a b a b a b             Ví dụ 3.2 Với a, b, c > 0. CMR 3 3 3 3 3 3 2 2 2 ) ) a b c a ab ac bc b c a a b c b a b c b c a           Giải                 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 3 2 2 2 ) Ta có: , 0 ) Ta có: 3 3 , 0 3 2 3 2 3 2 x a x xy y x y y a b c a ab b b bc c c ac a ab ac bc b c a x b x y x y y a b c a b b c c a a b c b c a                                   Ví dụ 3.3 Cho a, b, c > 0. CMR: 2 2 2 ) ) 2 bc ac ab a a b c a b c a b c a b c b b c c a a b             
33. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 33 Giải a) dễ dàng chứng minh 2 bc ac c a b   đpcm b) dễ dàng chứng minh 2 4 a b c a b c      đpcm Ví dụ 3.4 1 1 1 1 1 1 ) cho x, y, z >0. t/m: 4. : 1 2 2 2 a CMR x y z x y z x y z x y z             b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh 1 1 1 1 1 1 a b c a c b b c a a b c            c) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: abc = ab + bc + ca. Chứng minh: 1 1 1 3 2 3 2 3 2 3 16a b c b c a c a b          Giải     1 1 4 ) Ta có: , 0 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 4 16 a a b a b a b x y z x y x zx x y x z x y z                             Tương tự: 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 ; 2 16 2 16x y z x y z x y z x y z                     1 1 1 4 1 1 1 1 2 2 2 16x y z x y z x y z x y z                  1 1 4 2 ) 2 1 1 2 ; 1 1 2 1 1 1 1 1 1 b a b c a b c a a a b c b c a b a b c b c a c a b c a b c b c a a b c                               
34. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 34       1 1 1 1 1 1 1 3 ) 2 3 2 4 2 16 32 32 1 3 1 1 1 1 3 1 tt: ; 3 2 32 16 32 2 3 32 32 16 1 1 1 6 1 1 1 3 2 3 3 2 2 3 32 16 c a b c a c b c a c b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c                                              Ví dụ 3.5 Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 2 2 2 ) 2 ) 1 1 1 a b c a a b b c c a a b c a b c b b c c a a b a b c                  Giải a) áp dụng BĐT: 0, 0. ta có: y y t x y t x x t       Ta có: ; ; 2 a a c b b a c c b a b a b c b c b c a c a a b c a b c a b b c c a                       b) 2 2 2 2 2 1 Ta có: 1 2 1 2 3 1 1 1 2 3 mà 2 a a a a a b c a b c a b c b c c a a b                   suy ra điều phải chứng minh. 4)Phương pháp sử dung bất đẳng thức Co-si 1 2 1 2 1 2*) Cho , ,..., 0, ta có: ... . ...n n n na a a a a a n a a a     Dấu “=” xảy ra khi 1 2 ... 0na a a    Ví dụ 4.1 Cho a, b > 0 thỏa mãn ab = 1. CMR:   2 2 4 1 8a b a b a b       Giải Áp dụng BĐT Cosi ta có
35. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 35          2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 4 4 4 1 2 1 4 2 4 2 2 8 a b ab a b ab a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b                                        Ví dụ 4.2 Chứng minh rằng:   2 ) 2 4 a b a b a a b b a      với a, b 0 ) 2 a b c b b c c a a b       với a,b,c > 0 Giải     2 2 1 1 a) Ta có: 2 4 2 2 2 1 1 1 mà , 4 4 2 2 4 a b a b a b a b ab a b a a b b a b a b a b a b a b b a                                          1 ) 1 1 2 tt: ; b c b c a b c b a a a a a b c a b c b b c c a c a b c a b a b c                          Cộng vế với vế ta được: 2 a b c b c c a a b       Dấu “=” xảy ra khi 0 a b c b a c a b c c a b             vô lí. Vậy dấu “=” không xảy ra. Ví dụ 4.3 Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
36. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 36 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 1 1 1 ) 3; ( 1) 2 a b c a b c a b c c a a b abc a b c b a b c a b b c c a abc                     Giải 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 ) Ta có: ; ; 2 2 2 2 2 2 2 a a b b c c a b c bc a c ac a b ab a b c a b c a b c b c a c a b bc ac ab abc                    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ) Ta có: 3 3 2 b a b c a b b c c a a b b c c a c a b a b c a b b c c a abc                             Ví dụ 4.4 Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b abc b c abc c a abc abc          Giải     2 2 3 3 3 3 Ta có: 2 0a b ab a b ab a b abc abc c a b abc ab a b abc a b c                 3 3 3 3 tt: ; abc a abc b b c abc a b c c a abc a b c           Cộng vế với vế suy ra điều phải chứng minh Ví dụ 4.5 Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a2 +b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng 3 (1) ab bc ca c a b    Gải       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 mà : a b b c c a a b c a b c c a b a b b c c a ab bc ab ac bc ca a b c c a b c a c b a b                     Suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 4.6 Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh
37. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 37          3 3 3 5 5 5 5 5 5 3 ) 1 1 1 1 1 1 4 ) 1 x y z a y z z x x y xy yz zx b x xy y y yz z z zx x                   Giải a) Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:    3 1 1 3 1 1 8 8 4 x y z x y z        Tương tự suy ra VT 333 3 3 2 4 2 4 4 xyzx y z             2 2 5 5 2 2 5 5 2 2 ) Ta có: 2 0 1 1 b x y xy x y x y x y xy xy z x xy y xy x y x y xy x y x y z                   5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 tt: ; 1 yz x zx y y yz z x y z z xz x x y z xy yz zx x xy y y yz z z xz x                     Ví dụ 4.7 Cho x, y, z > 0. Chứng minh 3 3 3 x y z x y z yz zx xy      Giải Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: 3 3 3 3 3 3 3 ; 3 ; 3 x y z z y x z x y x y z yz zx xy x y z x y z yz zx xy                5)Phương pháp sử dung bất đẳng thức Bunhiacopski *)      22 2 2 2 a b x y xa by    dấu “=” xảy ra khi a kx b ky    *)      22 2 2 2 2 2 a b c x y z xa by cz       dấu “=” xảy ra khi a kx b ky c kz     
38. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 38 Tổng quát:      22 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2... ... ...n n n xa a a x x x a x a x a x          dấu “=” xảy ra khi ai = kxi Ví dụ 5.1 Cho a, b > 0. Chứng minh   22 2 1 1 4 ) ) a a b a b m nn m b a b a b        Giải a) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:   2 1 1 1 1 . . 4 1 1 4 a b a b a b a b a b a b                          22 2 2 22 2 ) . . n m n m b a b a b n m a b a b n mn m a b a b                      Tổng quát: Cho 0, 1.ib i n  thì   22 2 2 1 21 2 1 2 1 2 ... ... ... nn n n a a aa a a b b b b b b           (1)  Với 0i ia c  với 1.i n thì   2 1 21 2 1 2 1 1 2 2 ... ... ... nn n n n a a aa a a c c c a c a c a c           (2) Thật vậy:       2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 22 2 2 1 21 2 1 2 1 2 ... ... . . ... . ... ... ... ... n n n n n n n nn n n a a a a a a b b b b b b a a a b b b b b b a a aa a a b b b b b b                                    đặt aici = bi > 0 thay vào (1) được (2) Ví dụ 5.2 Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh
39. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 39 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 ) . ) 2 ) ) 2 a b c a b c a b c a a b c b b c a b c c a a b a b c a b c a b c c a b c d b c a b c c a a b                           Giải         22 2 2 22 2 2 22 2 23 3 3 4 4 4 2 2 2 ) Ta có: ) 2 2 ) a b ca b c a a b c b c a a b c a b ca b c a b c b b c c a a b a b c a b ca b c a b c c a b c b c a ab bc ca ab bc ca                                     3 3 3 4 4 4 2 2 2 ) 2 a b c a b c a b c d b c a c a b ab ac ab bc ac bc               Ví dụ 5.3 Cho a, b, c > 0. Chứng minh: 25 16 8 a b c b c c a a b       Giải         2 Ta có: 25 1 16 1 1 42 5 4 125 16 1 42 8 2 a b c VT b c c a a b a b c a b c b c c a a b a b c                                         Dấu “=” xảy ra khi 0 5 4 1 b c a c a b a        vô lí suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 5.4 Cho x, y, z > 0. Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 x y z x y z y z x y z x      Giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopki ta có 22 2 2 2 2 2 1 1 3 3 x y z x y z x y z x y z x y z y z x y z x y z x y z x y z x                            B – CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Cho biểu thức f(x,y…) Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x,y…) kí hiệu maxf(x,y…) = M, nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:
40. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 40 - Với mọi x,y… để f(x,y…) xá định thì f(x,y…)  M - Tồn tại x0, y0… sao cho f(x0,y0…) = M Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x,y…) kí hiệu minf(x,y…) = m, nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: - Với mọi x,y… để f(x,y…) xá định thì f(x,y…)  m - Tồn tại x0, y0… sao cho f(x0,y0…) = m I) TÌM GTLN, GTNN CỦA ĐA THỨC BẬC HAI 1) Đa thức bậc hai một biến Ví dụ 1.1 a) Tìm GTNN của A = 3x2 – 4x + 1 b) Tìm GTLN của B = - 5x2 + 6x – 2 c) Tìm GTNN của C = (x – 2)2 + (x – 3)2 d) Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c Tìm GTNN của P nếu a > 0 Tìm GTNN của P nếu a > 0 Giải a) A = 2 2 4 4 1 2 1 1 3 3 3 9 3 3 3 3 x x x                    . Vậy minA= 1 2 khi 3 3 x  b) B = 2 2 6 9 1 3 1 1 5 5 5 25 5 5 5 5 x x x                      . Vậy maxB = 1 3 khi 5 5 x  c) C = 2 2 2 2 25 1 5 1 1 4 4 6 9 2 5 2 4 2 2 2 2 x x x x x x x                         . Vậy maxC = 1 5 khi 2 2 x  d) Ta có: P = 22 2 2 2 4 4 2 4 b b b b b a x x c a a c a a a a a                   Nếu a > 0 thì P  2 4 b c a  . Vậy minP = 2 4 b c a  khi 2 b x a   Nếu a < 0 thì P  2 4 b c a  . Vậy maxP = 2 4 b c a  khi 2 b x a   Ví dụ 1.2 a) Tìm GTNN của M = x2 – 3x + 1 với 2x  b) Tìm GTLN của N = x2 – 5x + 1 với 3 8x   Giải a) M =   1 2 1 1x x     . Vậy minM = -1 khi x = 2
41. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 41 b) N =   3 8 25 25x x    . Vậy maxN = 25 khi x = -3, x = 8 2. Đa thức bậc hai hai biến a) Đa thức bậc hai hai biến có điều kiện Ví dụ 2a.1 a) Cho x + y = 1. Tìm GTLN của P = 3xy – 4 b) Cho x – 2y = 2. Tìm GTNN của Q = x2 + 2y2 – x + 3y Giải a)   2 1 13 13 1 1 3 1 4 3 2 4 4 x y x y P y y y                    Vậy maxP = 13 1 khi 4 2 x   2 2 2 2 b) 2 2 2 2 4 8 4 2 2 2 3 3 9 11 11 6 9 2 6 2 16 8 8 x y x y Q y y y y y y y y y                            Vậy minQ = 11 3 khi 8 4 x   Ví dụ 2a.2 Tìm GTLN của của P = xy vói x, y thỏa mãn a) 6, 4x y y   b) , 2 S x y S y a    a)     6 8 2 4 8P y y y y       . Vậy maxP = 8 khi x = 2, y = 4 b)         Q S y y S a a y a y a S S a a          . Vậy maxQ = (S – a)a khi x = S – a, y = a b) Đa thức bậc hai hai biến Cho đa thức: P(x,y) = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + h (1), với a,b,c  0 Ta thường đưa P(x, y) về dạng P(x, y) = mF2 (x, y) + nG2 (y) + k (2) P(x, y) = mH2 (x, y) + nG2 (x) + k (3) Trong đó G(y), H(x) là hai biểu thức bậc nhất một ẩn, H(x, y) là biểu thức bậc nhất hai ẩn. Chẳng hạn nếu ta biến đổi (1) về (2) với a, (4ac – b2 )  0
42. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 42           2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 4 ( , ) 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 2 2 4 22 2 4 4 4 4 aP x y a x abxy acy adx aey ah a x b y d abxy adx bdy ac b ae bd y ah d ae bdae bd ax by d ac b y ahd ac b ac b                                 (Tương tự nhân hai vế của (1) với 4c để chuyển về (3)) Ví dụ 3.1 a) Tìm GTNN của P = x2 + y2 + xy + x + y b) Tìm GTLN của Q = -5x2 – 2xy – 2y2 + 14x + 10y – 1 Giải   2 2 2 2 2 2 2 a) 4 4 4 4 4 4 4 1 4 4 2 3 2 1 1 4 4 = 2 1 3 3 3 3 P x y xy x y x y xy x y y y x y y                           Vậy minP = 4 1 khi 3 3 x y            2 22 2 2 2 b) 5 25 10 10 70 50 5 = 5 7 3 6 80 1 9 5 7 2 16 16 5 5 Q x xy y x y x y y Q x y y                      Vậy maxQ = 16 khi x = 1, y = 2 Ví dụ 3.2 Tìm cặp số (x, y) với y nhỏ nhất thỏa mãn: x2 + 5y2 + 2y – 4xy – 3 = 0 (*) Giải          2 2 2 (*) 2 1 4 1 4 3 1 0 3 1 x y y y y y y                 Vậy miny = -3 khi x = -6. Vậy ccawpj số (x, y) = (-6; -3) Ví dụ 3.3 Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức x2 + 2xy + 7(x + y) + 7y2 + 10 = 0 (**). Hãy tìm GTLN, GTNN của S = x + y + 1. Giải            2 2 2 22 ** 4 8 28 28 4 40 0 2 2 7 4 9 2 2 7 9 5 0 5 2 0 vì 2 5 2 0 4 1 x xy x y y x y y x y x y x y x y x y x y x y S                                        Vậy minS = -4 khi x = -5, y = 0. maxS = -1 khi x = -2, y = 0.
43. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 43 II. PHƯƠNG PHÁP MIỀN GIÁ TRỊ Ví dụ 1 Tìm GTLN, GTNN của A = 2 2 4 2 3 1 x x x    Giải Biểu thức A nhận giá trị a khi phương trình sau đây có a nghiệm a = 2 2 4 2 3 1 x x x       2 1 4 2 3 0 1a x x a      Nếu a = 1 thì phương trình (1) có nghiệm x = 2 4  Nếu a  1 thì phương trình (1) có nghiệm khi –a2 + 4a +5 0 1 5.a     Vậy minA = -1 khi 2x   maxA = 5 khi 2 2 x  Ví dụ 2 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức B = 2 2 2 1 7 x y x y     Giải Biểu thức B nhận giá trị b khi phương trình sau có nghiệm b = 2 2 2 1 7 x y x y      2 2 2 7 1 0 2bx x by y b       Trong đó x là ẩn, y là tham số và b là tham số có điều kiện Nếu b = 0 2 1 0x y    Nếu b  để (2) có nghiệm x khi 1 – 4b(by2 – 2y + 7b -1) 0 (3) Coi (3) là bất phương trình ẩn y. BPT này xảy ra với mọi giá trị của y khi 16b2 + 4b2 (-28b2 + 4b + 1) 0 2 5 1 28 4 5 0 14 2 b b b         Vậy minB = 5 7 14 khi x = - , 14 5 5 y   maxB = 1 khi x = 1, y = 2 2 III. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
44. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 44 1) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si Ví dụ 1.1 Tìm GTLN, GTNN của A = 3 5 7 3x x   với 5 7 3 3 x  Giải      2 3 5 7 3 2 3 5 7 3 2 2 3 5 7 3A x x x x x x           Vậy A2 2 2.A   Vậy minA = 5 7 2 khi , 3 3 x y  2 4 2 max 2 khi 2A A A x      (Biểu thức được cho dưới dạng tổng hai căn thức. Hai biểu thức lấy căn có tổng là hằng số) Ví dụ 1.2 Cho x, y > 0 thỏa mãn x + y 6 . Hãy tìm GTNN của P = 6 8 3 2x y x y    Giải Ta có:   3 3 6 8 3 3 6 8 .6 2 . 2 . 9 6 4 19 2 2 2 2 2 2 x y x y P x y x y x y              Vậy minP = 19 khi x = 2, y = 4. Ví dụ 1.3 Tìm GTLN của biểu thức M = 2 3x y y x xy    với 3; 2x y  Giải To có: 23 yx M x y    Theo bất đẳng thức Cô – si ta có:     23 3 2 3 3 ; 2 2 2 6 2 4 yx x y x y x y          3 2 3 2 max khi 6; 4 6 4 6 4 M M x y        Ví dụ 1.4 Cho x, y, z > 0 thỏa mãn:   1 1 1 2 1 1 1 1x y z       . Tìm TGLN của P = xyz Giải
45. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 45      1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 y z z x y z y z y z                        Tương tự:       1 1 2 ; 2 1 1 1 1 1 1 xz xy y x z z x y         Nhân vế với vế của ba BĐT trên 1 1 1 max khi 8 8 2 P xyz P x y z        Ví dụ 1.5 Cho 0 < x < 1, Tìm GTNN của Q = 3 4 1 x x   Giải             2 2 2 4 1 4 13 3 Ta có: 7 2 . 7 2 3 1 1 4 13 minP = 2 3 khi 3 1 1 x xx x P x x x x xx x x x                    (Đặt P =  4 1-3 1- b xax c x x   đồng nhất hệ số suy ra a = b = 1; c = 7) Ví dụ 1.6 Cho x, y, z, t > 0. Tìm GTNN của biểu thức. M x t t y y z z x t y y z z x x t             Giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 1 1 4 a b a b    với a, b > 0.         Ta có: 4 4 1 1 1 1 4 1 1 1 1 = 4 4 4 x t t y y z z x M M t y y z z x x t x y t z y x z t x y z t t y y z z x x t t y z x y z x t x y z t x y z t x y z t                                                                                 4 0 minM = 0 khi x = y và z t    2. Sử dụng BĐT Bunhiacopski (BCS) Ví dụ 2.1 Cho x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx =1. Tìm GTNN của biểu thức A = x4 + y4 + z4 Giải
46. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 46 Áp dụng BĐT BCS ta có             22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 3 minP = khi x = y = z = 3 3 3 xy yz zx x y z x y z x y z x y z x y z P                        Ví dụ 2.2 Tìm GTNN của P = 4 9 16a b c b c a c a b a b c         trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Giải         2 1 1 1 29 4 9 16 2 2 2 2 4 9 16 29 = 2 2 2 3 4 29 . 2 2 a b c P b c a c a b a b c a b c b c a c a b a b c a b c b c a c a b a b c                                                           81 29 81 29 . 26 2 2 2 2 minP = 26 khi 7 6 5 a b c a b c a b c             Ví dụ 2.3 Tìm giá trị nhỏ nhất của Q = a 1+b-a + b 1+c-b + c 1+a-c trong đó a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1 Giải             2 2 2 Ta có: 2 2 2 2 2 2 3 1 4 1 minQ = 1 khi 3 a b c a b ca b c Q b c c a a b a b c b c a c a b ab bc ca b ac a b c                           Ví dụ 2.4 Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm GTNN của 2 2 2 1 1 1 1 P a b c ab bc ca       Giải
47. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 47 A M I OC E F N B M'         2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 1 9 1 4 7 2 1 2 9 21 9 30 1 minP = 30 khi a = b = c = 3 ab bc ca ab bc ca P a b c ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca ab bc caa b c a b c                                      Chuyên đề 5: TỨ GIÁC NỘI TIẾP I -CÁC DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TỨ GIÁC NỘI TIẾP 1- Tổng hai góc đối bằng 1800 2- Hai góc liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau. 3- Nếu hai cạnh đối diện cuả giác ABCD cắt nhau tại M thỏa mãn: MA.MB =MC.MD ; hoặc hai đường chéo cắt nhau tại O thỏa mãn OA.OC = OB.OD thì ABCD là tứ giác nội tiếp 4- Sử dụng định lý Ptôlêmê II- CÁC VÍ DỤ Ví dụ1: Cho đường tròn tâm O và một điểm C ở ngoài đường tròn đó. Từ C kẻ hai tiếp tuyến CE ; CF ( E và F là các tiếp điểm) và cát tuyến CMN ( N nằm giữa C và M ) tới đường tròn.Đường thẳng CO cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Gọi I là giao điểm của AB với EF. Chứng minh rằng: a, Bốn điểm O, I, M, N cùng thuộc một đường tròn b,  AIM =  BIN
48. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 48 Giải a, Do CE là tiếp tuyến của (O) nên:  CEM =  CNE (Cùng chắn  ME ) CEM ~ CNE . CE CM = CN CE CM.CN =CE2 Mặt Khác , do CE; CF là các tiếp tuyến của (O) nên AB EF tại I vì vậy trong tam giác vuông CEO đường cao EI ta có: CE2 = CI.CO Từ (1) và (2) suy ra CM.CN = CI.CO => CM CI = CO CN CMI ~ CON  CIM =  CNO Tứ giác OIMN nội tiếp  b Kéo dài NI cắt đường tròn tại M’. Do tứ giác IONM nội tiếp nên :  IOM =  INM = 1 2 sđ  NM’ =>  AM =  AM’ . Do đó:  AIM =  AIM’ =  BIN  Ví Dụ 2 Cho tam giác ABC có  A = 450 ; BC =a nội tiếp trong đường tròn tâm O; các đường cao BB’ và CC’. Gọi O’ là điểm đối xứng của O qua đường thẳng B’C’. a. Chứng minh rằng A; B’; C’; O’ cùng thuộc một đường tròn b. Tính B’C’ theo a.
49. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 49 O O' A B C C' B' Lời giải a. Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên  BOC = 2  BAC =900 Từ đó suy ra các điểm O; B’; C’ Cùng thuộc đường tròn đường kính BC.Xét tứ giác nội tiếp CC’OB’ có :  C’OB’ = 1800 -  C’CB’ = 1800 - ( 900 -  A ) =1350 . Mà O’ đối xứng với O qua B’C’ nên:  C’O’B’ =  C’OB’ = 1350 =1800 -  A Hay tứ giác AC’O’B’ nội tiếp. b. Do  A = 450 nên BB’A vuông cân tại B’ Vì vậy B’ nằm trên đường trung trực của đoạn AB hay B’O  AB C’OB’C là hình thang cân nên B’C’ =OC Mặt khác BOC vuông cân nên: B’C’ =OC = 2 2 2 2 aBC  III bµi tËp ¸p dông Bài tập 1: Cho tứ giác ABCD nội tiế đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc với AD. Chứng minh: a/ Tứ giác EBEF, tứ giác DCEF nội tiếp. b/ CA là phân giác của BCF c/ Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp. Bài tập 2: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại E. Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F. Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M. Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh: a/ CEFD là tứ giác nội tiếp b/ Tia FA là phân giác của góc BFM c/ BE.DN = EN.BD.
50. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 50 Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F, G. Chứng minh: a/ Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD b/ Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được một đường tròn c/ AC song song với FG d/ Các đường thẳng AC, DE, BF đồng quy. Bài tập 4: Cho tam giác ABC có 0ˆ 90A  ; AB > AC, và một điểm M nằm trên đoạn AC ( M không trùng với A và C ). Gọi N và D lần lượt là giao điểm thứ hai của BC và MB với đường tròn đường kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đường tròn đường kính MC; T là giao điểm của MN và AB. Chứng minh: a/ Bốn điểm A, M, N, B cùng thuộc một đường tròn b/ CM là phân giác của góc BCS. c/ TA TC TD TB  Bài tập 5: Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A dựng hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn ( M, N là các tiếp điểm ) và một cact tuyến bất kỳ cắt đường tròn tại P, Q. Gọi L là trung điểm của PQ. a/ Chứng minh 5 điểm: O, L, M, A, N cùng thuộc một đường tròn b/ Chứng minh LA là phân giác của góc MLN c/ Gọi I là giao điểm của MN và LA. Chứng minh: MA2 = AI. AL d/ Gọi K là giao điểm của ML với (O). Chứng minh rằng: KN // AQ e/ Chứng minh tam giác KLN cân. Bài tập 6: Cho đường tròn (O;R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A và AH < R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H ) a/ Chứng minh: góc ABE bằng góc EAH và tam giác AHB đồng dạng với tam giác EAH. b/ Lấy điểm C trên d sao cho H lá trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh: AHEK là tứ giác nội tiếp c/ Xác định vị trí của điểm H để AB = R 3 Bài tập 7:
51. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 51 Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM và PN với đường tròn (O) ( M, N là tiếp điểm ). Đường thẳng đi qua điểm P cắt đường tròn (O) tại hai điểm E và F. Đường thẳng qua O song song với MP cắt PN tại Q. Gọi H là trung điểm của đoạn EF. Chứng minh: a/ Tứ giác PMON nội tiếp đường tròn b/ Các điểm P, N, O, H cùng nằm trên một đường tròn c/ Tam giác PQO cân d/ MP2 = PE. PF e/  PHM =  PHN Bài tập 8: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng: a/ Các tứ giác AEHF, BFHD nội tiếp. b/ Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn. c/ AE. AC = AH. AD và AD. BC = BE. AC d/ H và M đối xứng nhau qua BC e/ Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. Bài tập 9: Cho tam giác ABC không cân, đường cao AH, nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của B, C lên đường kính AD của đường tròn (O) và M, N thứ tự là trung điểm của BC, AB. Chứng minh: a/ Bốn điểm A, B, H, E cùng nằm trên một đường tròn tâm N và HE // CD. b/ M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF. Bài tập 10: Cho đường tròn (O) và điểm A ở bên ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE với đường tròn ( B và C là các tiếp điểm ). Gọi H là trung điểm của DE. a/ CMR: A, B,H, O, C cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn này. b/ Chứng minh: HA là tia phân giác .  DHC c/ Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh: AB2 = AI.AH d/ BH cắt (O) tại K. Chứng minh: AE // CK. Bài tập 11:
52. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 52 Từ một điểm S ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến SCD của đường tròn đó. a/ Gọi E là trung điểm của dây CD. Chứng minh 5 điểm S, A, E, O, B cùng thuộc một đường tròn. b/ Nếu SA = AO thì SAOB là hình gì? Tại sao?. c/ CMR: AC.BD = BC.DA = . 2 AB CD Bài tập 12: Trên đường thẳng d lấy 3 điểm A, B, C theo thứ tự đó. Trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By cùng vuông góc với d. Trên tia Ax lấy I. Tia vuông góc với CI tại C cắt By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P. a/ Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp được đường tròn b/ Chứng minh: AI. BK = AC. CB c/ Giả sử A, B, I cố định hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất. Bài tập 13: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). M là điểm di động trên cung nhỏ BC. Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D sao cho MD = MC. a/ Chứng minh: DMC đều b/ Chứng minh: MB + MC = MA c/ Chứng minh tứ giác ADOC nội tiếp được. d/ Khi M di động trên cung nhỏ BC thì D di động trên đường cố định nào?. Bài tập 14: Cho đường tròn (O;R), từ một điểm A trên O kẻ tiếp tuyến d với O. Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kỳ ( M khác A ) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB ( B là tiếp điểm ). Kẻ AC  MB, BD  MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. a/ Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp b/ Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn. c/ Chứng minh OI. OM = R2 ; OI. IM = IA2 d/ Chứng minh OAHB là hình thoi e/ chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng f/ Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d. Bài tập 15: Cho hình thang cân ABCD ( AB > CD; AB // CD ) nội tiếp trong đường tròn (O). Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo
53. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 53 AC và BD. a/ Chứng minh tứ giác AEDI nội tiếp. b/ Chứng minh AB // EI c/ Đường thẳng EI cắt cạnh bên AD và BC của hình thang tương ứng ở R và S. Chứng minh: * I là trung điểm của RS * 1 1 2 AB CD RS   Bài tập 16: Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đường tròn (O) thay đổi đi qua hai điểm M, N. Từ P kẻ các tiếp tuyến PT, PQ với đường tròn (O). a/ Chứng minh: PT2 = PM. PN. Từ đó suy ra khi (O) thay đổi vẫn qua M, N thì T, Q thuộc một đường tròn cố định. b/ Gọi giao điểm của TQ với PO, PM là I và J. K là trung điểm của MN. Chứng minh các tứ giác OKTP, OKIJ nội tiếp. c/ CMR: Khi đường tròn (O) thay đổi vẫn đi qua M, N thì TQ luôn đi qua điểm cố định. d/ Cho MN = NP = a. Tìm vị trí của tâm O để  TPQ =600 Bài tập 17: Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy điểm M (M  A và C). Vẽ đường tròn đường kính MC. Gọi T là giao điểm thứ hai của cạnh BC với đường tròn. Nối BM kéo dài cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai S. Chứng minh: a/ Tứ giác ABTM nội tiếp. b/ Khi M chuyển động trên AC thì  ADM có số đo không đổi c/ AB // ST. Bài tập 18: Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. a/ Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp. b/ Chứng minh: AME ~ ACM c/ Chứng minh AM2 = AE. AC d/ chứng minh AE. AC – AI. IB = AI2 e/ Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
54. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 54 Bài tập 19: Cho điểm A bên ngoài đường tròn (O; R). Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE đến đường tròn (O). Gọi H là trung điểm của DE. a/ Chứng minh năm điểm: A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn. b/ Chứng minh AH là tia phân giác của  DHC c/ DE cắt BC tại I. Chứng minh: AB2 = AI. AH d/ Cho AB = R 3 và OH = 2 R . Tính HI theo R. Bài tập 20: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. M và Q là hai điểm trên (d) sao cho M  A, M Q, Q  A. Các đường thẳng BM và BQ lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P. Chứng minh: a/ Tích BN. BM không đổi b/ Tứ giác MNPQ nội tiếp c/ Bất đẳng thức: BN + BP + BM + BQ > 8R. Chuyên đề 6: ĐƯỜNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH Trong các đề thi học sinh giỏi, thi vào trường chuyên, lớp chọn thường có những bài toán liên quan đến tìm điểm cố định, chứng minh đường đi qua điểm cố định. Thực tế cho thấy đây là bài toán khó, học sinh thường khó khăn khi gặp phải bài toán dạng này. Bài toán “Đường đi qua điểm cố định” đòi hỏi HS phải có kĩ năng nhất định cộng với sự đầu tư suy nghĩ, tìm tòi nhưng đặc biệt phải có phương pháp làm bài. Tìm hiểu nội dung bài toán Dự đoán điểm cố định Tìm tòi hướng giải Trình bày lời giải Tìm hiểu bài toán: • Yếu tố cố định.( điểm, đường … ) • Yếu tố chuyển động.( điểm, đường … ) • Yếu tố không đổi.( độ dài đoạn, độ lớn góc … ) • Quan hệ không đổi ( Song song, vuông góc, thẳng hàng … ) Khâu tìm hiểu nội dung bài toán là rất quan trọng. Nó định hướng cho các thao tác tiếp theo. Trong khâu này đòi hỏi học sinh phải có trình độ phân tích bài toán, khả năng phán đoán tốt. Tuỳ thuộc vào khả năng của từng đối tượng học sinh mà giáo viên có thể đưa ra
55. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 55 hệ thống câu hỏi dẫn dắt thích hợp nhằm giúp học sinh tìm hiểu tốt nội dung bài toán. Cần xác định rõ yếu tố cố định, không đổi, các quan hệ không đổi và các yếu tố thay đổi, tìm mối quan hệ giữa các yếu tố đó. Dự đoán điểm cố định: Dựa vào những vị trí đặc biệt của yếu tố chuyển động để dự đoán điểm cố định. Thông th- ường ta tìm một hoặc hai vị trí đặc biệt cộng thêm với các đặc điểm bất biến khác như tính chất đối xứng, song song, thẳng hàng … để dự đoán điểm cố định Tìm tòi hướng giải Từ việc dự đoán điểm cố định tìm mối quan hệ giữa điểm đó với các yếu tố chuyển động, yếu tố cố định và yếu tố không đổi. Thông thường để chứng tỏ một điểm là cố định ta chỉ ra điểm đó thuộc hai đường cố định, thuộc một đường cố định và thoả mãn một điều kiện (thuộc một tia và cách gốc một đoạn không đổi, thuộc một đường tròn và là mút của một cung không đổi ...) thông thường lời giải của một bài toán thường được cắt bỏ những suy nghĩ bên trong nó chính vì vậy ta thường có cảm giác lời giải có cái gì đó thiếu tự nhiên, không có tính thuyết phục chính vì vậy khi trình bày ta cố gắng làm cho lời giải mang tính tự nhiên hơn, có giá trị về việc rèn luyện tư duy cho học sinh. MỘT VÀI VÍ DỤ: Bài 1: Cho ba điểm A, C, B thẳng hành theo thứ tự đó. Vẽ tia Cx vuông góc với AB.Trên tia Cx lấy hai điểm D, E sao cho 3 CD CA CB CE . Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC tại H khác C. Chứng minh rằng: Đường thẳng HC luôn đi qua một điểm cố định khi C di chuyển trên đoạn thẳng AB. Tìm hiểu đề bài: * Yếu tố cố định: Đoạn AB * Yếu tố không đổi: + Góc BEC = 300 , Góc ADB = 600 do đó sđ cung BC, cung CA không đổi + B, D, H thẳng hàng; E, H, A thẳng hàng Dự đoán điểm cố định: khi C trùng B thì (d) tạo với BA một góc 600 => điểm cố định thuộc tia By tạo với tia BA một góc 600 m h D E b aC
56. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 56 d E F H N M O I khi C trùng A thì (d) tạo với AB một góc 300 => điểm cố định thuộc tia Az tạo với tia AB một góc 300 By và Az cắt nhau tại M thì M là điểm cố định? Nhận thấy M nhìn AB cố định dưới 900 => M thuộc đường tròn đường kính AB. Tìm hướng chứng minh: M thuộc đường tròn đường kính AB cố định do đó cần chứng minh sđ cung AM không đổi thật vậy: sđ cung AM = 2sđGóc MCA=2sđGóc CHA =2sđGóc CDA = 1200 Lời giải: Ta có 3 CD CA tgD => Góc D=600 có Góc CHA = Góc CDA = 600 G/s đường tròn đường kính AB cắt CH tại M ta có Góc MHA= 600 => sđ cung MA không đổi lại có đường tròn đường kính AB cố định vậy: M cố định do đó CH luôn qua M cố định. Bài 2: Cho đường tròn (O) và đường thẳng (d) nằm ngoài đường tròn. I là điểm di động trên (d). Đường tròn đường kính OI cắt (O) tại M, N. Chứng minh đường tròn đường kính OI luôn đi qua một điểm cố định khác O và đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Hướng dẫn: do tính chất đối xứng nên điểm cố định nằm trên trục đối xứng hay đường thẳng qua O và vuông góc với (d) Giải: Kẻ OH vuông góc với (d) cắt MN tại E. ta có H cố định và H thuộc đường tròn đường kính OI vậy đường tròn đường kính OI luôn đi qua K cố định. Xét tam giác OEF và tam giác OIH có góc O chung, góc OFE = góc OHI = 900 Nên tam giác OEF đồng dạng với tam giác OIH do đó: OF/ OE = OH/ OI => OE. OH = OF. OI Lại có góc IMO = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính OI ) Xét tam giác vuông OMI có đường cao ứng với cạnh huyền MF nên: OF. OI = OM2
57. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 57 I M C D A O B P Do đó: 2 OM OE OH  = hằng số vây E cố định do đó MN đi qua E cố định. Bài 3: Cho đường tròn (O; R) và dây AB cố định. C là một điểm chuyển động trên đường tròn và M là trung điểm của AC. Chứng minh rằng đường thẳng kẻ từ M vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định. Giải: Vẽ đường kính BD => D cố định. Giả sử đường thẳng qua M và vuông góc với BC cắt BC cắt AD tại I. Dễ thấy góc BCD = 900 hay MI // CD. Xét tam giác ACD có MC = MA; MI // CD => I là trung điểm của DA cố định hay đường thẳng qua M vuông góc với BC đi qua I cố định. Bài 4: Cho tam giác ABC và hai điểm M, N thứ tự chuyển động trên hai tia BA, CA sao cho BM= CN. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định. Hướng dẫn: Khi M B thì N C khi đó đường trung trực của MN là trung trực của BC. Vậy điểm cố định nằm trên đường trung trực của BC Giải: Giả sử trung trực của BC cắt trung trực của MN tại I Dễ thấy tam giác IMB = tam giác INC (c-c-c) vậy góc MBI = góc NCI Xét tứ giác ABCI có góc MBI = góc NCI vậy tứ giác ABCI nội tiếp hay I thuộc đường tròn Ngoại tiếp tam giác ABC cố định, mà Trung trực của BC cố định Vậy I cố định hay trung trực của MN đi qua I cố định. Bài 5: Cho đường tròn (O; R) và dây cung AB = R 3. Điểm P khác A và B. Gọi (C; R1) là đường tròn đi qua P tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại A.Gọi (D; R2) là đường tròn đi qua P tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại B. Các đường tròn (C; R1) và N I CB A M
58. dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học: 0919.281.916 58 I d M O A B C (D; R2) cắt nhau tại M khác P. Chứng minh rằng khi P di động trên AB thì đường thẳng PM luôn đi qua một điểm cố định. Tìm hiểu đề bài: * Yếu tố cố định: (O; R), dây AB * Yếu tố không đổi: DPCO là hình bình hành. Sđ cung BP của (D), sđ cung AP của (C), Góc BMA không đổi Dự đoán Khi P  A thì PM là tiếp tuyến của (O; R) => điểm cố định nằm trên tiếp tuyến của (O; R) tại A Khi P  B thì PM là tiếp tuyến của (O; R)=> điểm cố định nằm trên tiếp tuyến của (O; R) tại B Do tính chất đối xứng của hình => Điểm cố định nằm trên đường thẳng qua O và vuông góc với AB => Điểm cố định nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Lời giải: Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB cắt PM tại I . vì AB = R 3 => sđ cung AB của (O) bằng 1200 tam giác BDP cân do đó góc OBA = góc DPB tam giác OAB cân do đó góc OBA = góc OAB => góc BDP = góc BOA => sđcung BP của (D) = sđ cung BA của (O) = 1200 . tương tự sđ cung PA của (C) = 1200 . ta có góc BMP = 2 1 sđ cung BP của (D) = 600 ta có góc AMP = 2 1 sđ cung AP của (C) = 600 Vậy góc BMA = góc BMP + góc AMP = 1200 = góc BOA xét tứ giác BMOA có góc BMA = góc BOA do đó tứ giác BMOA nội tiếp hay M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BOA. Vậy 2 1 sđ cung IA = góc IMA = góc PMA = 2 1 sđ cung PA của (C) = 1200 .Vậy I thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB và sđ cung IA = 1200 => I cố định hay MP đi qua I cố

Chuyên đề toán bồi dưỡng học sinh giỏi toán thcs năm 2024

Bài Viết Liên Quan

Quảng Cáo

Có thể bạn quan tâm

Toplist được quan tâm

Quảng cáo

Xem Nhiều

Quảng cáo

Chúng tôi

Điều khoản

Trợ giúp

Mạng xã hội