Đề bài
Chứng minh các định lí:
a] Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
b] Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Chứng minh trung điểm của cạnh huyền cách đều ba đỉnh \[A,B,C.\]
b] Chứng minh : Tâm của đường tròn đó là trung điểm của cạnh huyền.
Lời giải chi tiết
a] [h.62a]
Xét tam giác vuông \[ABC\] vuông tại \[A.\] Gọi \[O\] là trung điểm của \[BC.\] Ta có
\[OA = OB = OC\] vì đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.
Suy ra \[O\] là tâm của đường tròn đi qua ba điểm \[A;B;C.\]
Vậy tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
b] [h. 62b]
Xét tam giác \[ABC\] nội tiếp đường tròn \[[O]\] đường kính \[BC,\] ta có \[OA = OB = OC.\]
Tam giác \[ABC\] có đường trung tuyến \[AO\] bằng \[\dfrac{1}{2}BC\] nên \[\widehat {BAC} = {90^o}.\]
Vậy tam giác \[ABC\] vuông tại \[A.\]